分数的产生

在经过第一站的长途跋涉后，我们准备进入数的旅程第二站。在第一站，我们欣赏了自然数的风光，在这站我们将去欣赏一下分数的景色。

历史上，分数的出现是很早的。它的出现也是很自然的，作为自然数概念最早的推广，在人们学会记数与自然数的运算后不久就知道分数了。但对于不同的民族，分数产生的途径却并不相同。下面让我们去看一下历史上几种关于分数的不同的处理方式。

先来看看古埃及吧。

古埃及很早就有了分数的概念。不过，令现代人感到奇怪的是，古埃及人使用的分数仅是单分子分数，即分子为1的分数。当然，从某种角度上讲，单分子分数的产生是很自然的。想想当有许多人比如说10个人吧，平分一种食物时，每人就分得1／10。这种平分物品，每人取得一份的情况在当时大概是非常常见的吧。于是，由此引出单分子分数是自然的。不过，真正令人奇怪的是，除了个别的分数如2／3，埃及人引入特殊的符号表示外，对于其他的不是单分数的分数他们都要把它化作不同的单分子分数之和。如2／5记为315，意思是2／5＝1／3＋1／15。古埃及人为什么会用这种麻烦的方法呢？这种做法有没有什么实用的目的呢？这些都是令数学史家困惑的，也是值得进一步探讨的问题。当然，对此有一些猜测，但至今仍无定论。

比如，有人提到，这种方法用于解决食物分配和土地分配问题的时候，可以取得有益的结果。

例如有一个题：把7个面包分给8个人。每人应分得多少呢？我们的解答很简单，就是7／8。而古埃及人的解答形式为7／8＝1／2＋1／4＋1／8。如果只是想知道每人获取多少，两种解答并看不出优劣。不过，在当时人们可能更经常面对的是实际的操作问题，即：应该如何分呢？

按我们通常所熟知的办法，为了每人获取7／8，可以把一个面包切七次，切成八块，每人取一块，如此进行七次就成了。但这样共需要切7×7＝49次。

再来看看从古埃及人复杂的解答中我们可以获得什么更简单的分法吧。通过式子我们可以如下操作：取其中的4个面包每个切成两份，每人取一份，这样每人获取1／2个面包；取其中的2个面包每个切成四份，每人取一份，这样每人又获取1／4个面包；最后剩下的一个面包切成8份，每人取一份，这样每人又获取1／8个面包。于是，每人最终获取的面包数是1／2＋1／4＋1／8＝7／8。然而如此操作时，却只切了4×1＋2×3＋7＝17次就成功地解决了问题！

在古代，这样的问题恐怕是常常遇到的吧。尤其是当需要分的物品是兽肉之类难以分割的东西时，这种分法的优越性就更加明显了。不过，如果仅是如此，使得古埃及人采用了单分子分数的话，他们的做法就是得不偿失的了。因为，这样一点好处，远远无法抵消掉如此做所带来的缺陷。这主要表现在运算方面的烦琐上，对此下面我们会做简单介绍。

对古巴比伦，我们只想说明几点。其一，前面我们已经提到，在公元前1800～公元前1600，古巴比伦人已采用六十进制表示自然数。同样，他们的分数也是六十进制的。其二，他们在分数的表示上存在着与表示自然数同样的困境。一个符号作为分数可能表示21／60也可以表示20／60＋1／602。这就造成他们记数法上更大的混乱。其三，对少数几个分数他们使用了特定记号，如1／2、1／3、2／3。这些特殊分数虽然是从量的度量中所得出的结果，但对古巴比伦人来说，在量的度量意义上是作为“整体”看待的，而不是一的几分之几。这正如我们把一角钱与一元钱对比时我们可以把一角钱看作1／10元，但又可以把一角钱本身看成是一个单位，作为一个整体对待是一样的道理。

再来看看古希腊罗马。

希腊人特别重视分数。从毕达哥拉斯学派那里，古希腊人相信自然界中的任何东西都可以用整数或整数的比表示。这种认识很可能来源于音乐。正如毕达哥拉斯本人发现的那样，任何振动的弦产生的普通音程，都与弦长度的简单数字比相对应。为了产生两个相差八度的音，我们首先让弦在它的全部长度上振动，然后在它的二分之一长度上振动；这样，一个八度音就对应于比2︰1。类似地，五度音程对应于3︰2，四度音程对应于4︰3……而听起来越动听越和谐的音程，表示它的分数就越简单。不和谐的音程其比更复杂，例如二度音程的比是9︰8，而半音的比是16︰15。由于音乐与数学的这种密切联系，音乐理论在西方甚至被称为分数的算术，成为当时数学的四大研究科目之一呢！此外，由于在希腊人的世界中，音乐与数学和哲学具有同等的重要性，所以希腊人在以上的事实中看到了一个迹象：整个宇宙都是根据来自分数的音乐谐声规律构建的。也正是由此毕达哥拉斯学派得出了“宇宙和谐论”。在这里，我们需要指出一点，希腊人在早期是把分数表示为两个整数的比。也就是说，分数在希腊来源于整数的比，而并非把分数看作数的整体。这种观点一直到希腊后期才有所改变。那时，人们开始把分数当作数的整体来看待了。如阿基米得用单词来表示分数，而且熟练地把比率转化为分数或者向相反方向转化。这个时期的天文学家使用了巴比伦六十进制的分数，并采用爱奥尼亚式的字母符号来记录。这大概是因为六十进位制的分数在天文计算中比较方便的缘故。

罗马人在计算时使用的是十二进位制分数。这是由于在实际计算中，经常遇到的分数是1除以2、3、4、6所得的结果。因此这些分数容易运用十二进位制分数予以表示。他们对2／12、3／12……11／12、1／24、1／36、1／48、1／96……都有专有的名称和符号。并且每个名称都有自己的来历。例如，罗马人把货币基本单位分成12等份，每一等份称为“盎司”。这个名称应用到分数上等于1／12阿斯。另外的分数，部分的可以从与盎司的比值中得到自己的名称。例如5／12盎司就称为五盎司。这正如我们的货币中1／10角相当于是一分；2／10角相当于二分等一样。用这种办法的一大好处是，在计算时利用这些名称就化为名数计算，实际上是把应该使用分数的运算化为了自然数运算，因此大大简化了计算。要知道，分数运算对于古代人来说是相当困难的。

最后让我们转回来，看看我们中国对分数的早期认识吧。

我国是世界上使用分数最早的民族之一。分数在中国起源于何时，有待于进一步详考。不过，它的出现确实是很早的，甚至被认为可以上溯到文字出现的初期。在春秋时期的古书上已有了关于分数的记载。如春秋《左传》中关于周天子封地给诸侯做了这样的规定：“大都不过三国之一，中五之一，小九之一。”意思是，根据当时的制度，诸侯的都城不要过大，最大的不得超过周文王国都的三分之一，中等的不超过五分之一，小的不超过九分之一。再如战国时期著作《考工记》中，常用分数表示手工业产品各部分尺寸的比。表示长度的单位有“十分之一谓之枚”的说法，意思是说一寸的十分之一叫做枚。这里的“枚”就是现在讲的“分”。再如，秦始皇时期拟定一年的天数为“三百六十五，四分之一天”，即365；一年的月数是“一十二，十九分之七月”，即12月，这就是十九年七闰的方法。与其他古民族类似，在我国先秦典籍中对特殊的分数如1／3、1／2、2／3等也都有特殊的名称，分别称为“少半”、“半”、“大（或太）半”。这些记载说明至迟在战国时期，我国已经广泛使用了分数。同时说明我国古人对分数的研究一直是和社会实践紧密联系在一起的。

事实上，在我国，分数概念也正是源于实际生活中对度量单位的细分。也就是说，我国分数是在物体数量的比较中产生的。正如后来的刘徽所说：“物之数量，不可悉全，必以分言之。”意思是，在确定了度、量、衡或其他数量单位之后，某一物品不一定是其单位度量的整数倍，这就产生了分数。实际上，不能正好得出一个整数的任何测量都会导致对分数的使用。而由于人们需要分配一个整体的量时，不一定恰好量尽的情况是大量存在的，于是分数就自然而然地被引入了。随着分数的大量出现和使用促进了分数概念的发展，人们慢慢地从“几分升几”、“几分寸几”等度量单位中抽象出了一般的分数概念。

后来，中国古代还从除法运算的角度引入了分数概念。在《九章算术》一书中说：“实如法而一。不满法者，以法命之。”我国古代数学密切联系实际，所分的都是实在的东西，如各种谷物、丝绸之类，故被除数称为“实”；而用之于分的数实际上是一个标准，故除数称为“法”。所谓“命之”即“命分”。于是，上面的话可译为：“被除数除以除数，如果不能除尽，便定义了一个分数。”

此外，在我国古代分数还与比率密切结合在一起。比和比例是人类很早便接触到的数学概念，它们在日常生活中经常出现。如草药成分的多少，物物交换中各种不同物品间的比率等等都是比和比例概念产生的基础。事实上，比率关系是我国古代数学家所考虑的最基本的数学关系。《九章算术》中的各种演算程序都是依据比率关系构造出来的。刘徽也是通过比率的性质论证了分数的性质与四则运算。也就是说，分数算法是以比率为理论基础建立的。事实上，比率论是贯穿《九章算术》算学理论体系的一条主线，是算法之“纲纪”。需要指明的一点是，在当时比率是具有高度概括力的，比率论是以量与量间的关系为研究对象，其量是可以按照一定规律变化的，因而中国古代这种比率理论与现代比例算法并不相同。

这一切都说明我国古代对分数概念的认识具有多重性：分数作为测量或运算的结果，它是一个独立的数；而在筹算的推演过程中，它实质上是被看作法与实一对（整）数的比率。李约瑟早就注意到了这一点。他说：“在《九章算术》中，分子和分母在运算前称作子和母，在运算中则称作实和法。”

在大致了解了古代各民族对分数的使用情况后，我们可以发现虽然各民族都很早引入了分数概念，但是引入的方式并不相同。概括一下的话，分数的来源大致有三条途径：

1.实践中度量细分的结果。

2.整数的比和比例。早期古希腊人甚至认为分数不是独立的数，而只是“整数的比”。

3.整数的除法运算。

各民族对分数的处理方式上也有所不同。大致说来有这样几种情况：

1.单分子分数：这种古老的分数形式在各民族历史的最初阶段都引入了，但后来大多民族都转向了更广泛的分数概念，只有古埃及人对其情有独钟。

2.系统分数：在科学上使用得特别多的一类分数，也被称为天文学分数或物理学分数。古巴比伦人最早引入了六十进制的分数。后来古希腊人在天文学中继续使用了这种分数。或许是这类分数在天文学中使用比较方便的缘故，至今仍在科学中广泛使用。小数亦可看作系统分数的一种。

3.普通分数：我们现在所通常使用的分数。

可见，在不同民族的历史上，最初分数概念的来源与处理方式并不相同。其实，不同民族在对分数的记法上也是互不相同的。现代我们所使用的分数表示方法是经过了长期的演变过程才形成的。下面，我们就简单介绍一下分数记法的演变过程。