戴德金的实数理论

戴德金在1872年发表的著名论文《连续性与无理数》中提出无理数的一种令人满意的理论。该书首先研究直线的连续性，特别是区别开稠密性与连续性，然后把直线与实数对应起来，最后定义戴德金分割。他的思想清楚地表达在下面的引文中：

“上面把有理数域比作直线，结果认识到前者充满了间隙，它是不完备的、不连续的，而我们则把直线看成是没有间隙的、完备的和连续的。直线的连续性是什么意思？这个问题的答案必须包含研究所有连续区域时所根据的科学基础。只是泛泛而谈其最小子集的不间断的连续性，不会产生什么结果。我们必须要有连续性的一个精确定义，使它可以成为逻辑推理的基础。长时期以来，我对这些事情进行了深入思考，但始终没有取得成果，一直到最近我才发现我所要寻求的答案。不同的人对于我的发现将会有不同的判断，但我相信大多数人都会觉得平凡无奇。在上一段我曾经指出，直线上每一点P都将直线分成两部分，使得其中一部分的点都在另一部分的点的左方。我确信，连续性的实质就在于它的反面，也就是下面的原理：如果直线上所有的点都属于两类，使得第一类中每一点都在另一类中每一点的左方，那么就存在唯一的一个点，它产生了把直线分成两部分的分划。”

让我们沿着戴德金引文的思路对他的分割理论作进一步的阐述。

前面我们已经提到自然数与有理数都有无穷多，但有理数却具有自然数所不具有的一种性质：即在任意两个有理数之间总存在另一个有理数。我们把有理数具有的这种性质称为有理数的稠密性。然而有理数尽管稠密，却不连续。但从直观上，我们可以感觉到直线是连续的、没有缝隙的。那么连续是什么意思呢？直线的连续性又意味着什么呢？

让我们动脑又动手吧。给你一把最最锋利的刀，你用尽平生力气，在这条天衣无缝的直线上砍一刀，把它斩成两截，会发生什么现象呢？

因为直线是天衣无缝的，这一刀一定砍在某个点上。否则，岂不是有缝隙了？假定从点A的位置把直线砍断，这个点A到什么地方了呢？在左半截上，还是右半截上？不在左边，就在右边！反正不会两边都有，也不会两边都没有。因为点不可分割，也不会消失掉！

这是想象，但可以从想象中悟出一个道理来。所谓直线的连续性，就是这么一回事：不管把直线从什么地方砍断成两段，总有一段是带有端点的，也只有一段是带有端点的。这样一来，直线的连续性可以依赖于一个简单而又直观的事实：无论从何处斩断直线总有一个“断点”。

如果我们在直线上取定一个原点，一个单位长，一个正方向，直线就变成了数轴。这样直线上的点就与数对应起来了。于是，我们可以用与刚才完全相似的方法来检验数的连续性了。即当我们把需要检验的数集与数轴直线对应起来，然后把数轴任意砍成两截时，若有并且只有一截含有一个点，或确切说是此数集中的一个数的话，这一数集就是连续的，否则就是不连续的。让我们用代数的语言把上述想法再表述一番：

把需要检验的数集分成甲、乙两个数集的集合，要求每个集合都不是空的，而且甲集里的任一个数比乙集里任一个数都小（实际上，这相当于把直线分成两截后，甲集对应于直线的左一截，乙集对应于直线的右一截），那么，要么甲集里有个最大数，要么乙集里有个最小数，二者必居其一，且仅居其一（这相当于说必有一点且只有一个点落入某一截中）。

让我们先按这个标准检查有理数系，看看会怎么样。

比如，我们把所有负的有理数组成甲集，所有正的有理数与零组成乙集，这时乙集就有一个最小数0。这相当于我们用刀砍向了数零，而将有理数分成了两截，这时零落入了右一截中。在这一例子中，有理数系通过了检验。但能否通过这样一个例子就得出有理数系具有连续性呢？不行！因为只有它能够通过任意的分法检验才能说它是连续的。事实上，想要否认它的连续性，只需要一个它通不过的反例就行了。

就让我们举出一个这样的反例。

比如，把所有负有理数和平方不超过2的正有理数放在一起组成甲集，把所有平方超过2的正有理数组成乙集，这时，甲集里没有最大的数，乙集里也没有最小的数。或者说，如果直线上只有有理数表示的点，那么一刀从甲、乙两集之间砍下去，就会砍个空，这说明这个地方有个缝隙！

因而，我们说有理数系不满足上述要求的标准，也就是说有理数集不是连续的。

全体实数的集合又如何呢？实数系统的连续性，可以依样画葫芦：“如果把全体实数分成甲、乙两个数集合，要求每个集合都不空，而且甲集里的任一个数比乙集里任一个数都小，那么，要么甲集里有个最大数，要么乙集里有个最小数，二者必居其一，且仅居其一。”事实上，由于有理数不足以填满这条数轴直线，而是在数轴上留下很多空洞，所以它是不连续的。但当用无理数填充这些空洞，得到整个实数系时，由于每个实数都对应了数轴上的唯一一个点，全体实数恰好能够覆盖整个数轴直线，那么实数系就是连续的。

直线的连绵不断似乎可以找到直观的感觉作为依据。然而，实数的连续性却没有那么直观。但是当我们借助于直线的连续性给出实数连续性的定义后，实数连续性的含义就清楚了。

那么，又如何由有理数扩展到整个实数呢？

回到上面的讨论。刚才我们把有理数分成A、B两个集合，并且让A中每个有理数都比B中每个有理数小。现在我们就把A、B这一对集合叫做有理数的一个分割，其中A叫做分割的下集，B叫做分割的上集。这个分割确定了上、下两集之间的位置。通过前面的分析，我们已经知道这个位置可以没留下缝隙，正好有一个有理点填充上。如我们举的第一个例子。这种情况下我们说，分割确定了一个有理数，即A的最大数或B的最小数。然而，还可能这个位置上有缝隙，没有任何有理数能够填充上，即出现了A中没有最大数，B中也没有最小数的情况。这时，就需要有不同于有理数的新数即无理数来填充了。如我们举的第二个例子中，我们可以引入我们的老朋友填在那里。就是说，当出现缝隙时，填补这个空隙只有请无理数来帮忙。

从逻辑上讲，有理数的分割要么不会产生空隙，要么会产生空隙，再没有其他情况。如果分割不产生空隙，那么它就是一个有理数；如果产生空隙，那么它就是一个无理数，实数正好包括有理数和无理数，结论于是就很清楚了：有理数的每个分割产生一个实数。说得更严格一些：有理数的一个分割就叫做一个实数，带缝隙的分割叫无理数，不带缝隙的分割叫有理数。

你看，就是这样，我们从有理数扩展到了实数。

这种分割是由戴德金提出的，人们称之为“戴德金分割”。戴德金的无理数理论的核心正是他的分割概念。他由分割定义了实数，直线上面每个点可以表示一个实数，所以他的分割概念也给出了实数连续性的依据。他说：“如此平凡之见，道破了连续性的奥秘。”然而，这一胜利却来之不易，人类为了研究实数的连续性，可以说从古希腊时代毕达哥拉斯学派发现无理数时就开始了，经历了2000多年。

与戴德金分割方法不同，维尔斯特拉斯采用的方法是区间套原理来定义无理数。康托尔则提出用有理“基本序列”来定义无理数。这些定义，从不同方面深刻揭示了无理数的本质。具体方法尽管不同，但建立起来的实数系统本质上是一回事。由于维尔斯特拉斯与康托尔的定义都涉及到许多数学背景知识，我们在这里不再介绍了。

有了实数的严格定义后，就可以定义两个实数的加法及乘法，且它们满足交换律和结合律。原来没有严格证明的公式＝×也就迎刃而解了。

后来，数学家希尔伯特给出解决实数问题的公理化解决方案，即直接举出实数系统应当满足的一些基本公理，把满足、符合这些公理的东西就叫实数。这些公理可分四组，共十八条，大致的意思是：

1.算术封闭性：在实数之间，加减乘除可以通行无阻（除数不能是0）。四则运算的结果仍是实数。

2.运算规律：实数之间的加法和乘法，有交换律、结合律，乘法对加法的分配律。

3.实数之间可以比大小：两个实数a、b如不相等，不是a＞b，就是b＞a。这些大小关系符合一些要求，就是我们学过的不等式基本性质（若a＞b，b＞c，则a＞c以及不等式两端可以同加一实数同乘一正数）这种性质称为良序性。

4.连续性，其中包括两点：

（1）a、b是两个正数。不管a多么小，b多么大，可以把a自己反复相加多次，使na＞b。这叫做实数的阿基米得性质。

（2）把全体实数分成甲、乙两个非空的集合，而且乙集合里的数都比甲集合里的数大，则甲集合有最大数或乙集合有最小数。这叫做实数的完备性。

这样列出几条简单公理，在公理的基础上来展开研究，确实方便得多。这种公理化方法是现代数学中为了达到逻辑严格性而普遍使用的解决方法。

公理化思想

前面我们已经多次强调了西方数学与中国数学具有的巨大差别。西方数学着重于性质，比如我们在第一章中已经指出的西方数学一开始就形成“对象理论”，特别是素数理论，这是其他文明没有的。另外，西方数学重视演绎、逻辑推理，并形成了极其重要的公理化思想。

这一公理化思想最早体现于欧几里得的《几何原本》一书中。因而让我们先去简单了解一下欧几里得和他的《几何原本》。

欧几里得是公元前3世纪古希腊著名数学家。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。我们可以引述两则关于他的两则轶事来说明他是一个什么样的人。有心的读者也应该能够从这两则故事中得到些重要启示。

一则故事讲的是：托勒密王问欧几里得，除了他的《几何原本》一书外，有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答道：“几何无王者之道。”对于不肯刻苦钻研，总打算投机取巧的人来说很可以把这句后来传诵千古的学习箴言作为自己的座右铭。

另一则故事是说：一个学生刚开始学习第一个命题，就问欧几里得，学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。由此可见，欧几里得是反对狭隘的实用观点的。

欧几里得被后人称为“几何学之父”，20世纪前，欧几里得的名字几乎是几何学的同义词。他在数学史上的这种显赫名声，完全得益于他编纂的《几何原本》。

在欧几里得以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明几何结论。欧几里得这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立，在数学发展史上竖下了一座不朽的丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题（即现在所说的定理），其中有八卷讲述几何学，几乎包含了现在中学所学的平面几何、立体几何的全部内容。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书，其手抄本曾统御几何学一千八百年之久，印刷术发明后，又被译成多种文字，共有二千多种版本，成为数学中的“《圣经》”。其中文译本前六卷是1607年由徐光启、利玛窦合译的，后九卷是1857年由李善兰、伟烈亚力合译的。徐光启对《几何原本》的评价很高，说它是：“不必疑，不必揣，不必试，不必改。”《几何原本》的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍要把它作为中学数学的必修课目来讲授。现在中学几何课本就是以法国数学家拉格朗日对《几何原本》的改写本的思路而编写的。

《几何原本》的意义绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里得在书中创造的一种被称为公理化的方法。下面让我们先来说明一下什么是公理化方法。

在证明几何命题时，一个命题总是从前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从更前一个命题推导出来。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为起点具有自明性并被承认下来的命题称为公理，如我们熟知的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里得正是采用的这种陈述方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列定理。他利用公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以之为基础，并作为新的已知来证明第二个命题，如此循序渐近，直至证明了所有的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络。因而在数学发展史上，欧几里得被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。他的公理化演绎体系对西方思想有着深远的影响，对西方数学的发展也产生了不可估量的影响。

不过，作为完成公理化结构最早典范的《几何原本》用现代的标准来衡量，在严谨性上还存在着不少缺点。如：一个公理系统都有若干原始概念（或称不定义概念），如点、线、面就属于这一类。欧几里得对这些都做了定义，且定义本身依旧含混不清。另外，其公理系统不完备，许多证明不得不借助于直观来完成。此外，个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出。这些缺陷到1899年希尔伯特的《几何基础》出版时得到了完善。在这部名作中，希尔伯特成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系，也标志着欧氏几何完善工作的终结。

希尔伯特在建立这一公理体系的过程中还引入了他的的公理化思想。他提出判定一个公理体系合理性的三个标准。

1.独立性：公理系中每一条公理不会是多余的，即其中任何一条公理都不能由这个公理系中其他公理推导出来。也就是说，在一个合理的公理系中，每个公理都是相互独立的。

2.相容性：就是在一个合理的公理系中，各个公理之间没有矛盾。即在一个公理系中，公理与公理之间不能相互矛盾。如果在一个公理系下，能推出两个相互矛盾的命题，那么这一公理系一定有问题。因此公理系的无矛盾性或称为相容性是对公理系的最起码的要求。所有公理系统都必须满足这个要求。证明公理体系的相容性是困难的，而且还有哲学问题的困扰。

3.完备性：系统中所有的定理都能由该系统的公理推出。完备性表明公理系统应当充分丰富，以致于能够证明关于该结构的所有“真的事实”。同时满足相容性与完备性这两个要求是一种微妙的平衡，要达到完备性，可能需要引进越来越多的公理，然而，公理越多，导致不相容的可能性也就越大。

希尔伯特的工作使得公理化方法发展为形式的公理体系，其倡导的公理化思想现在已经几乎渗透于数学的每一个领域。现代数学理论大多就是用形式公理体系表述的。

让我们再转回正题。

严格定义无理数的工作完成后，无理数获得了严谨的逻辑基础，数学家能够心安理得地接受它们的存在了。当然，此时反对无理数的还有人在，其中反对得最为激烈的是克罗内克。他认为，只有能够从整数出发，用有限次步骤构造出来的数才是可接受的，而无理数不能用这种方法构造出来，因而是不可接受的，应当从数学中砍掉。对此，他同维尔斯特拉斯、康托尔以及希尔伯特等人进行了激烈论战。克罗内克等人取消无理数的主张遭到了绝大多数数学家的反对，因为到此时，无理数已在数学中取得了极为稳固的地位。今天，无理数的存在再也不会打扰任何人了。