在整数的基础建立后，整个数系的基础就归结到自然数上。那么对自然数是否还需要作逻辑分析呢？当数的逻辑基础归到自然数后，开始人们似乎没有想到还要为自然数的逻辑操心，或对自然数的性质表示出关心，人们似乎觉得对于毫无异议人们会接受的东西加以研究是没有用处的事情。维尔斯特拉斯就是持这种观点的。最典型的且有影响的还是克罗内克。他于1886年在柏林的一个会议上说：上帝创造了自然数，其余的一切都是人的工作。这个领域中第一位革新者是H·格拉斯曼（1861），戴德金在此前也建立了自然数的一系列性质，而皮亚诺于1889年把它们作为一组公理。
皮亚诺提出自然数的性质公理如下：
1）1是一个数。
2）任何数的后继者也是一个数。
3）没有两个数具有相同的后继。
4）1不是任何数的后继。
5）任何性质，如果1具有而且任何数的后继也具有的话，则所有数都具有此性质。
由于这五条自然数的性质是由皮亚诺抽象出来的，所以通常叫做自然数的皮亚诺公理。这样，皮亚诺应用数学符号和公理方法，在自然数公理的基础上简明扼要、干净利落地建立起自然数系。尽管皮亚诺用这种方式讲课时，由于没有注意到学生的要求和理解能力而不受欢迎，但以后却被广泛采用。一般公认，皮亚诺关于自然数算术的三个原始概念和五条公理是数学理论形式化的一个杰出的成果。
这一公理体系是按照序数的观念建立的。
性质1、4指出了计数是从1开始的。性质2指明了自然数的一个重要的特性：自然数有无穷多个，计数的数没有最后一个，这个事实对我们来说似乎太明显了，以致于我们几乎从不费神去思考它的后果。但是，你是否考虑过：如果真的存在最后一个数，而且在它之外什么数都不存在的话，那么整个数学将会是什么样子呢？毫不夸张地说，数学计算的整个系统——我们所熟悉的算术规则——将会像一个用纸牌搭成的房子那样倒塌。设想一下如果确实存在这种数，例如1000，那么，我们不但得忽略比1000大的任何东西，而且结果超过1000的所有计算都将变得不合法。换句话说，通常的计算技巧必须摒弃。所幸的是情况并非如此。如果以一种更正规的方式陈述，该公理可表述为：每个自然数n都有一个后继者n＋1。
特别的，其中的性质5是数学归纳法的根据。
利用它我们可以证明以下的基本性质：任一由自然数组成的集合中必然存在一最小数。这一结论被称为最小数原理。这样的原理实在是简单，简单到难以相信能从它派生出什么有趣的东西来。然而这个容易理解的，甚至有点傻乎乎的最小数原则不仅在理论研究上很重要，在具体使用时，有时也比数学归纳法的形式为方便。正是利用这个原理费马得出了许许多多非常有趣的结果。当你想到对于其他数系没有这个性质时，你就能够明白这一个傻乎乎的原理实在刻画出了自然数具有的一个非常重要的特征。这条性质还隐含着自然数形成了一个离散集。
利用这一原理可以反过来证明数学归纳法。因而两者本质上是相同的、等价的。
数学归纳法的基本思想是：以有限来掌握无限，通过有限次的操作，证明关于无限集合的某些命题。它帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无穷。在皮亚诺把数学归纳法作为一条公理纳入自然数公理系统中后，它成为数学中普遍使用的证明方法。它是证明有关自然数的命题的首选方法，并且人们还发展出若干数学归纳法的变形，如第二数学归纳法、倒推数学归纳法等等。
除了皮亚诺的序数定义外，还有康托尔等人的自然数基数定义方式。我们将在后面的章节中做简单的介绍。现在我们所了解到的是，在有了皮亚诺的自然数公理系统后，自然数也建立在严密的基础之上了。
当回顾这整个过程时，我们可以发现这一奠定基础的工作事实上包含了三个阶段：
1）建立起严格的实数理论。顺便指出的是，严格的微积分理论正是建立在实数理论的基础之上的。于是，整个高等数学有了严格的基础。
2）以算术理论为基础建立起严格的实数理论。
3）算术理论的公理化。
数系的大厦从上而下完工了，这真是有趣的现象！
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