实数的实在性

当把有理数和无理数结合起来后，便会得到更大的实数集。由于实数似乎可用于测量距离、角度、时间、能量、温度或者许多其他几何和物理量的大小，所以被叫做实的。但形容词“实的”并不意味着说明这些数的“真实”特点。在抽象定义的实数和物理量之间的关系，不像人们所想象的那么一目了然。

前面我们已经知道实数具有稠密性，即：在任何两个实数之间必有另一个实数，而不管该两数靠得多近。数学中不存在“数学原子”，不存在无法被分成更小单位的最小单位。但在物质世界中，我们有望到达原子或亚原子级，找到基本粒子。于是，无论科学技术怎样进步，从物理角度我们都有测量不出的长度。

让我们来设想我们有一把非常理想的尺子，它上面刻有非常精细的刻度，它比我们的游标卡尺可精确得多了。那么现在让我们去测量线段的长度，会怎么样呢？足够细的仍然不行。比如，这样的尺在我们追溯到它们自身原子的尺度时，就变得粗糙起来。进一步，如果我们不断地对分两点间的物理距离，最后就会到达这样微小的尺度，以至于在通常意义下的距离概念本身不再具有意义。人们预料在次原子粒子的1020分之一的“量子引力”尺度下，这的确会发生。但这并不妨碍我们继续准确地利用实数，为了和实数相匹配，我们就必须走到比它小得任意多的尺度。虽然，实数和物理实在的关系不像初看起来那么直接、那么令人信服，如上面所讲，在非常微小的距离或时间的尺度下，不存在这样的一致。但自然对于我们真是恩惠有加，我们从小习惯用于描述日常或更大尺度的事物的同一实数，在尺度比原子小很多，肯定在比“经典”的次原子粒子，譬如电子或质子的经典直径小百倍的尺度下仍然有用，似乎直到比这粒子小二十个数量级的“量子引力尺度”仍然适用。

事实上，实数系统的全适性通常是不可置疑的。然而，自然并没有先天地保证这种做法的合理性。那么，人们为什么对实数于物理精密描述的可用性如此信心百倍呢？这可是一个不容易回答的哲学问题了。部分物理学家认为物理学选用实数系统的原因在于它的数学上的可用、简单、精巧。他们的信念来源于实数系统逻辑的优雅、一致性和数学的威力以及对自然的深刻数学和谐的信仰。

在这里，我们需要指出的是数学具有的一个特点，即数学的无限精细化的理想化，实数点被当成数学的理想化，不是任何实际物理客观的量。我们原先和实数相关的经验主要被限于相对有限的范围。这显现出数学具有的抽象性的特征。当我们需要把握现实世界中的量和量的关系时，必须撇开事物的具体内容，把这些量和量的关系作为独立的研究对象分离出来加以考察。正如恩格斯所说：“为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边；这样，我们就得到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线，a和b与x和y，常数和变数……”

离散与连续

前面我们把实数与直线联系起来，解释了实数的连续性。同时我们也指出，有理数不连续。离散与连续这两个互相对立、有时又互相促进的趋势从最早的时期开始，就统治着数学全部复杂的发展。

我们的漫游开始于1、2、3……这些完全是离散性质的东西。在数学发展的早期，人们曾力图以孤立的、可分辨的、单独的元素来描述全部自然和全部数学。毕达哥拉斯学派就宣称：一切数量都可以归结为整数或整数之比。希帕索斯悖论把离散与连续的问题突出出来。因为整数实际上是表示离散的量，而可公度比实际上也是站在把每个量看作是单位量的离散的集合的基础上表示二个离散量的关系。不可公度比的存在或者说关于无理数存在的证明，宣布了毕达哥拉斯试图用离散的量去精确地度量一切连续的量这一努力的失败。正是由于现实中的量除了离散的量外，还存在着大量连续的量，导致了毕达哥拉斯学派信仰的破产。事实上，人们对自然中的连续现象早就有直观性的了解，并且在直觉上我们似乎完全明白连续的意义。如一只鸟穿过天空，一个雨滴的下落，河水的流动，时间的流逝或者数学上的直线都给我们留下连续的概念。在数学中，人们最早是通过研究几何对象而与连续打交道的。后来，连续的概念被牛顿、莱布尼兹及他们的后继者发展，导致形成了微积分学的广阔领域。事实上，前面我们提到的关于连续性的深入认识，正是微积分学完善的产物。当进入高一级学校，进一步学习微积分及其各式各样的分支时，我们才会与连续性紧紧联在一起，而进入研究连续性质的连续性数学的领域。

与之相对应，基于1、2、3……的离散模式的数学领域，称为离散数学。数学中有两大类问题：一类是离散性质的，一类是连续性质的。离散与连续是贯穿整个数学史的主线。可以说，整个中学阶段所学的数学（可称为初等数学）都不是突出利用连续性与无穷性的学科。算术、代数、数论包括后来出现的符号逻辑等都是处理离散性质问题的学科。进入20世纪下半叶，计算机的发明与广泛使用，使得离散数学获得了深入发展的巨大推动力。因为电子计算机的特点是根据有限位数据进行有限次运算，算出有限个有限位的解答来，其本质是离散的。现在数学的一个主要任务就是要把连续和离散熔为一炉，消除各自的含混之处，把它们包括在更广泛的数学之中。

不过，如果从初等、高等这样的字样，或我们学习的次序，而断定连续性的数学比离散性的数学更优越或更能解决问题，那就不尽然了。两者间不能强调一面而忽略另一面。有一点似乎可以向读者建议的，在学连续性数学之前，应该先打好所对应的离散性数学的基础，因为组成部分连续性的结果往往以离散性的结果做背景的。

无限之谜

在这里我们还不得不接触到数学中的一个重要概念：无限。

无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，深深激动着人们的心灵。早在远古时代，无限的概念就比其他任何概念都激动着人们的感情。而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。

在我国，《庄子》一书曾有言：一尺之棰，日取其半，而万世不竭。从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了π介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。

在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了关于无穷的思想。但，无穷对于只熟知有限概念的人们又是这般陌生与神秘。

在西方思想史上曾经产生过巨大影响的芝诺悖论就清楚地表明了这一点。

芝诺，公元前5世纪中叶古希腊哲学家。他提出的多个悖论虽是哲学命题。但却对数学无穷思想发展产生了直接且深远的影响。这里仅举其悖论之一。

阿基里斯悖论：跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。意思是说甲跑的速度远大于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的A点，但甲到了A点，则乙已进到A1点，而当甲再到A1点，则乙又进到A2点，依此类推，直到无穷，两者距离虽越来越近，但甲永远在乙后面而追不上乙。

这显然违背人们常识，而这一显然的悖论却又没有人能够解释得通，于是造成了人们观念上的混乱。前面我们已经提到毕达哥拉斯学派发现无理数的存在时所引起的波动。芝诺悖论让人们的观念陷入更加混乱之中。事实上，正是由于无理数的出现与芝诺悖论两者才导致了第一次数学危机。无理数问题由于欧多克索斯比例论的出现而获得了解决。但芝诺悖论却一直困惑着人们。

芝诺悖论是与无限问题密切相连的，它的荒谬使得古希腊人对无穷有些望之却步、敬而远之了。他们对无穷大、无穷小概念感到头痛，认为那是铺下了一条令人疯狂的道路。同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。

欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米得所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米得对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。然而他们都是对无穷采取了回避的方式。

然而，在数学中却是无法避开无穷这一“怪物”的。想想看，如果没有无限的概念，连最简单的分数如1／3都不能用小数来表示呢。而在小学中我们就明白对1／3，把除法过程无限地进行下去，被认为是合理的计算，尽管作无限次的除法是不可能真正做到的。我们把它称作是无限循环小数。事实上当我们用小数来表示分数时，出现有限小数的机会是很少的，在绝大多数的情形下，我们会遇到循环小数。当提到无理数时，问题变得更加麻烦，我们需要用无限不循环小数去表示它们呢！当然我们也可以取某几位有效数字，成为有限小数。但这只是近似而并不是精确的表达，总有误差。从应用的观点来看，我们必须允许误差，但在建立数学理论时，我们不能只有近似值而没有精确的数值。

面对挡在人们面前无法避开的无穷的怪物，出路何在？如何才能解开问题的症结呢？

一千多年过去了，到了16世纪，随着时代的发展，提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。

不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，17世纪后期牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，创立了微积分学。这种新数学理论非常成功地运用了无限过程的运算。这种新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因为它成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，并由此出现了一门崭新的数学分支：数学分析（早期亦称无穷小分析），从而在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。

要想讲述这一数学分支的即使简史在这里也是不可能的。在这里我只能用最简单的方式来说明一下它的发展道路。从中你也能体会到通往真理的路总是坎坷不平，布满了艰辛，探求无穷之径更绝非坦途。

微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小基础上，在其中，无穷被看作一个实体，一个对象。正因此，微积分才又被称为无穷小分析。而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。1734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”。就实际应用而言，它必须既是零，又不是零。而从形式逻辑角度而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论，动摇了人们对微积分正确性的信念。在当时数学界引起了一定混乱。从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。

正确的（尤其是在几何应用上是惊人的）结果却是通过肯定不正确的数学途径得出的。这把数学家们推到了尴尬境地。在对微积分的取舍上到底何去何从呢？

“向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起不顾一切奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下。18世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、伯努利家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。因而数学史家把这一时期称为发明的世纪。

在这个世纪，微积分产生之初，对基础不牢的指责，以及由此引发的争论，作为微积分学奏出的光辉乐章中的不谐和音被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。经过数学发明的18世纪后，数学建筑扩大了，房子盖得更高了，而基础却没有补充适当的强度。18世纪粗糙的，不严密的工作导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。尤其到19世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。

进入19世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。正是由于他的工作使得微积分学有了较坚实的理论基础，柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着一些不足。在进一步的研究中，先是德国数学家维尔斯特拉斯给出精确的极限定义方法，把微积分奠基于算术概念的基础上。随后是对实数本身的深入考察。前面提到的无理数理论的严格化正是这场严格化运动的产物。维尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于1870年代各自建立了自己完整的实数理论，这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时宣布了第二次数学危机的彻底解决，也宣布了人们在征服无穷的过程中取得了一场伟大的胜利。

微积分本质上是研究无限的数学，有人称它是一部“无限的交响乐。”它因而成为处理无穷过程的极为重要的方法。另外，我们前面提到的数学归纳法也是一种解决无穷问题的有效方法。

那么，关于无穷的故事是否至此为止了呢？没有。剩下的故事我们将在后面章节中继续讲述。