复数地位的确立

前面，我们已经提到由于解三次方程中出现的困难，使得数学家们不得不引入所谓虚数与复数。这一解决困难的方式在邦贝利手中得到展现，此后它被数学家们越来越熟练地使用。不过，由于在现实世界中我们没有任何事物可以支持虚数这个概念。在数学家眼中它并不真的存在，至少还不合法。发明对数的纳皮尔称之为实数的鬼魂；笛卡尔则称之为虚数。牛顿也不承认虚根有意义。但为了解决问题起见，却不得不使用它。数学家们还要在这种尴尬的处境中煎熬很长的时间。

17世纪数学家莱布尼兹对虚数的奇异性质作了描述：“虚数是非凡思想的美好而奇妙的源泉，近乎于存在与非存在之间的两栖物。”

我们可以举出18世纪伟大数学家欧拉作例子，来看一下当时的数学家对复数的典型认识。欧拉正确地解决了复数的对数问题，并认为虚数是有用的，他心目中的用处发生在当我们着手处理一个不知道是否有解的问题的时候。例如，如果要把12分成两部分，使它们的乘积等于40，我们就会得到这两部分是6＋和他说，由此我们认识到这个问题是不能解出的。可见，他对虚数的认识还存在很大的局限。事实上，他对复数究竟是什么还缺乏理解，对这些数他是不清楚的。在他的《对代数的完整的介绍》这本18世纪最好的一本代数教科书中他写道：

因为所有可以想象的数都或者比0大，或者比0小，或者等于0，所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的数（实数）中，从而我们必须说它们是不可能的数。然而这种情况使我们得到这样一种数的概念，它们就其本性说来是不可能的数，因而通常叫做虚数或者幻想中的数，因为它们只存在于想象之中。

并且，在使用复数时他也犯了错误。在这本书中，他写道：

这说明他对虚数的性质还不太清楚。

欧拉对待复数的态度正是18世纪数学家们的典型认识的反映。顺便提到一点，现在我们通常使用i表示，是从欧拉开始的。但欧拉只是偶尔这样用，经过高斯之手才成为普遍的用法。

不过，在从卡尔达诺等人开始发现虚数到这时为止，数学家们在复数问题上毕竟还是迈出了几步。

首先，从邦贝利开始人们对复数的处理使用上越来越熟练。复数是什么并不重要，重要的是它们如何运算。而由于使用它总是能够得到正确的结果，这在一定程度上增强了人们对复数的信心。

其次，一件重要的事实是：使用这种似乎无意义的表示式解方程的过程中，人们逐渐认识到：如果引入复数，二次方程总有两个根，三次方程总有三个根，而不必区别若干不同的情形了。更一般的，有人开始提出，是否n次方程总有n个根的猜测。1692年，吉拉尔首先提出这一猜想。达朗贝尔和欧拉都曾证明过它，但证明不完善，第一个完全正确的证明是由高斯在1799年的博士论文中给出的。他对这一结果印象很深，后来又给出了三个完全不同的证明。

这一美妙的定理后来被称作代数基本定理。其实，对于n次方程而言，其系数并不一定是实数，当其系数为复数时，代数基本定理同样是成立的。引入新数后，产生了如此美妙的结论，实在出乎数学家的意料。数学家们引入复数，原本只是为了处理三次方程中的困难，而没有想到的是，这样做却能够带来如此漂亮的副产品。这真是一个额外收获。但这个收获必须接受复数的存在，即结论是建立在复数基础上的，在其他数系上则不成立。代数基本定理是复数系成为一个好的数系并被更多数学家接受的原因之一。

另外，18世纪以后，数学家们不加验证地把复数用于更多的数学领域，一些新的数学分支也随之产生。这种应用包括分析甚至数论。实际上18世纪的人们在复数及复函数方面所做的工作远不止于此。令数学家们感到相当神奇的是，这种应用总是能得到关于“真实”数的正确结果。

在整个18世纪中，复数的卓有成效的应用已足使数学家对它们建立起一些信心。当然还存在一些怀疑，怀疑推理的可靠性，甚至常常怀疑结论的正确性。正如，拉普拉斯在他1812年的书中指出：“这个由实到虚的过渡可以看作是一个启发式的方法，它像长期以来数学家所用的归纳法。但是，如果十分谨慎地有约束地使用这个方法，那么所得到的结果总是可以证明的。”他的确强调，结果都必须验证。但不管什么地方，在数学推理的中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的，这个事实产生了有力的反响。

进入19世纪，复数直观意义的建立使得复数在数学中获得了更广泛的的认可。

复数直观意义的建立

18世纪时就有一些人试图用几何方法表示复数了，但这些方法的用途不广泛，当时还没有一个几何表示形式被人接受，因而它们在18世纪的影响是有限的。

1797年，自学成才的测量员韦塞尔发表了一篇题为《关于方向的分析表示：一个尝试》的论文，这篇论文刊载在丹麦皇家科学院1799年的论文集中，在这篇论文中，他几何地表示有向线段以及它们的运算，给出虚数的合理解释。除寻常的具有实单位1的x轴外，他同时引进了一根虚轴，以为单位，在他的几何法表示中，向量OP是在具有单位＋1及的平面上从原点O画出线段OP，这向量用复数a＋b 表示。

然后他利用几何术语定义的复数运算来定义向量的运算，他给出四种运算的定义实际上就是今天我们高中所学习的。显然，与其说他将复数与平面上的点相联系，还不如说他想的是将平面上的点用向量表示。他把他的向量几何表示法用于几何问题与三角问题。

这篇论文具有巨大的价值，但一直未被注意，直到1897年译成法语重新发表，才被人们重视。

与韦塞尔对复数的几何解释稍微不同，瑞士人阿尔冈又提出了一种解释，阿尔冈也是自学成才的，并且是一个簿记员，他在1806年出版了一本小书：《试论几何作图中虚量的表示法》。他注意到负数是正数的一个扩张，它是将方向与大小结合起来得出的。于是他思考，我们能否利用增添某种新的概念来扩张实数系？考虑序列1，x，－1，我们能否找到一种运算，将1转变为x，再把它应用到x上又将x转变为－1？如果将OP按反时针方向绕O转动90度，然后重复这个转动，我们就确实由于两次重复一个运算由P到了Q，但是，他注意到，这正是以乘1，然后又以乘此乘积所发生的事情；即得到－1。所以我们可以把看作是按反时针方向转过90度的旋转。而－是顺时针方向转过90度的旋转。根据复数的这个运算的意义，他指出，由原点出发的一个典型线段OB可表为r（cosα＋sinα），其中r为长度，现在称为模，角度α现在称为幅角。这实际上就是复数的三角表示。他也把复数a＋bi看成是符号化了的a及bi的几何结合的线段，并指出了如何将复数几何地相加或相乘。同时，他用这些几何表示法证明三角、几何及代数的有关的定理。

或许是人轻言微，他的发现也没有受到重视。在数学发展史上，在使人们直观地接受复数方面做得极为有效的是数学王子高斯。1799年、1815年及1816年在代数基本定理的证明中他都用了复数，并假定了直角坐标系上的点与复数的一一对应，也就是说，这些证明必须依赖于对复数的承认，相应地就巩固了复数的地位。他在1811年给贝塞尔的一封信中说得更明显，他说a＋bi用点（a，b）表示，并说在复平面上可以沿着许多路径从一点到另一点。从三个证明及其他未发表的工作中所表现出来的思想，可以判断1815年他已完全掌握了复数及复函数的几何理论，虽然在1825年的一封信中他确实说了“的真正奥妙是难以捉摸的。”他在1831年4月23日的《哥廷根学报》上发表的论文“摘要”中更进一步，他不仅a＋bi将表示为一点，而且阐述了复数的几何加法与乘法，同时也指出“虽然现在对于分数、负数及实数都已很好地理解了，但对于复数只是抱了一种容忍的态度，而不顾它们的巨大价值，对于许多人来说，它们不过是一种符号游戏，但是在这个几何表示中人们可以看到复数的直观意义已完全建立起来并且不需要再增加什么就可以在算术领域中采用这些量。”他说几何表示使人们对虚数真正有一个新的看法。他引进术语“复数”以与虚数相对立，并用i代替。他还说，如果1、－1、原来不称为正、负和虚单位而称为直、反和侧单位，那么人们对这些数就可能不会产生一些阴暗神秘的印象。

高斯平面给所谓的虚数赋予真正的现实和具体的意义。用这个平面来代替实数的直线，其用途对数学家来说是无可估量的。在稍微熟悉了复数的几何表示后，数学家们认识到复数还有其重要的实际意义。即用在向量的处理上。向量的概念，即可以代表力、速度或加速度的大小和方向的有向线段的概念，平静地进入了数学。复数可用来表示平面上的向量和研究向量。例如，设两个向量分别由3＋2i和2＋5i代表，则这两个复数的和，即5＋7i代表了用平行四边形法则相加的向量的和。复数对于平面向量所做的事情，就是提供了表示向量及其运算的一个代表。人们不一定要几何地作出这些运算，但能够代数地研究它们，很像曲线的方程能用来表示曲线和研究曲线。这样，复数，既是代数的一个概念；又可用平面的点表示，从而可视为一个几何元素。于是它成了代数与几何“联姻”的产物，在数学及其应用中发挥着独特的作用。

复数的几何表示的建立，促使更多数学家们接受了复数的概念。与此同时，复数被应用于更多的数学领域。如复数域支持了强有力的微积分的发展，导致了多产的庞大广博的复变函数理论。这个新的数学分支统治了19世纪，作为19世纪最独特的创造，几乎像微积分的直接扩展统治了18世纪那样。复变函数论，这一最丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一。此外，在复数基础上，高斯等数学家还创立并发展了前面我们提到的代数数论。

我们实在可以说，虚数的引进为数学开辟了新天地。

复数理论不仅在数学上是吸引人的，实际上也是极其有用的，它有着很大的实用价值。复数的第一个精彩的科学应用是斯泰因做出的，他发现复数在涉及交流电的高效率计算中发挥了实质性的作用。物理学家也发现虚数为描述现实世界的某些现象提供了最适用的语言。例如19世纪后半叶发展起来的电工学，复数就是开发交流电技术不可少的工具。在分析诸如钟摆之类物体的自由摆动运动时借助虚数只需要做少量不复杂的运算，因而它是理想的工具。这类运动技术上称为正弦振荡，它在自然界是到处可以发现的，因此虚数已经成为许多物理计算中不可或缺的部分。如今，电气工程师在分析振荡电路时就会想到i，而理论物理学家则借助于虚数来计算量子力学中的振荡波产生的影响。今天没有哪个电气工程师可以离开复数，搞空气动力学和流体力学的人也是这样。而复变函数论这一建立在复数概念基础之上的重要的数学分支，在弹性力学、电工学、空气动力学等领域里也都得到了广泛应用。

虽则如此，许多人还是对复数感到不自在。

如1821年，著名的数学家柯西在他的书中还认为一些复数符号式“它们不能按照一般已建立的常规来解释，并且不代表任何实的东西。”他认为：“每一个虚数方程仅仅是两个实数方程的符号表达式。”如果我们按照对实量建立的法则来对复式进行运算，我们得到时常是重要的准确结果。换言之，他仍然相信复数只不过是一种有用的数学工具，通过它能够得到关于实数的有用的结论。

当时剑桥大学的教授们仍然保持“一种对讨厌的抱不可动摇的厌恶心理，采用笨办法去避免它的出现和任何可能的使用。”甚至到了1831年那样晚的时候，德·摩根的著作《论数学的研究和困难》中谈到复数时还说：

“我们已经证明了记号是没有意义的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来了。它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子（复数），而不会导致任何错误的结果，要把这个性质求助于经验，那是与本书开头写下的一些最重要的原理相违背的，我们不能否认实际情况确是这样，但是必须想到这只不过是一门很大的学科中的一个小小的和孤立的部分。对于这门学科的其余一切分支，这些原理将完整地得到应用。”

上文中的“原理”，他指的是数学真理应该由公理经过演绎推理得出来。

接着，他把负根和复根加以比较：

“于是，在负的结果和虚的结果之间就有截然的区别，当一个问题的答案是负的时候，在产生这个结果的方程里变换一下的符号，我们就可以或者发现形成那个方程的方法有错误，或者证明问题的提法太局限，因而可以扩展，使之容许一个令人满意的答案。但当一个问题的答案是虚的时候，情形就不是这样了……对于支持和反对这种问题（如用负的量，等等）的所有论据，我们不造成采用完全介入的办法来阻止学生的进步，这些论据他们不能理解，而且论据本身在两方面都无确定结果；但是学生也许会意识到困难确实存在，这些困难的性质可以给他们指明，然后他们也许会通过充分多的（分类处理的）例子的考虑，而相信法则所引向的结果。”

在德·摩根写这番话的时候，人们正在弄清楚复数和复函数的概念。但是新知识的传播是缓慢的。哈密顿在1837年也说：复数和负数学说，很值得怀疑，甚至是不可相信的。他们觉得复数缺乏逻辑基础。确实，19世纪上半叶都在热烈地争论着复数的意义。随着这场争论硝烟的慢慢散去，正是哈密顿本人所建立的一种关于复数的新的解释，消除了人们对复数的最后一丝困惑。曾被认为是荒诞不经的、虚构的复数在数学中获取了完全的认可。

在谈到这种新的解释之前，我们顺便指出，在复数概念被认可之前很早，人们对复数的运算及其性质已经相当地熟悉了。人们对复数的加法和乘法就当作关于i的多项式处理，当出现i2时，就用－1来代替。于是，对于加法，我们有：

对于乘法有：

可以验证，这样的加法和乘法服从交换律和结合律，而且乘法对加法服从分配律。

看待复数的另一种方式：

1830年时，复数在直观上被很好地建立了，这是通过表示成平面上的点或有向线段来建立的，但哈密顿关心算术的逻辑，他不满足于只是直观的基础。他在他的文章《共轭函数及作为纯粹时间的科学的代数》中指出，复数a＋bi不是2＋3意义上的一个真正的和，加号的使用仅是历史的偶然，而bi不能加到a上去。复数a＋bi只不过是实数的有序偶（a，b）。由i或在复数的运算中引进来的特殊性质，哈密顿把它组织在以有序偶运算的定义中。例如，设a＋bi和c＋di是两个复数，则

当然，这些运算与前面我们所熟悉的运算方式是完全相同的，并且通常的结合律，交换律和分配律现在都能推导出来。

哈密顿在论文中说：呈现在这里的数偶理论是为了使（复数）的隐含意义充分体现。并且，由这一显著的例子说明：一些平常看上去只是简单符号，并无法理解的表达式，可以寓以实义。

当用这种截然不同的眼光看待复数时，不仅复数可逻辑地建立在实数的基础上，而且至今还有点神秘的也完全免除了。当然，在实践上，用a＋bi这个形式并记住还是方便的。处理复数的这种新方法的一个优点在于：数对的和与积的定义被看作是在一个域中的和与积的一般、抽象的定义的例子。因此，如果证明了由公设为一个域定义的系统的一致性，那么无需再证明，就可推断出对于复数和它们据以组合的通常规则的类似结论。

哈密顿的这一工作，对于代数学后来的发展具有重大意义。首先，他创造出用已知数类的数对定义另一类更广泛数的方法，开了用公理方法研究数系的先河。前面我们已提到的用有序自然数对来定义整数，用有序整数对定义有理数，建立起严密的数系理论，正是19世纪后期的数学家受他的启发。其次，它揭示了数的概念有不同维数的差别。实数是一维的，复数是二维的。这不仅深化了我们对实数与复数的深刻差别的理解，而且引向创造多维复数的方向。

下面我们将要提到的数系的下一步推广正是在寻找代表空间点的三维“复数”及其代数中产生的。

最美的公式

前面我们已经提到，1988年秋，一家著名的国际性普及数学杂志《数学智力》发表了英格兰数学教育家大卫·魏尔斯的一篇文章《哪一个是最美的？》

他要求世界各地的数学爱好者对每一条数学定理，根据她们“美”的程度，打上0到10之间的一个分数。同时，他还欢迎参评的人提供具体的评论意见。

24条定理被提名后一年多，评选结果出来了。eiπ＝－1以7.7分获得“最美的数学定理”的称号。在这次数学定理选美赛中，它成了“数学皇后定理”。这是欧拉在1748年发现的数学领域中最优美的结果之一。在这一等式中包含了五个数学中最重要的常数，如此协调、有序。很多人认为它具有不亚于神的力量，因为它在一个简单的方程中，把算术基本常数（0和1）、几何基本常数（π）、分析常数（e）以及复数常数（i）联系在一起了。

李昂奈说：“欧拉公式eiπ＝－1建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系。它曾被认为是‘数学中最美的公式’。今天，这种相容性的本质原因已经变得如此显然。如果不感到乏味的话，同样的公式，也将以十分自然的形式出现。”

有人提出，若能表示为eiπ＋1＝0将会显得更美。

爱德华·卡斯纳及詹姆斯·纽曼说：“有一个很有名的公式，可能是所有公式中最简洁、最著名的一个，这就是由欧拉根据棣莫弗的一个发现而提出的公式：eiπ＋1＝0……它对神秘主义者、科学家、哲学家、数学家有同样大的吸引力。”

在这本书中我们已经几次提到了数学的美，你或许会为“美”这个字眼与似乎“枯燥乏味”的数学联系在一起感到几分困惑。确实，当提到美时，人们最容易联想到的是“江山如此多娇”的自然美，抑或是悦目的图画、动听的乐章、精妙的诗文……然而，数学，这自然科学的皇后里面却蕴含着比诗画更美丽的境界。正如古希腊数学家普洛克拉斯的一句颇打动人心的名言所说：“哪里有数，哪里就有美。”回想我们前面提到的亲和数、完全数、黄金分割、黄金矩形、与圆周率相关的那些公式，包括这里刚提到的最美的公式等等的这一切时，你有没有对此产生共鸣呢？

不过，数学带给人们的美远不止这直观的形式美。数学美有着更深的内涵。它正如著名数学家罗素所认识并尽力描绘的那样：“正确地说，数学不仅拥有真理，而且，还拥有极度的美——一种冷静和朴素的美，犹如雕塑那样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，没有绘画或者音乐那样华丽的外衣，但是，却显示了极端的纯粹和只有在伟大的艺术中才能表现出来的严格的完美。”

确实，数学中的美，不是以艺术家所用的色彩、线条、旋律等形象语言表现出来，而是把自然规律抽象成一些概念、定理或公式，并通过演绎而构成一幅现实世界与理想空间的完美图象。也就是说，数学的深刻的本质的美更体现在数学理论内部逻辑结构所呈现出的内在美，数学的更加诱惑人的宽广无际的美在于它内在奇妙结构的完美的和谐统一性。只有数学内在结构的美，才更令人心驰神往与陶醉。

数学内在美的标准在于它的真实、简洁、和谐、统一、奇异。

真中见美，是数学内在美的重要特征之一。正确性是数学中绝对的准则。但这种真，却是源于生活，而高于生活。如从实践中得到的点、线、面就是高于生活的完美的、理想化的图形——理想直线只具有长度，两条理想的、完美的直线，相交于一个理想的、完美的点，而这个点除了位置以外竟压根儿就没有大小；数学中所定义的圆，比任何画家和文学家所能描绘的都更加完美无缺。正是这种真实与正确，使数学显示出它特有的美的魅力，使它能延续几千年乃至永久。

简洁性，是数学结构美的重要标志，是数学形式美的基本内容，是数学家追求的目标。通行世界的符号可算是最简洁的文字，精炼准确的数学概念和定理的表述，可算是最简洁的语言。数学的简洁性还表现在数学理论体系的结构简洁上。由于数学是逻辑地展开的，因此简洁性的要求在数学中集中反映在对公理的要求上。数学以其简洁的形式，从一组简洁明了的公理、概念出发而推证出各种令人惊叹的定理和公式，使人们洞察到其内在的和谐性和秩序性，从中产生一种崇高、博大，妙不可言的审美感受。正如绘图时用三种原色绘制出各种色彩缤纷的图画或简谱中凭借七个音符谱写出各种令人心醉的乐章所带给人们的艺术美的享受一样，从一组定义、公理出发，演绎出一套逻辑体系，从而建成一座巍峨的数学大厦，是众多数学家乐意玩的游戏。当此中高手欧几里得第一次把一个逻辑体系呈现在世人面前时，世人就为其壮举所折服了、迷住了。爱因斯坦感叹道：“这是人类一个可赞叹性的胜利。”也有人断言：“能觊觎美神真面目的，唯欧几里得一人而已”。在希尔伯特的公理化思想中，数学的严谨、简洁得到了更加充分的体现。

统一不仅是数学美的重要特征，而且它是数学本质的一种反映。统一性是数学研究的一个大方向。协调一致产生的和谐美，首先在一座座数学大厦中都得到了体现。此外，当随着数学的发展，一座座原本各自为政，不通有无的数学大厦之间忽然架起各式各样的友谊之桥时，人们就会为这以前没有认识到的亲缘关系而大吃一惊，同时产生一种出乎意料、不期而遇的美的享受，更领略到数学内部结构的和谐统一美。如，解析几何的诞生，将代数与几何两者紧密联系在一起，使人们从中感觉到了数和形的和谐美、统一美。如今数形统一的观点早已深入人心了。现在，各个数学分支间已形成了各式各样、错综复杂的关系网，一座座原先孤立的数学大厦已联结成为一个整体。数学已成为由各个数学分支紧密结合而成的和谐统一体。当你能够得其门而入时，你想必更能为数学内部结构有机联系的美妙图景所呈现出的美而陶醉的。

奇异是一种美，奇异到极致更是一种美。当表面看来毫无联系的概念密切沟通起来时，就会令人惊叹宇宙万物的神秘。黄金比与斐氏数列的内在关联，就使它具有一种特殊神秘感与迷人魅力，使人倾倒。上面刚提到的最美的数学公式也体现出这种奇异美：数学中最重要的几个常数竟然会被联结在一个式子中，这是多么不可思议的事情啊。奇异性常与数学反例联系在一起，奇异性还往往伴随着数学方法的出现。

数学美的重要性体现在，它是数学发展的内驱动力。为什么数学有着如此迷人的魅力，吸引着无数富有才智的人为之献身呢？数学是有用的，这只是吸引数学家的原因之一。数学家不单单因为数学有用而研究数学；他们研究它还因为喜欢它，而喜欢它则是因为它是美丽的！

海森堡曾说：“美对于发现真理的重要意义在一切时代都得到承认和重视。”

徐利治教授也曾指出：“数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园，这片园地正是按照美的追求开拓出来的。”

数学美还是评价数学理论的重要标志。可以说，数学理论是按数学美学特征的模式来建造的。下面引述的几位著名数学家的名言就足以说明这一点。

冯·诺伊曼认为“数学家无论是选择题材还是判断成功的标准主要都是美学的”。

韦尔说：“我的工作总是把美和真联系起来，而当我必须作出选择时，我通常选择美。”

庞加莱说：“数学家非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风。”

哈代所说：“数学家的样品，像画家或诗人的一样，必须是美的；各种思想，像色彩或词藻一样，必须以和谐的方式组合在一起。美是首要的标准，丑陋的数学不可能永世长存。”

也许你会说了：怎么我就没有发现数学有多么美呢？

原因很简单：内行人津津有味地体会到的妙处，是身处在殿宇中的，而你还缺乏打开这扇门的钥匙。努力培养自己的数学审美能力、培养自己的数学鉴赏力吧！因为当你具有了欣赏数学美的“眼睛”的时候，在对数学的学习和研究中，你就能够更深刻地理解数学，你就不但能获得数学知识，而且还能从中得到美的熏陶与满足。