四元数的性质

四元数是形如：a＋bj＋cj＋dk的数。其中i，j，k起着i在复数中所起的作用。实数部分称为四元数的数量部分，而其余是向量部分。向量部分的三个系数是点P的笛卡尔直角坐标，而i，j，k是定性单元，几何上其方向是沿着三根坐标轴。两个四元数相等的准则是，它们的数量部分相等以及它们的i，j，k单元的系数分别相等。

两个四元数的加法很简单：将它们的数量部分相加，且将i，j，k单元的每个系数相加，以形成这些单元的新系数。于是，两个四元数的和本身也是四元数。

四元数进行乘法运算时，乘法的所有熟知的代数规则都假定有效，除了在形成单元i，j，k的积时，放弃了交换律，而具备下列规则：

jk＝i，kj＝－i，ki＝j，ik＝－j，ij＝k，ji＝－k，

i2＝j2＝k2＝－1

按照这种规则，乘法是可结合的。

如果使用数对来表示上述的结论，则四元数的加法和乘法可作出如下定义：

（a，b，c，d）＋（e，f，g，h）＝（a＋e，b＋f，c＋g，d＋h）

（a，b，c，d）（e，f，g，h）＝（ae－bf－cg－dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df－bh，ah＋bg＋de－cf）

这样的四元数，加法符合交换律和结合律，并且，四元数的乘法符合结合律和加法上的分配律。但是我们如果对（0，1，0，0）和（0，0，1，0）这两个四元数加以计算就很容易发现

（0，1，0，0）（0，0，1，0）＝（0，0，0，1）

（0，0，1，0）（0，1，0，0）＝（0，0，0，－1）＝－（0，0，0，1）

乘法的交换律在里失效了。

当然，这种数对的表示形式与开始给出的四元数是一致的。事实上，我们只需用符号1、i、j、k来分别代表四元数的四个单位（1，0，0，0）（0，1，0，0）（0，0，1，0）（0，0，0，1），那么任意一个四元数（a，b，c，d）就可以写成

（a，b，c，d）＝a×1＋b×i＋c×j＋d×k＝a＋bi＋cj＋dk

于是，四元数又变回了我们所熟知的复数的常见形式。

四元数被另一四元数除也能实现。但乘法不交换蕴含了用四元数q除以p，可以意味着找r，使p＝qr或p＝rq，而这两个商r在这两种情况下不一定相同。

1843年，哈密顿在爱尔兰科学院会议上宣告了四元数的发明。他对自己的四元数具有无限的热情，他相信这个创造和微积分同等重要，将会是数学物理中的关键工具。为发展这个课题他写了许多文章，为它付出了余生。他这项工作的最后形式体现在他的《四元数讲义》和死后出版的两卷《四元数基础》中。

作为一项伟大的创新，四元数自提出之日起就吸引了人们大量的注意。随后它沿着两个不同的方向发展开来。