从四元数到向量

四元数一出现就吸引了众多数学家们的注意。然而，四元数并不是物理学家所真正需要的东西。他们要寻找一个概念，它不脱离笛卡尔坐标，而是比四元数更紧密地联系于笛卡尔坐标。在这样一种概念的方向上，第一步是麦克斯韦作出的。他区分出哈密顿的四元数的数量部分和向量部分，并且把重点放在这些分开来的概念上。他把四元数的数量部分和向量部分作为分开的实体进行处理。他的工作清楚地表明，向量是物理思想的真正工具。于是在麦克斯韦所处的时代，由于分开处理四元数的数量部分和向量部分，而创造了大量的向量分析。但在麦克斯韦的工作中，仍然相当程度上保留了四元数的形式。同四元数正式分裂，从而开创一个新的独立的课题：三维向量分析，是在1880年代初期独立地由J·W·吉布斯和O·赫维赛德所建立。

吉布斯曾在他的学生中私下传播过小册子《向量分析基础》，在介绍性的说明中叙述了他的观点。他的书在促进向量的产生方面产生了不可估量的价值。

赫维赛德早期的科学经历是工程师。他感到学习四元数对一个忙碌的工程师是太难了，因此他建立他的向量分析。

按照两人所提出的，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数。这样，向量v是

这里i，j，k分别是沿着x，y，z轴的单位向量，系数a，b，c是实数，称为分量。两个向量相等意味着相应的分量都相等；两个向量的和是一个向量，其各分量分别是被加项的相应分量之和。

他们还引进了两种类型的乘法。第一种类型称为数量乘法，现在称为数量积，其结果不再是向量而是一个实数或数量。它具有新的代数特点，因为两个实数或复数或四元数的积，永远是我们所从出发的同一类数。数量积的另一个奇怪性质是当两个因子没有一个是零时它可以是零。向量第二类型的乘积称为向量积，其结果是一个向量。因为这两种乘法都有着明显的物理意义，因而对于物理学家来说是非常有用的。

不难发现，这种向量理论与四元数理论间的差别。在四元数理论中，向量是四元数的辅助部分，而在向量理论中向量是作为基本的量出现的。于是，向量分析在创立的时候及其后，在四元数的拥护者和向量的拥护者之间对究竟哪一个更为有用的问题引发了很多争论。争论的硝烦逐渐散去后，向量一方宣布了胜利。工程师热烈欢迎向量分析。进入20世纪，物理学家也完全信服向量是他们所要的东西。最后，数学家们也跟着适应了，并把向量方法引进到分析和解析几何中来。向量代数还被进一步推广到变向量和向量微积分。

就这样，哈密顿的满腔希望化为了泡影。由于四元数本身的特点决定了它不便于计算和推广，从物理学角度而言，四元数远没有起到哈密顿所期待的作用。随着向量的出现，四元数的地位便大大削弱了。它的位置被灵活、方便的向量分析所取代了。但正是哈密顿的工作间接地引向向量代数和向量分析，从饮水不忘思源的角度来说，物理学家仍然不应忘记他的贡献。