从四元数到超复数

前面我们已经提到四元数不是物理学家欢迎的东西，它的位置后来被向量所取代。但从纯粹代数观点看，四元数仍是令人兴奋的，因为它提供了一个除了乘法的交换性而外具有实数和复数性质的代数的例子。数学史表明，四元数的建立在数学的历史发展中具有十分重大的意义，它在数学发展史上发挥了巨大的影响与作用。因为，在此以前，不管数系经过了多次的扩充，但它们始终都保持了自然数所具有的运算性质，即保持了交换律和结合律。因而，人们就认为这些法则是数的运算的所必须遵循的准则；然而，现在四元数代数的建立清楚地表明这些法则并不具有这样的必然性。哈密顿的重要代数创造，揭开了全新的领域，打破了对于“数”所必须遵循的规则的古老信念。型的永恒性原理的荒谬性在四元数引入后变得显而易见了。“四元数代数是一个独立的宣言，它把代数从自然数及其自然法则的束缚下永远地解放出来了。”思想的藩篱一旦冲破，具有各种独特性质的新数便相继问世。首先创造出来的是八元数。

最早发现八元数的数学家格拉夫是哈密顿的朋友。1843年10月17日，哈密顿曾写信告诉他四元数的事。到了11月，格拉夫就做出了自己的发现。正如我们所熟知的，一个规则打破后，再打破其他规则就容易得多了。

不久后，在哈密顿四元数的启发下，另一位著名数学家凯莱也发现了八元数。凯莱的发现引起了更大的影响，后来八元数也被称为凯莱数。

一般的八元数定义为：x＝x0＋x1e1＋…＋x7e7

这里x0，x1，…x7是实数，e1，e2，…，e7起着i，j，k在四元数中所起的作用。八元数单元是1，e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，其运算法则很复杂，我们这里就不再多提了。但可以指出的是，在八元数系中，人们不得不放弃另一个规则，即乘法的结合律。这意味着，对三个一般的八元数q1，q2，q3来说，q1×（q2×q3）≠（q1×q2）×q3。因此，数系的扩充不是没有代价的，新的数系会失去一些原有的性质。我们从下面的表格中可以看到这一点。

这个数的推广的故事是否能继续延伸到到十六元数、三十二元数……？1898年，在哈密顿的发现50多年后，这被证明是不可能的。一个直观的解释是：已经没有像实数交换律和结合律那样的“多余性质”来供人们放弃了。八元数代表了一个数系在被限制得令人绝望之前所能达到的复杂度极限。

可见实数及复数域具有独特的性质，而且只要有除法，即便结合律和交换律都不满足，也只有四元数代数和八元数代数。简单说，能进行加减乘除四则运算的数的系统只有：实数、复数、四元数、八元数。可见类似于“数”的代数到此为止。

但创立特定代数的路才刚刚开始。四元数的发现，使人们认识到：代数不是只有一个实数和复数的代数，而是有很多个不相同的代数。19世纪后半期，为了看到能创造出些什么样的变种，许多奇异的“数”系统被大量探索出来了。

数学家格拉斯曼最早引入一类广义的“数”。事实上，当哈密顿建立他四元数时，格拉斯曼就在建立复数的一个更为大胆的推广了。他在哈密顿以前就有了他的想法，但直到1844年，即在哈密顿发表其四元数的发现后一年，他才发表了他的《线性扩张论》一书。

格拉斯曼不只考虑实数有序四元数组，而是考虑更为一般和广泛的实数有序n元数组。他把数组（x1，x2，…x2）和（x1e1＋x2e2＋…xnen）相联系，其中（e1，e2，e3……en也有一个近似于哈密顿为1，i，j，k所制的乘法表。不同的乘法表就可以自由地产生出相应的代数结构。

这本书有着高度独创性，可是由于其叙述抽象，以至很多年间此书只为很少人所知。当四元数几乎立刻就吸引了很大的注意力时，格拉斯曼的工作暂时被忽视了。

哈密顿在他的《四元数讲义》中还引进了拟四元数，即带有复系数的四元数。他指出乘积定律对这些拟四元数不成立，即两个非零的拟四元数相乘可以为零。

伦敦大学学院的数学和力学教授W·K·克利福德创立了另一类型的数，他也称之为拟四元数。其拟四元数满足乘法的乘积定律，但这乘法不是结合的。他在后来的工作中引进了以他的名字命名的代数，称为克利福德代数，其中所有乘积是可结合的。

新的这类超复数系统继续涌现，种类是大量的。哈佛大学数学教授B·皮尔斯1870年发表了著名论文《线性结合代数》，总结了这方面的工作，给出一份当时已经知道的线性结合代数概要。他指出“线性”这个词意味着任何两个原始单元的积可化简成另外一个单元，就像四元数中i乘j用k代替一样，而结合这个词意味着乘法是可结合的。在这些代数中，加法具有实数和复数的通常性质。

除此外，在四元数之后，数学家们还引入了其他更奇怪的“数”。

著名代数几何学家凯莱1847年引进了矩阵，这是矩形或正方形数组，对它们也可进行通常的代数运算。这种矩阵代数加法符合交换律，与结合律，而且乘法对加法符合分配律，但是如同在四元数中的情形一样，它也没有乘法可交换性，而且即便两个矩阵都不为零，它们的积也可能为零。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。除此外，人们还设计出许多种乘法不符合结合律的代数，如约当代数和李代数。这些代数，在不同的科学领域均有应用，而且有的已成为数学上的重要工具，并且硕果累累。

由此可见哈密顿四元数的引入，对代数学研究方向产生的重大影响，它向人们指出正如几何不止一种一样，代数也不只一种。而且从某种意义上说，正是他的工作打开了现代抽象代数的大门，代数学由此步入了新的领域。

数学的客观性

各种抽象数的引入，使得原来就已存在的一些争论更为醒目。这类问题包括：数学对象是客观的吗？它是来自于外部世界呢，还是人类思维的产物？数学究竟是发明还是发现？

通过我们前面的介绍，可以清楚地发现数学的初始概念的建立都离不开外部世界为我们提示的经验与材料。如著名数学家希尔伯特所说：“在每个数学分支中，那些最初、最老的问题肯定是起源于经验，是由外部的现实世界提出。”

当然，随着数学的发展，数学与现实世界的关系日趋曲折复杂，同时数学的概念和理论更为抽象。当数学的这种抽象性发展到一定程度时，人们就愈发倾向于数学与客观无关的印象。数学中的逻辑派认为数学是从逻辑那里先验地推导出来的，与现实根本无关；形式公理派把数学看作是一种没有内容的符号的组合游戏，直觉派的代表布劳威尔则宣称；数学完全独立于物质世界是对的，数学的存在意味着直觉的构造。

这些观点认为，数学似乎根本就没有任何是实在的。数学对象仅仅是概念；它们是数学家制造的精神上的理想化，它经常受到我们四周世界的外观和表面秩序的刺激，但充其量仍不过是精神的理想化而已。然而，数学对象能仅仅是人类头脑的恣意创造物吗？

让我们以复数为例。初看起来，引进－1的平方根似乎仅仅是作为解方程的工具，虚数似乎只是为了达到特定目的的数学发明。但后来人们越来越清楚，从这些东西所获取的比原先所设计的多得多。虽然复数引进的当初目的是为了使取平方根畅通无阻，后来人们发现作为奖赏，能够求任何其他根式甚或解任何代数方程。人们还发现了复数的许多神奇性质，这些性质在虚数引入伊始，一点儿的征兆也没有。这些性质现存在那里。尽管卡尔达诺、欧拉、高斯等具有无可怀疑的远见，但这些性质不是由他们以及其他伟大的数学家放在那儿的。这些神奇是他们逐渐揭开的结构本身所固有的。当初引进复数时，根本对接踵而来的许多神奇没有任何一点暗示。复数系统本身具有根本而永恒的实在性，它超越出任何特殊的数学家的精神构想。从这一例证可以发现，一些数学概念会显示出某种深刻的实在性，完全超越出个别数学家的深思熟虑之外。人类思想受到真理的引导，但真理本身具有实在性。

由此我们可以转向下一个疑问：数学家的工作，是“发明”呢，还是“发现”？

在数学中有些东西，似乎只是“人的作品”，用“发明”要恰当些。比如：在证明某些结果的过程中，数学家发现必须引进某种巧妙的而同时并非唯一的构想，以得到某种特别的结果。然而在另一些情况下，用术语“发现”的确比“发明”更贴切得多。如前面我们讲述的复数的故事。当它引入后，人们从它的结构中得到的东西比预先放进的东西多得多。人们可以认为，在这种情形下数学家和“上帝的杰作”邂逅。也就是说，复数与复数的性质都是客观的，既非任何人的发明，也不是任何一群数学家的有意设计。它不是人类思维的发明：它是一个发现！数学家们只是重新“发现”了它们！数学家实际上是发现现成的真理，这些真理的存在完全独立于数学家的活动之外。数学对象是一种独立的、不依赖于人类思维的客观存在。

我们可以引述两位伟大数学家的意见作为我们这一讨论的结束。

阿基米得认为，数学关系的客观存在与人类能否解释它们无关。

牛顿说：“我不知道世人对我怎样看法，我只觉得自己好像是在海滨游戏的孩子，有时为找到一块光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴，而真理的海洋仍然在我的前面未被发现。

可见，再伟大的数学家也仅不过是能够瞥见永恒真理一部分的幸运者。

当然，数学与客观实在的联系并不总是如此紧密有力。如四元数以及各种超复数的引入就是反对这种联系者提出的例证。通过前面的介绍，我们可以看到四元数的引入是有着物理背景的，但对其他的超复数就连这种背景也失去了。它们似乎已是数学家的自由创造物。这类现象在数学中是不少见的。数学概念的第一次抽象往往与外界世界有着紧密联系。但这些概念一旦引入数学中，就往往会进一步抽象化。当这种抽象化达到一定程度时，它与外界就似乎失去了关联。

只驰骋于数学内部的逻辑，而不关心数学与外部的联系，却做出重要数学贡献的数学家不在少数。伴随着数学抽象程度越来越高，尤其是数学公理化思想的盛行，一段时间内否定数学与外界的联系的观点在数学家中变得相当普遍。

但诚如庞加莱在1897年苏黎世第一届国际数学家代表大会的报告中所指出的：“……如果允许我继续拿这些优美艺术作比，那么把外部世界置诸脑后的数学家，就好比是懂得如何把色彩与形态和谐地结合起来但却没有模特儿的画家，他们的创造力很快就会枯竭。”数学发展的历史证明了他是很有见地的。在他作出这个形象的比喻后80年，在丹麦召开了专门讨论数学同现实世界关系的国际性学术讨论会，更多的数学家相信数学同现实世界是密切相关的，数学反映了现实世界并在现实的应用中得到发展。