集合论的公式

我们在本书一开始就使用了集合这一概念。集合论创始人康托尔对集合下过一个素朴的定义：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。这一定义包含了几方面的要求。其一，组成一个集合的各个元素间有着某种相同的性质。其二，要求各事物是“确定的”，即是指集合中的元素要么具有这种性质，从而在集合中；要么不具有这种性质，从而不在集合中。不应出现含糊、模棱两可的情况。顺便指出，这一要求在康托尔的集合中是必须的。但在1965年，美国一数学家提出模糊集合的概念，取消了这一要求。其三，各事物间是有区别的，即是指集合的元素是互不相同的。其四，“全体”这两个字很重要，这表示集合应该包括具有所说性质的一切元素，而不能有所遗漏。

在讲述关于集合论的更多内容之前，我要先讲一点康托尔与他的集合论的故事，因为我实在抵挡不住这种诱惑。

康托尔，德国著名数学家。1845年3月3日生于圣彼得堡。在他早年时，他就对连续性和无穷大产生了浓厚的兴趣，并且在他15岁以前他非凡的数学才能就已得到显现。由于他对数学研究有一种着迷的兴趣，他决心成为数学家。但是他讲求实际的父亲顽固地想要强迫他学工程，因为工程学是更有前途的职业。1860年，在给康托尔的信中他写道：“盼望你的正是成为一位特奥多尔·金费尔，然后，如果上帝愿意，也许成为工程学天空的一颗闪光的星星。”可怜天下父母心！他们总是以自己的意愿为自己的孩子设计未来，却往往不去考虑自己的孩子适合干什么。唉，什么时候父母们才会了解让天生的赛马去拉车的专横愚蠢呢？

康托尔服从了父亲的安排，但当危害逐渐造成时，父亲明白了自己是在毁掉儿子的意愿，父亲让步了。17岁的康托尔以优异的成绩完成了中学学业后，他得到父亲的允许，上大学学习数学。对此，康托尔以孩子气的口吻写道：“你自己也能体会到你的信使我多么高兴。这封信确定了我的未来。……现在我很幸福，因为我看到如果我按照自己的感情选择，不会使你不高兴。我希望你能活到在我身上找到乐趣，亲爱的父亲；从此以后我的灵魂，我整个人，都为我的天职活着。一个人渴望做什么，凡是他的内心强制他去做的，他就会成功！”后来事情的发展表明，数学应当感激这位父亲的明智做法。

当康托尔步入数学研究行列的时候，数学界正进行着重建微积分基础的运动。康托尔也很快将自己的研究方向转向这一工作。在工作中，他探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，也是在这一年，29岁的康托尔发表了他关于集合论的第一篇革命性论文。这篇论文中所建立的关于全部代数数集的意想不到的结果，以及直接使用的完全新颖的方法，标志着这位年轻作者是一个有非凡独创力的数学家。

随后的十几年是他最富创造力的一段时间，他独自一人把集合论推向深入。在他最伟大的、最有创见的创造时期他本来完全可以获得他期待已久的德国最高荣誉：取得柏林大学教授职位，然而他的这一抱负却一直没有实现。他活跃的专业生涯是在哈雷大学度过的，这是一所独特的三流学院。而且他一系列的伟大成果招致的也只是更多的攻击与反对。他的主要论敌是柏林大学的克罗内克。克罗内克把康托尔的工作看作一类危险的数学疯狂。他认为数学在康托尔的领导下正在走向疯人院，便热烈地致力于他所认为的数学真理，用他能够抓到的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“正确的无穷理论”和它的过于敏感的作者。如果说克罗内克在科学论战上是一个最有能力的斗士，那么康托尔就是一个最无能的战士。于是悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。克罗内克摧毁了这一理论的创造者。1884年春，40岁的康托尔经历了他的第一次精神崩溃，在他长寿的一生随后的岁月中，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会上赶进精神病医院这个避难所。事实上，在生命的最后十年，他大都处于严重抑郁状态，并在哈雷大学的精神病诊所度过了漫长的岁月。他最后一次住院是1917年5月，直到去世。

上面所讲述的是悲惨的主人公的故事。下面再来看一下这位天才的伟大作品所经历的命运。

人们通常把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的一天定为集合论诞生日。在一段时间内，戴德金也许是当时试图认真而同情地了解康托尔的颠覆性学说的唯一的第一流数学家。因而可以说，康托尔差不多是在单枪匹马孤军作战。但就是在这段时间内，他却将自己的集合论不断推向深处。他最主要的成就是把无穷集合这一词汇引入数学，提出并发展了超限数理论，从而发现了无穷集这一数学上新的、一个广大而又从未人知的世界。

康托尔的工作，在发表之初遭到许多人的嘲笑与攻击。克罗内克有句名言：上帝创造了自然数，其他都是人为的。他完全否认并攻击康托尔的工作，称“康托尔走进了超限数的地狱”，更有人嘲笑康托尔关于无穷的等级的超限数理论纯粹为“雾中之雾”。在前后经过20余年后，康托尔的工作才最终获世界公认，并赢得极大赞誉。然而正如我们已提到的，当深具独创性的集合论在20世纪初得到数学家们的赞同，当故事中的配角陶醉于集合论的成功时，我们故事中的主角却已经无法更好地享受自己的胜利了。在争论的硝烟渐渐散去后，康托尔已成了激烈争论的牺牲品。唉，这里我又禁不住想对主人公的命运叹息几声了。不过，比感叹更重要的是认真考虑集合论先是被拒绝而后被认可的原因何在。

首先，人们对一个新鲜事物的接受总是需要一个过程。20余年的漫长岁月给了人们重新评价认识集合论的缓冲时间。在心理上的最初震荡后，人们已经能够接受这一新事物了。

其次，集合论作为具有巨大活力的新鲜事物，有着强大的生命力。比如说，数学家发现，用集合的概念来表述数学的研究对象及其性质，是非常合适的。因为数学往往要求它的对象有非常明确的性质，同时所研究的往往是某一类的对象的全体所共有的性质，而这一切都可以使用集合的语言，例如有理数的集合，直线上所有点的集合等等。即是说，许多长期存在的问题，可以用集合论提供的丰富语言来重新描述或解决。更为重要的一点在于：数学家们发现要建立严格的数学基础，需要依赖于集合论。在当时重建微积分基础的过程中，严格的逻辑基础被归结为实数理论，而实数论却需要在自然数理论和无穷集合论的基础上发展起来，进一步，自然数论完全可在集合论中推出。

在前面的章节中我们已经给出了自然数的序数理论。这里我们可以简单说明一下自然数的基数理论，并简要看一下如何在集合论基础上建立自然数论。

让我们先来回想一下原始人最初得到自然数的概念的过程吧。

比如说自然数2是如何得到的呢？原始人发现像2个石子、2个兔子、2个手指等等这些看似完全不同的众多集合之间其实有着某种共同之处，即它们都能与人的“耳朵”建立起一一对应，因而这些集合的数目是相同的。后来，原始人从这些具有相同特征的集合中取出一个代表集合来表示这些集合的共同特征，并给它取了名称，随后又引入符号来表示它。这就完成了对一个自然数的认识过程。

我们的自然数基数理论正可以由此得到启发而得到。

比如说，我们这里有集合A＝｛a，b，c｝；B＝｛d，e，f｝；C＝｛刘备，关羽，张飞｝……

这些集合有什么共同的性质呢？

可以发现，它们中的元素虽然没有什么联系，但是在不同集合的元素间却可以建立起一一对应。康托尔把能够建立起一一对应关系的集合称为等势。于是我们可以说上述一些集合的共同性质就是它们是等势的。

现在我们建立一个新的集合M＝｛A，B，C｝

就是说，我们把所有与A等势的集合组成了一个新的集合，这个集合是抽取了集合A、B、C……的共性，现在呢，就把这个新的集合叫集合A的基数。

这实际上是采用了等价类的观念。把所有等势的集合看作一个等价类，而一个等价类表示了一个基数。

康托尔本人认为一个集合A的基数是两次抽象的结果，一次是从A的元素中抽去质的特性，另一次则是抽去元素之间的次序关系。因此他把集合A的基数记为。A上的二个杠表示经二次抽象。集合A的序数记为，指对一个集合，保留元素之间的次序关系，抽去质的特性，得到A的序数。

那么，基数与自然数又是什么样的关系呢？

我们来看集合A，它的一个特征是：任何情况下，它都无法与它自己的一部分（集合论术语称作真子集）等势。换句话说，就是它无法与它的任何一个真子集建立一一对应关系。看到这里，许多读者或许要问了：难道所有的集合不都是如此吗？难道会有集合与它的真子集建立一一对应关系吗？那样的话，岂不是整体等于部分了？……这样的疑问正是我们后面马上要着重讲述的内容。这里暂且不提。先说我们所熟悉的这类集合，它们无法与自己的任一真子集建立一一对应关系，这种集合被称为有限集合。于是我们可以给出结论了：一个有限集合的基数我们就称为一个自然数。如上述集合A是一个有限集合，它的基数就代表了一个自然数。不过，我们需要强调指出的是：这里所定义的自然数实际上是一个无限集合，集合中的元素具有的共同特征就是与集合A等势，简单点说，一个自然数对应的是一个等价类。回想一下前面章节中所提到的分数理论，可能会有助于你了解这一点。既然一个自然数是一个等价类，那么我们就可以从中取出一个代表集合来表示这个等价类。当我们想进一步把自然数的基数理论完全建立在集合论的基础之上时，如何取出代表集合就是首先需要考虑的问题了。这里需要注意的一点是，在集合论中是没有0、1、2……等等这样的数字的。那么我们如何做呢？

在集合论中包含一个没有任何元素的集合，称为空集。记作φ，或｛　｝

1908年，数学家策梅罗建议用集合序列φ，｛φ｝，｛｛φ｝｝，……来表达自然数0、1、2……。

另一位数学家后来提出另一个集合序列表达自然数。用φ，｛φ｝，｛φ，｛φ｝｝，……来表示自然数0、1、2……。你可能会疑惑地问：我们为什么要如此费劲呢？

因为只有如此我们才能认为从集合的概念出发定义出了“自然数”。当然了，对于一个我们每天使用3这样的自然数概念的普通人来说，这个定义似乎过于复杂了，以致于显得毫无必要。但对数学家们来说，这并非多余，因为只有在这种严格的无可挑剔的描述下，才能建立起严密的数学大厦。

最后指出的是，由于数学家们已经构造出了自然数。因而现在我们为了更符合习惯，还是把自然数写成0、1、2…这与我们认为基数是集合中元素个数的想法更吻合。

在20世纪初的时候，大多数数学家们已经相信，实数论的问题可以归结为自然数论，自然数论可以归结为集合论。于是，所有的问题都归于集合论的融贯性。归结到集合论，数学绝对严格的目的就达到了。这样，集合论，这一康托尔的杰出工作，为数学家们找到了营造数学大厦的基石。因而集合论在20世纪初得到数学家们的赞同。

1900年在世界数学家大会上，著名数学家庞加莱郑重宣布：“现在我们可以说，数学最终的严格性基础已经确立了。”这表达了数学家们欣欣自得的共同心情。而无穷集合，也就成了数学家们的伊甸园。

然而，正当数学家们在无穷集合的伊甸园中优哉游哉，并陶醉于数学绝对严格性的时候，一个惊人的消息迅速传遍了数学界。

“集合论是有漏洞的！”这就是1902年罗素得出的结论。

罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。这就是著名的罗素悖论。

“绝对严密”“天衣无缝”的数学，又陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。

事实上，悖论在此之前已经有人提出过了，包括康托尔本人在1997年提出的康托尔悖论。但在当时却没有引起太大的注意。原因在于为了表述这些悖论，需要很多的集合论背景，所以不能为太多人了解。另外，人们对消除这一悖论是乐观的，康托尔本人就持这一观念，他认为消除这一悖论并不会是多少困难的事情。但罗素悖论则不同。罗素悖论相当简明，这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。于是原本已平静的数学水面，因罗素悖论的投入，又一石激起千重浪，令数学家们震惊之余有些惊慌失措，这就导致了数学史上所谓的“第三次数学危机。”

当回顾这段历史时，我们不得不说，悖论的出现，尤其是引起普遍关注，实在是恰逢其时。设若早几年出现这样的事情，康托尔的反对派手中将增添一件极具杀伤力的武器。康托尔的集合论能否幸存下来都很难预料了。好在，悖论出在集合论已赢得了大量同盟军的时刻。在这种情况下，固然会有反对派借题发挥，要求取消集合论。但更多的人却站出来保卫集合论。危机产生后，包括罗素本人在内的众多数学家迅速投入到解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数学家希尔伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。

在集合论的思想和方法的基础上，测度论、点集拓扑等新的数学科目产生和发展起来，给分析带来了革命性的变化。不仅如此，集合论作为现代数学的一个基本分支，还在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。

正因为集合论在现代数学中的极端重要性，康托尔以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一。罗素称赞说：“康托尔的工作可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就。”希尔伯特称其超限理论为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”

再谈无限之谜

前面我们已经提到数学离不开无穷的概念。事实上，无穷与数学的关系比上面提到的还要密切得多。数学与无穷有着不解之缘。然而，如果追溯历史，你又会惊奇地发现数学家往往会有意地避开这个事实上无法避开的东西。这是为什么？原因在于在研究无穷的道路上布满了陷阱。

从数学发展之初，人们就在寻找一种对无穷过程进行考察的适当的数学方法。

实际上，作为数学发端的自然数1、2、3……本身，就以它们质朴的面貌展示了向这一堡垒攀登的最初尝试。写在1、2、3后面的省略号，就是我们迈向数学上的无穷的第一步。

对自然数的这种无限的性质我们认真分析一下。这种无限事实上是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。因为任何正整数加上1之后总能得到一个比它大的新数，所以我们说正整数是无限的，但只是潜在无限的。在数学无穷思想中还存在着另一种观念：实无限观念。这种思想认为无限的整体本身可作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成可以自我完成的过程或无穷整体。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。

亚里士多德最先提出要把潜无限和实无限区别开。但他认为只存在潜无限，而不承认实无限。对他来说，无限集合这个概念是不存在的，因为无限多个事物或要素不能构成一个固定的整体。由于亚里士多德的权威，潜无限思想在古希腊数学中占统治地位。

但是，事实是不依赖于人的意向而转移的客观现象，它们不会因人们认识上的落后而被长期掩盖。于是，人们不得不经常被一些实无限的问题所困扰。

公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯是欧几里得《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时注意到，一根直径分圆成两部分，两根直径分圆成四部分，n根直径分圆成2n部分。由于直径有无穷多根，所以相应地必有两倍那么多的圆部分。但另一方面，由直径数目组成的无限集合与所分成的圆部分的数目组成的无限集合在元素上存在着一一对应的关系。

由于受亚里士多德潜无限观点的影响，普罗克拉斯不肯承认无限集合的存在，而是对这种对应关系采取了回避的态度。他说：任何人只能说很大很大数目的直径和圆部分，不能说实实在在的无穷的直径和圆部分。

中世纪的数学家们注意到，把两个同心圆上的点用公共半径联接起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。因为对于大圆上的任意一点A，通过公共半径，总可找到小圆上的一点B与它对应；反之，对于小圆上的任何一点，通过公共半径，总可找到大圆上的一点与它对应。但大、小圆上的点似乎不可能一样多。

伽利略也曾注意到类似的事实。他在1638年的《关于力学和局部运动两种新科学的对话和数学证据》一书中指出，两个不等长的线段上的点，可构成一一对应关系；他又注意到如果我们把每个自然数与其平方配对，就定义了自然数到它的一个真子集上的一个一一对应。但这对于伽利略来说是不可能的，这完全是一个悖论。为了避免这一悖论，伽利略写道，因此我们不能说自然数构成一个集合。他是通过声称实无穷禁律避开了这一问题。

17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立微积分学。这一被形容为一支关于“无穷的交响乐”的理论最初是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体，一个对象，正因此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代，实无限已开始被抛弃了，尤其到了18世纪末至19世纪，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，这使得潜无限思想在这段时期深入人心。但这并不意味着数学家们在自己的工作中能够完成避开实无限。事实上，当时数学家们对实无限的运用是偷偷进行的。如他们可以毫无顾忌地说到直线上或平面上的任意点，但却回避对无限集合进行任何认真的讨论，绝大多数数学家不承认无限集合及其特殊属性的存在。

在科学中常常发生这种现象，一个新的事实虽然反复地出现在人们的面前，却长期找不到它的发现者。无限集合就是这样的一个科学事实。是什么原因导致众多数学家要避免使用实无限呢？

其一，亚里士多德潜无限思想的束缚。

其二，承认实无限就不可避免地出现伽利略之类的悖论。这些悖论的实质在于：部分可以等于整体。而这对于一直坚信整体必定大于部分的人们来说是完全不可接受的。伽利略正是由于考虑到：如果自然数平方与自然数“一样多”，那就会违反“整体大于部分”的公理，进而得出不能讨论自然数的整体。简单说，接受实无穷，就意味着要接受上述悖论所显出的无穷大具有的奇异性质。

其三，潜无限思想在数学发展过程中取得了巨大的成功。在前面介绍的解决无穷小问题的微积分中，随着微积分理论的成熟与严谨性，潜无限观念逐渐起到并占据了决定性的地位。18世纪数学王子高斯就持这种观点。用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”柯西，作为分析学的奠基者之一，对无穷级数作过深入的研究，但对无限集合却如同前人一样，不肯承认它们的存在。他认为部分可以同整体构成一一对应关系不过是一种逻辑矛盾。

人们接触到了无限，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类智慧提出的尖锐挑战。对此，希尔伯特曾深有感触地说道：“没有任何问题能像无限那样，从来就深深地触动着人们的感情；没有任何观念能像无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的智慧；也没有任何概念能像无限那样，是如此迫切地需要予以澄清。”为维护人类智慧的尊严，面对“无限”的长期挑战，数学家们是不会漠然置之的。

最先洞察到无限集合的重大意义，并沿着建立明确理论方向采取积极步骤的是捷克数学家波尔察诺。他是最先明确承认并坚决维护无限集合概念的数学家。他强调部分和整体能够建立起元素之间的一一对应关系是无限集合的一个本质特征。他把这种对应关系称为等价关系。为说明这种等价关系的真实存在，他举出了大量事例。例如，在实数集［0，5］和实数集［0，12］之间可以建立一一对应关系，这只须建立函数关系y＝x，x∈［0，5］。波尔察诺对于无限集合的研究，其哲学意义比数学意义体现得还要多。他提出和强调了有关无限集合的某些重要概念和思想，但也存在许多模糊的认识。例如他提出超限数概念，然而对这一概念的理解却是不正确的，甚至错误地认为，对于超限数无需建立运算，因而不必去研究它。波尔察诺的无限集合思想，在他生前没有得到学术界的重视。他的重要著作《无穷的悖论》也是在去世后两年才发表的。

对无穷大进行深入研究并开创出一片新天空是从集合论创立者康托尔开始的。

“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”学过集合的人们应该对这句话不会感到陌生。但我们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。

康托尔本人在做出这项工作时，有着深刻的认识。在他把无限当作实无限的第一篇论文中他写道：

“我们传统上把无限看作无限制地增加或是与之密切关联的一个收敛序列的形式，这是17世纪所取得的。与此相反，我把无限理解为具有某种完成了东西的确定形式，是某种不但能有数学表示而且可用数来定义的东西。这种无限的概念是和我所珍视的传统相违背的，和我自己的愿望更相违背，我是被迫接受这种观点的。可是多年的思考和尝试，指明这种结论是逻辑上的必然，由于这个原故，我自信，没有什么持之有据的反对意见是我所无法对付的。”

当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，他极愿意将这个装有所有自然数的袋子看作一个自足的和完整的实体。他不是将“无穷”仅仅看作一种说话的方式而不予考虑。对于他来说，无穷是一个应予高度重视的确实的数学概念，值得我们对其进行严格的理性论证。这样他就肯定了作为完成整体的实无限思想。鉴于实无限会导致的悖论与潜无限思想在微积分基础重建中已经获得的全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的。

1866年，康托尔在写到实无限时说：“尽管潜无限和实无限之间有本质的差别，前者意味着一个增加到超出所有有限的限制的可变有限量，而后者是一个超出所有有限量的固定的常量，只是它出现得太经常，因而它们被混淆了。”

他接着说，数学中无穷的误用，在他那个时代的谨慎的数学家中，正当地激起了对无穷的恐惧，恰像它激起高斯的恐惧一样。然而他坚持认为所导致的“对合理的实无限的不加鉴别的拒绝，不亚于对事物的规律（不管那可能是什么——―似乎还没有作为整个揭示给人类）的违背，必须为其本然地对待。”

康托尔认为：虽然通往无穷的路充满了陷阱，但这不能成为我们避开这条路的理由。他勇敢而坚定地踏上了这条古希腊人认为的令人疯狂的道路。