数学发展的非逻辑性

在这次关于数的漫游中，不知你有没有注意到一点：我们所叙述的数的扩展过程与我们数学教科书的系统论述有些区别。这并不奇怪，因为教科书所根据的是逻辑的连续性，而不是历史的先后。然而在我们所学习的数学书中，却不曾对这个事实作出说明，因而使学生产生一种印象，以为数的进化的历史次序，就和书中所写的各章的次序一样。主要是由于这种印象，使得人们普遍认为数学中没有人工的成分。好像数学这座宏伟建筑物的建造不需要什么脚手架，而只是在冷酷的庄严中，一层一层地堆叠起来的！这个建筑物应该是不会出错的，因为它立足于纯理性，它的墙是坚不可摧的，因为它在建立起来的时候，不曾有过错误、差谬以至于一点犹豫，因为其中没有掺进一点人类的直觉！一句话，在外行人看来，数学的结构不是易犯错误的人类心灵的产物，而是上帝的绝无差错的神智的作品。

我们这本书中讲述的关于数的历史表明这种意见的谬误。事实是：数学的历史与逻辑并不统一。从数学自身的发展来看，两者是有区别的。古代人扩充数系的过程并不是合乎我们现在通常的逻辑的。零的使用是一个典型的例子。现在我们学习数学时，很早的时候就引入了零，事实上在我们学习数数后不久我们就会说零了。从逻辑角度而言，零的引入也是大大地提前了。但在历史上，零的出现却是极其晚的事情，在零的使用之前，人类对数的推广已向前迈出了好几步。此外如西方人较早引入无理量，对负数的引入却要晚得多。再如，人们往往是在某种数系的基础尚未建立的时候，更新的数系就已被广泛使用了。数学史中最古怪的一章，复数概念的进化，就具有这部发展史的全部特点。是不是数的科学必定要等待戴德金、康托尔以及维尔斯特拉斯为实数建立了逻辑基础以后，才去尝试新的征伐呢？不是的。人们把实数的合法性看作是当然的事情，随即便向其世界内的另一个神秘角落进军，通过这次远征，又掌握了一个前所未有的新领域。由此可见，数学发展过程中，常常是跳跃式地和曲折地前进的。或者说，数学的进展常常是极不规则的，而且直觉在数学中担当着主要的角色。在中间地带尚未开发之前，有时甚至开发者尚未意识到有中间地带的存在之前，遥远的前哨地点就已经到达了。创造种种新形式乃是直觉的功能；逻辑只有接受或拒绝此等形式的权力，却未曾参与产生这些新形式的工作。审判官的判词总是姗姗来迟的，这其间，幼儿却要活下去，所以，他一方面要等待逻辑来批准其存在，另一方面却已经在成长壮大了。

数学发展具有非逻辑性，数学的发展过程与我们学习的过程往往有着相当大的差别，这一点希望你通过这本书能够清楚意识到。

如通过前面章节的介绍你应该明白：一方面对于东西方不同的民族来说，对有的数系的认识与引入往往有着极远的时间差。比如说，负数的引入在西方是到了很晚的时候才被认可的，而在我国与古印度就是很早的事。另一方面，数系的引入与对这种数系的深刻认识和对这种数系的认可是完全不同的事情，其间也有着相当长的发展过程。如无理数的概念，西方远在公元前5世纪就证明了这种不可公度量的存在，但很长时间内却不承认无理数的存在。在我国，无理数究竟何时被引入也仍是一个争论的问题。

但不管怎么说，人类对数的认识是在不断发展的，因而数的概念也就经历了多次的扩展。按照历史来探究，给出大致的数系扩展的轮廓，是我们这本书前面几章完成的任务。当然了，如果处处跟随着数学的历史，那就不能给出数学发展的一条清晰的路线。为了能给出数学发展的一幅总画面，逻辑的方法是必要的。在比较完整地介绍了数系的发展历史后，我们再给出与历史不怎么合拍的逻辑的数系发展途径。

一条途径是：由自然数到正分数，引入负数，得到有理数，引入无理数，从而得到实数。另一条途径是：由自然数引入负数从而到整数，再到有理数，引入无理数，从而得到实数。

当数扩展到实数后，又沿着两条道路得以发展。一条是进一步得到复数、四元数、超复数还有其他的广义数，如矩阵。另一条是由实数又一直延伸到超限数的无穷王国。当然我们主要是介绍了第一条发展道路。

对这条数系的发展道路，从逻辑角度而言我们有如下几种引入思路。

一、实现数的运算的需要。

二、解方程的需要。

三、代数结构扩展的需要。

对这几种不同的推广数系的思路，这里以负数的引入为例，再次简单说明一下。

在自然数中加法总是可行的，但是其逆运算减法却不能畅行无阻。为了实现数的减法运算的需要，有必要把数从自然数扩展到整数。这是从数的运算的角度分析数的扩展的必要。

在自然数范围内，一次方程x＋a＝b，（a，b∈N）并不总是有解，为了使这一类方程总有解，有引入负数的必要。这是从解方程的角度分析数的扩展的必要。

在自然数集中任意两个数的和仍然是自然数，我们说自然数关于加法是封闭的，自然数关于加法运算构成了一个半群；但任意两个数的差却不再满足这种封闭性，因而我们有必要引入负数，得到整数集。在整数集内任意两个数关于加法及其逆运算减法都是封闭的。于是整数集关于加法运算构成了一个群。这是从代数结构的观点分析数系扩展的必要。

至于通过这几种思路进一步推广数系的问题，在前面不同的章节已经做过详细的分析。这里不再赘言。只是给出一个总结：

（1）全体自然数，加法和乘法通行无阻。自然数关于加法与乘法运算都构成半群。

（2）加法的逆运算是减法，为了减法通行无阻，就要添上0和负数，这样从结构的观点看，我们已经得到了整数环。从解方程的角度看，对于一次方程x＋a＝b就总是有解的了。从几何角度看，我们的数轴需要引入方向，在正方向上代表正数，而在相反的负方向上，则代表了负数。

（3）整数环里，除法不能通行无阻，为了解决这个问题，添上分数，这样从结构的观点看，我们得到了有理数域。从解方程的角度看，对于一次方程就ax＋b＝0总是有解的了。从几何角度看，在数轴上填上了更多的点，但是数轴上仍然空着许多位置。这一事实，早在毕达哥拉斯学派那里就已被发现了。

（4）有理数域里，大部分正数开方运算不能通行无阻，这是一大局限。此外，为了更重要的目的，我们也有必要走得更远一些，以包括无限或极限运算的需要。于是，为了正数开方与有理数无限运算始终有效，我们把有理数域扩充为实数域。实数系中不但能进行四则运算与正数开方运算，而且能进行极限运算，这是它和有理数系不同的地方，这叫做实数域的完备性。此外，任意两个实数都可以比较大小，也就是说，实数域是有序的。于是从结构的观点看，我们得到了一个具有完备性的有序域。事实上，后来数学家证明了具有完备性的有序域，是独此一家。从解方程的角度看，我们有更多类型的方程是有解的了。从几何角度看，我们有了漂亮的结论，即：实数与数轴上的点可以一一对应了。这里体现出代数与几何相结合的妙处。

（5）在实数域里，负数开方运算无法进行。为了解决这个问题有必要引入复数。这样做之后，从结构的观点看，我们得到了一个更大的域，这个域满足代数封闭性。即任意两个复数不管进行何种代数运算都不会逸出这个域之外了。但在这个域中有序性丧失了。就是说在实数域中任意两个实数都可以比较大小，但在复数中一般情况下，就无法比较大小了。这种简单序关系的丧失，使得复数的结构似乎比实数或实数子集的结构要复杂得多，但它同时也带来了好处。复数与平面上点的对应关系建立了复数的算术与代数间以及平面上的几何图形和变换间的密切联系。从解方程的角度看，所有的代数方程都能够解出它的根了，并且我们有了完美的结论，即代数学基本定理。从几何角度看，复数由于可用有序的实数对来确定，所以复数与二维平面上的点相对应。

（6）从运算或解方程的角度而言，数系扩展的故事到复数域就应该划上圆满的句号了。一切似乎都昭示着数系的扩展应该至此为止了。然而，在19世纪，随着对测量计算的需要日益多样化复杂化，在代数学、几何学、分析学迅速发展的推动下，数的理论沿着两个方向取得重大进展。一个方向是对五大数系的逻辑结构、性质和意义作了深入的研究。建立起严格的理论。另一方向出于物理学的考虑，哈密顿首先将数系从复数扩展到了四元数，在这关键性的一步迈出后，数又扩展到了八元数，还有向量、矩阵等超“数”。但是这种扩充并非随意的，当进行数系的进一步扩充时，在原来数系中满足的一些法则不再成立。例如，把复数域扩充到四元数时，乘法交换律就不成立了。这些新数类开辟出一系列新的数学领域。正是这些看似奇怪的超数，为不同的代数结构提供了具体的例子，促使了代数结构理论的形成与建立。当抽象代数形成后，人们清楚地意识到代数不止一种，而是有很多种。既有可交换代数，也有不可交换的代数；既有可结合代数，也有不可结合代数。公理化的抽象代数理论奠定了可靠的代数逻辑基础。

不过，这里我们需要重复的一点是，上述的几种扩展数系的思路都是在数系已经扩展完成后，从逻辑角度分析的结果。当我们使用这一些观点分析数系的扩展时，是在放马后炮，是事后诸葛亮。实际上，我们所采用的无论是运算观点，解方程观点，还是结构的观点，在数系发展史上都没有真正起到应有的作用。从历史角度来看，数系的扩展与上述观点大多无关。原因在于，当人们发现在一种数系中不能解决的问题时，首先想到的不是扩展数系，而是用回避这种问题的方式来解除自己的尴尬。如在自然数范围内，并不能保证减法运算的畅通无阻，但人们并没有由此引入负数，而是规定自然数减法运算必须满足大数减小数才有意义。同样的，除了虚数的引进直接导源于解方程以外，负数、无理数数系的引入都产生于其他原因。这又一次说明了数学发展的非逻辑性。

下面，我们再来简单回顾由康托尔创建的第二条数系扩展的思路。

康托尔的这一条数系扩展路线是沿着无穷集合的基数或序数大小进行的。对于扑朔迷离的无穷，在数学发展的历程中数学家们始终以一种怀疑的眼光看待它，并尽可能回避。然而无穷虽然令人困惑，但数学却永远无法回避有限与无穷这对矛盾。倘若没有无穷的概念，许多数学思想也就失去了意义。敢于直面问题的康托尔，对无穷大进行了深入研究。由此，他创立了超限数理论。这一理论告诉我们：无限集的元素虽有无限多，但无限集本身可分层次，并且无限集里仍有无限多的层次，“无限多”是说不完、举不尽、是无止境的。这为我们常说的“山外有山，楼外有楼”提供了一个极好的数学例证。

1901年，罗素评价康托尔对无穷作的努力时说：“芝诺关心过三个问题……。这就是无穷小、无穷，和连续的问题……从他那个时代到我们自己的时代，每一代最优秀的有才智的人都试图解决这些问题，但是广义地说，什么也没有得到。……维尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底解决了它们。它们的解答清楚得不再留下丝毫怀疑。这个成就可能是这个时代能够夸耀的最伟大的成就……无穷小的问题是维尔斯特拉斯解决的，其他两个问题的解决是由戴德金开始，最后由康托尔完成的。”

正是康托尔的努力，使得人类对无穷的认识上升到了一个新的高度。当我们达到这一高度后，回望时，会发现一个有趣的事实。

对于早期的原始人来说，宇宙间有那么多的事物，他们是数不过来。像数3、7……等等都曾是不可逾越的障碍。而现在呢？

前面我们已经知道χ0可以表示所有自然数或分数的数目；χ1可以表示线、面、体上所有几何点的数目；进一步人们可以想到所有曲线的数目能表示出。但至此，就已经把人们所能想象出的任何无穷大数包括进去了。至于更大的无穷，人们在宇宙中再也找不到与之相应的事物的数目了。

你看，在超限数理论下，我们有无穷大的无穷等级，我们什么都数得清！遗憾的是宇宙中竟没有那么多东西让我们来数了！

在回顾康托尔引入超限数的历史时，我还想重申一点。

局外人有时候以为，在科学上，独创性总是一定会受到热烈欢迎。数学史反驳了这个乐观的幻想：在牢固建立的科学中，违反它的人的道路，与人类保守性的任何其他领域中的违反者的道路可能同样艰难，即使人们承认这位违反者由于超过顽固正统观念的狭窄范围，而发现了有价值的东西，情况也仍然是这样。康托尔伟大工作的遭遇就是一个极为典型的例证。无穷论是过去2500年数学中最具独创性贡献之一，然而在它引入之初只是令人不安与困惑，它开始获得的并非掌声，而是攻击与嘲笑。

事实上，在面对新观念时，绝大多数数学家们并没有如同我们所想象的那样，具有前后眼，能高瞻远瞩，接受新事物的出现。事实上，事情往往恰好相反，多数情况下，他们是拒绝新的观念的。仅在这本书所讲述的数的历史演化史上，就发生了不止一幕这样的不幸。这是为什么？

一方面，这正反映出人们认识事物的过程。人对自己一开始所接受的事物，往往会相信不疑。他们往往以自己以前接受的观念为基础建构起一个所谓的真实世界。另一方面，这与人们的心理因素有关。事实上，不管是一种观念还是行为当成为人们的习惯时，要想改变它就是困难的。哪怕这一习惯已成为束缚进步、成长的极大障碍的时候，人们还是愿意敝帚自珍、抱残守缺而不愿选择放弃或改变。原因在于人们总是不愿用熟悉的安全感去交换未知的危险性。正因此，当后来出现的新观念与之不相符合的时候，人们不是抛弃掉旧有观念，而是拒绝接受新的观念。

现在，人们对新事物的接受大约好一些了吧。至少在数学上是如此。人们毕竟在一个一个的教训中学到了些东西。实际上，我们学习数学史的过程也是总结教训，学习经验，避免犯类似错误的过程。