数学发展的动力

从数学史发展的角度来看，数系扩展伊始主要是由于实践的需要。正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展。首先是实践需要引入了自然数。正如我们在第一章中已经使用很大的篇幅所论述的那样，自然数的产生可以说完全是社会实践推动的结果。引入自然数后，任何离散的对象都可以用自然数予以量化了。

以自然数为源头，数系得以不断扩充。随后又引入了分数。我国古代在对分数的引入与使用中长期居于领先地位。究其原因，这与我国古代数学一开始便同天文历法结下了不解之缘有关。这提供了数学与其他学科密切相关的一个例证。事实上，在我国古代数学与天文学的关系极为密切。中国历史上把天文学家和数学家合称为“畴人”正可以反映出这一点。此外，由于调整历法数据的要求，中国古代数学家发展了分数近似算法：“调日法”，使得我国古代在数的有理逼近方面达到了很高的水平。

数系扩充到分数这一步，应该说对于应付实践的需要就基本上够用了。小数在数学中是很有用的。我国是最早使用小数的民族。但是在我国从刘徽产生十进小数思想到被广泛应用的宋元时期，经历了一千多年的时间。这是什么原因呢？生活实践中缺乏小数应用的紧迫性、必要性是一个重要原因。后来，小数的使用也正是由于生活实践的推动。

然而，数学的发展又具有独立性、曲折性，数系的引入历史证明了这一点。

现实世界中大量存在具有相反意义的量，但这却并不意味着人们就一定能够产生出负数的概念，在西方负数的引入是很晚的事，就从反面说明了这一点。在我国，负数的产生，也并不完全是实际需要的产物。出于解方程组的必要，或许是负数引入更重要的原因吧。因而，至少我们可以说负数在我国的产生是实践与数学两方面结合的产物。无理数的引入，虽说也存在着客观因素（因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数），但数学史的发展表明，无理数引入的直接动力来自于数学内部。在东西方，都是由于研究几何问题才引入无理数的。如果说与客观因素有联系的话，这种联系也只能说是间接的，而非直接的。从实际应用的角度来说，正如我们前面指出的那样，无理数是不必要的，事实上为了实际使用，对无理数我们也都是仅取其近似值而已。从实数往后，数系的进一步推广，主要也是来自于数学内部的原因了。虚数的引入是一个突出的例证。正是由于解方程的需要，人们才不得不引入了缺乏现实背景的虚数。而虚数的被广泛认可又来自其几何意义的确立。这表明了直观性的几何对代数的促进作用。至于四元数的引入，其产生背景主要来自于物理学方面的需要。四元数的发现过程，提供了数学与其他学科密切相关的另一例证。正是物理学方面提出的问题，推动了四元数的出现。事实上，数学与自然科学有着相互影响、相互作用的关系。数学为自然科学提供定量描述的工具，自然科学则向数学提供大量的问题。在数学发展的历史上，自然科学始终以提问者的身份刺激着数学的发展。源于自然科学的数学问题，从对数学的作用和影响来看，大体上可归纳为两类：一类是延伸性问题，即对已形成的数学理论起着扩展成果的作用；另一类问题往往导致数学在思想方法上发生质的变化，因而对于数学的发展显得尤为重要。实际上，物理学与数学之间的互相推动，比我们这本书中所讲述的要频繁得多。至今，物理学方面的问题仍然是刺激数学发展的一个重要源泉。八元数及其他各种超数，没有疑问的可以看作是数学自身发展的产物，是数学家们的创造物。至于超穷数，就更是抽象思维结出的美丽花朵了。一般地说，随着数学的日益发展，到某些发展阶段，创造性思维活动在数学中占据越来越重要的地位，

总之，数学史的这些事例证明：并非数学向前发展的每一步，都需要生产实践的直接推动。数系的扩充，既是由于社会实践的推动，又符合算术、几何、代数这些数学学科理论发展的要求。它不是随随便便，想怎么扩充就怎么扩充的。过去是这样，将来也必然是这样。从数系扩充的历史过程中，我们一方面看到，数学从实践中吸取营养而发展，反过来又解决了实践提出的问题。另一方面可以看到，几何和代数的知识是互相联系，并且互相促进的。我们要学好数学，不仅要注意实践中的数学问题，而且要注意代数、几何不同学科间的相互关联。简言之，有的数类（如分数）的引入具有明显的客观背景，有的在当时则完全是出于数学自身研究的需要。

纵观数学发展的进程，问题是数学的心脏。数学问题是推动数学发展的主要动力。当然数学问题的来源是多样的。数学问题的来源大体上可以分为两部分，一部分来源于生产、生活实际以及其他科学技术领域；另一部分来源于数学本身，也就是由数学问题衍生出新的数学问题。尤其是当数学逐渐形成理论体系之后，它就开始以一个真正提问者的身份出现，不断地向自身提出新的问题。这类问题，我们称之为数学体系内部问题。数学发展到一定阶段，数学内部问题就成了推动数学发展的主要动力。

问题在数学思想的发展和发现中起着催化剂的作用。事实上，数学的历史可以看成是研究问题的足迹。千百年来，数学家们力图去解决这些问题。一些最令人振奋的数学发现，总是由于数学家们努力解决“未解决”的数学问题，或试图对一些数学思想加以证明或反证时创造或产生的。到了19世纪，数学自身的学科体系正式形成，大量经典问题被解决，但可以说，一个好的问题，不仅会带来新分支、新方向，而且它还衍生出几倍甚至十几倍的新问题。19世纪末，大数学家希尔伯特开始搜集没有解决的数学问题，并于1900年8月在巴黎召开的第二次国际数学家大会上提出著名的23个问题，其后以“希尔伯特问题”而著称。他的话至今仍然对我们大有启迪。

希尔伯特提到“问题”对数学发展的重要性：正如人类的某项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。

那么，什么问题是重要的和有价值的呢？

希尔伯特认为：对数学理论所坚持的清晰性和易懂性原则，我想更应以之作为对一个堪称完善的数学问题的要求；因为，清楚的、易于理解的问题吸引着人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步。其次，为着具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但却不应是完全不可解决而致使我们白费力气的。在通向那隐藏着真理的曲折道路上，它应该是指引我们前进的一盏明灯，并最终以成功的喜悦作为对我们的报偿。

他引用伯努利的话说：经验告诉我们，正是摆在面前的那些困难同时也是有用的问题，引导着有才智的人们为丰富人类的知识而奋斗。

总之，希尔伯特认为，好问题在于它有用而且增进知识，而在历史上的重要特殊问题在于它能创造新方法、建立新理论、开辟新领域。这无疑反映出他对数学问题的重要性的观点。

希尔伯特根据自己的切身经历深切体会到，重大而关键的问题是活的血液，是推动数学发展的重要动力源泉。

这里，我们还需要提到悖论作为数学自身提出的特殊问题对数学发展的巨大推动力量。

有人说：提出问题，就已解决了问题的一半。悖论的作用正在于提出让人们非解答不可的问题，促使人们去解决。正是在解决这问题的同时，各种理论应运而生，从而促进了科学的发展。悖论对思考和探索科学极为有益，且有助于澄清某些模糊的概念。正如N·布尔巴基所说：“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”数学史上的三次数学危机，更显示出了悖论在推动数学发展中的丰功伟绩。可以说，数学悖论是促成数学发现的王道乐土。

当我们回顾近几个世纪以来数学的发展时，会发现大量的数学问题已被解决，然而极其遗憾的是其中镌刻上中国人姓名的却是微乎其微。这与我国传统数学长期领先于世界形成了鲜明的对比。于是，使我国数学重新迈入世界数学大国行列成为众多数学工作者的心愿。这就有待于更多的有志青年发挥自己的才智去解决更多更重要的数学问题。不过，对于跃跃欲试、有心去攻克世界数学难题的读者来说，记住牛顿的“如果我所见的比笛卡尔更远些，那是因为我站在巨人肩上的缘故”名言还是极其必要的。

就是说，任何世界难题的解决，都建立在对前人成功与失败深入了解的基础之上，如果认为自己可以完全独立的另造一片天空，以解决前人未能解决的问题，只能是白费力气。为了日后能够攀登上数学高峰，从现在开始打好基础吧！