数系扩展中的态度

当我们回顾数系扩展的历史时，我们会发现在出现矛盾时，在争论中不同人所采取的不同的态度。比如说，两个自然数的加法运算总是可行的，而减法运算却未必行得通。于是问题或说矛盾出现了：当a＞b时，a－b仍是自然数，而当a＜b时，a－b等于多少呢？数系的扩展史上，不断反复演出着同样的这类戏剧。实际上，碰到这种情形，人们总是分成了两个不可调和的派别。

一类是保守主义者或原教旨主义者，他们停滞在原来的数学道路上，拒绝继续前进。在数系的扩展中他们维护正整数的神圣不可侵犯的地位，数是数出来的，不是数出来的东西不是数，他们反对减法的普适性。换句话说，他们认为在这种情形下，减法没有解，从丢番图到韦达和笛卡尔都持有这种观点。这类人的观点是：当见到会引起麻烦的问题时，不去碰它，不去涉及，或者干脆不承认，不采用。前面提到的无穷集合论的激烈反对者克罗内克就是这种极端想法的代表人物。他认为圆周率π作为一个数不存在，当林德曼在1883年证明π是超越数，从而彻底解决化圆为方问题时，他大不以为然，他说无理数根本不存在，研究不存在的东西毫无意义。他们希望缩小研究的范围来保证数学的可靠性。他们的观念是“篱笆不大，安全感足矣”。这种想法当然也有一定道理，因为数学总在跨越边界不断扩大自己的领土，这样到头来势必产生矛盾。然而把数学限制到一定范围之内的保守思想，真的会是数学的福音吗？它虽然保证了不犯错误，但同样却也不会发现多少真理。因而，数系的扩展史一再抛弃掉这种观点。

另一类是扩张主义者，他们继续前进并试图克服困难。在数系扩展中他们总是把“异已”分子加进来以形成扩张的数系，由于这个同化过程，很快异已分子就被改造成自己人，而和原来的数，没什么两样了。当然了，这类勇敢者和先驱者可能会遭受到毁灭性的批判，但同时这些继续前进的人却也发现了大量对数学和一般的合理思想都具有高度意义的东西。

在这种扩张态度下，还有着不同的方式。

1.折衷主义态度。这种态度下的人们，对新的数并不是采取完全的否定与回避态度，而是使用某种方式使得对新数的接受变得容易一些。如在古希腊当毕达哥拉斯学派发现不可通约量之后，古希腊人解决第一次数学危机的办法。他们不能完全否定无理量的存在，但是，他们可以通过几何构造即几何作图的方法把这些量和它们的运算表示出来。两量相加显然可以作图，而两量相乘，无非就是面积。通过几何构造使得无理数纳入几何之中。再如，西方许多著名数学家把负数、无理数只看作是有用的数学符号，而不是真正的数。他们的原则是：推广是可以的，只要不产生不可接受的数学矛盾就行。这可以说是西方许多数学家对“异端”采取的一种自发的易接受的态度。在前面的介绍中，我们可以发现当某类新数未获得逻辑基础之前，西方许多著名数学家都是持此种态度。这种推广大致分成两步：首先把新东西作为理想元素添加进来，其次，引入新数后，还必须对于这些新数运算加以推广。在没有严格的逻辑基础建立前，只能采取形式地定义，想当然地认为这些新数具有自然数所具有的各种运算性质。即让这些新事物也尽可能享有原来事物的性质。从历史上看，这种推广是颇为成功的。

2.实用主义态度。持有这种态度的民族或个人在面对新数的引入时，不去过分纠缠于新数是否具有逻辑的基础，而是出于实用的态度径直接受它。新数应用中的成功成为保证新数引入合理性的证明。如在我国古代引入无理数时，就没有考虑它的实质也没有顾及它与有理数之间的巨大区别，而是直接认可它的存在，然后将精力转向用一定的办法来表示它。我国与古印度对负数的认可与接受也是采用了这种实用主义态度。其实这是一种极为省事的好办法，一方面能够解决所有的实际问题，另一方面省去了好多麻烦，何乐而不为？同时，这对数学也是一种推动和促进。通过前面的介绍，我们可以注意到，与西方数学家相比而言，东方数学家往往更愿意（甚至是无意识地）采取这种解决问题的方式。这反映出古代数学具有的民族特点。事实上，在不同民族背景下，我国与西方形成了截然不同的数学发展道路。

3.公理化态度。西方数学家在古希腊传统的影响下，追求极端严密的基础，他们虽然在一定时期出于实用态度或折衷态度接受了新数，但对于这些没有严格逻辑基础的事物总是感到不放心。他们总希望能够为无理数乃至数学全体建立一个巩固的基础。历史的发展表明，这一愿望只能在数学发展到一定阶段后才是可能的。19世纪后半叶在维尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等的努力下，完成了从有理数到实数这一数的扩张中最为困难的一次大跨越，为无理数和实数建立了一个可靠的基础。进一步，有理数、整数、自然数的逻辑基础也都建立起来了。不难发现，等价类的概念对于完成这种数学的严格化是至关重要的。

此外，结构数学观念的形成也为数系的扩充提供了一条合理的逻辑之路。

当我们需要做出总结时，是否要说扩张主义者已经大获全胜，而保守主义者全无是处呢？情况并非如此简单。因为，我们可以发现扩张主义者在进行领域的扩张时，并非是背负蓝天，无所依傍。不管扩张主义者向前迈出了多远，他们身后必须有一个可以依靠的“家园”支撑着这种向外的扩充。如果失掉了这一提供保障的“家园”，那么一切扩张都将变得毫无意义。正如保守主义者克罗内克所言：“最深奥的数学研究的全部结果，最终都一定可以表示成整数性质的简单形式。”19世纪数系严格基础的建立，也正是将整个数系最终建立在自然数的基础之上获得的。因而，应该说是在保守主义者（他们将家园建造得更稳固）与扩张主义者（他们不断将数学领地推向远方）共同的努力下，数系才完成了自己一次又一次的扩充历程，在解决矛盾的基础上不断形成新的和谐，最终庆祝了它的全面胜利。

不同数学态度的根源

在这一部分，我们打算说明民族、时代、个人的差别是导致数学态度不同的根源。

先来看看民族的差别。

通过前面的介绍，我们发现在数系的扩展中，各民族有相同之处。如数的概念形成过程大同小异，都是从一多之分到记数，到分数到无理数的初步认识。这是因为数学本身存在固有的规律性，任何民族和国家的人民对它的认识都是遵循这种规律的。然而，不同的民族在数学的发展上又有着巨大的差异与各自特点。

如我国古代数学最基本的特点是鲜明的社会性。这种社会性又首先表现为它的实用性。中国传统数学在学以致用方面可谓独树一帜。中国古典数学著作的内容，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的关系。这不仅表现在从《九章算术》开始，中国的算学经典基本上都遵从问题集的体例编纂而成，而且在于它所涉及的内容反映了当时社会政治、经济、军事、文化等方面某些实际情况和需要。中国传统数学实用性的特征，决定了它的发展以解决实际应用问题和提高计算技术为其主要目标。中国古代数学称为“算术”，其原始意义是运用算筹的技术。算筹是我国古代特有的计算工具。算术这个名称恰当地概括了传统数学使用算器，以算为中心的特点。以算为主，决定了中国传统数学的成果表现为算法的形式；而数学问题的模式化和以筹为算具，便带来了计算方法程序化的特征。中国传统数学发展的另一个目标是提高计算技术，即提高数字计算的速度与准确性。这通常包括算具和算法两方面的改进。由此可见，我国古代数学具有浓厚的应用数学色彩。

中国古代数学具有的这些特点与古希腊数学注重理论性的纯粹数学，着意于建立公理化的逻辑体系，为数学而数学的观点形成强烈的对照。

从现在的角度来看，由于远古历史、地理条件、哲学背景，甚至民族性格等等，古代文化的发展形成了东方和西方两大主流。数学作为古老文化的组成部分，自然也形成了东方与西方迥然不同的风格体系。

比如说，古希腊人喜爱演绎法的一个原因应归结于他们的社会构成。古希腊独特的历史、地理条件，造成了一部分不需要干体力劳动的富有阶层。这部分受过教育的自由人不动手，很少进行商贸活动，而可以专心于进行哲学、数学和艺术活动。而在中国历史上，由于历史、地理条件的不同，就没有形成这样的一个阶层，自然也没有形成“务虚”的传统。

再如，希腊数学的公理化体系是与古希腊形式逻辑的发展相联系的；而中国古代逻辑以发展辩证逻辑为主，这是中国古代数学未采用公理化体系的一个重要因素。

由于这些原因，形成了古代数学的两种不同类型：通常把希腊式的以论证为主的逻辑演绎体系的数学称为西方数学，或西方式的数学；而把以算术、代数和直观几何为基本内容的算法体系的数学称为东方数学，或东方起源。中国传统数学是东方式数学的典型。简言之，一种是长于逻辑推理，一种是发展计算方法。这大致代表了西方和东方两类数学的不同特点。中国的传统数学没有形成像欧几里得《几何原本》那样的公理化体系，这主要是由它的实用性和“以算为主”的特点所决定的。

正如我国现代著名数学家吴文俊所指出的：

“我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。《九章算术》与《九章算术》刘徽注是这一机械化体系的代表作，与公理化体系的代表作欧几里得《几何原本》可谓东西辉映，在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的相对消沉后，由于计算机的出现，已越来越为数学家所认识与重视，势将重新登上历史舞台。”

下面，我们再来看一下不同时代下数学观念的转变。

在数系的扩展中，不同的时代对数系扩展的态度也有所不同。如在西方，在某些时期，实用性与科学的需要战胜了逻辑上的顾忌。在工作中能起作用的手段和方法几乎都被毫不犹豫地接受。在无理数、负数、复数的逻辑基础没有建立的很长一段时间，西方大多数学家都把对新数的合理性的怀疑抛到了一边，冒失自信地运用起这些新数。在这样的时期，自由创造战胜了逻辑的严格性。而在另一些时期，逻辑的严格性又占了上风。

这并不奇怪。事实上，任何学科的发展过程都会受到时代精神的影响。数学的发展也不例外。

对于数系扩展的态度是由时代的社会需要所决定，也随当时领袖数学家们的活动而形成。正如流行的时装那样，既有服装设计师的提倡，更是人们对时代的一种心态反映。在下面介绍到数学的特点时，我们还可以看到这方面的例证。

最后，由于数学的发展是与数学家联系在一起的，而数学家作为个人，他们有着不同的性格或气质。比如说在数学家中间有保守主义者，有改良主义者，自然也有激进的革命者；有信仰主义者，也有谨慎的怀疑主义者……事实上，通常人群中具有的各种不同的气质，在数学家这个特殊的群体中也都完全存在。而这些反映在他们的数学观点上，势必就会造成数学态度的不同并成为导致一些数学分歧的根源。

我们可以举几个例子。

比如，《圣经》一书中提到：基督直接断言圣父“存在”；而有人却要求“将父显给我们看，我们就知足了。”这两类不同的人表现在数学上就是，一类人在对数学证明时认为只需说明存在就可以了，这类人是数学上的存在性证明的倡导者；另一类谨慎的怀疑主义者却要说：你说存在还不行，做出它们来！只有构造性的东西才能令他们信服。他们是数学上构造性证明的维护者。

再如，生活中有人喜欢拥有一个不大的具有安全感的房子而自得其乐；另有人却乐于放弃安全感而去体验冒险的乐趣。这两种人反映在数学中，前者喜欢从事巩固数学大厦的工作，如克罗内克等；而后者却乐意从事于为数学开疆拓土，如康托尔等。

再如，生活中有唯美主义者与实用主义者之分。而这两类人反映在数学上，前者注意的是数学内在的美与协调性，他推重纯粹数学，在“为数学而数学”的研究中独得其乐，如费马、哈代等。而后者却注意到数学的力量，为数学寻找用途，对这类人来说，数学不是思维的训练，而是一门建设性的有用科学，他们会认为把数学方法只用到数学本身是没有价值的，为数学而搞数学的人，是白费精神的盲目的研究者，他们更推重应用数学，如笛卡尔等。

因而，许多数学争论实在可归结为不同数学家的气质问题。正如不同性格的人可以和谐地生活在同一世界上一样，不同的数学争论也都可以在更高的层次下获得统一。21世纪数学的重要任务之一就是将不同数学观点统一在一起。如实现纯粹数学与应用数学的统一等等。

此外，我们还应该提到虽然不同的数学家可能有着众多的性格气质等方面的差别，但作为一个独特的群体，在他们身上也不难发现一些相同之处。如他们都有着对数学着迷般地爱好；都对自己喜爱的工作付出辛勤的劳动；都努力汲取前人的成果，他们的成功都是站在巨人肩膀上的缘故……