方阵的特征值与特征向量

在数学及物理中的一些问题，如解微分方程组、方阵的对角化、动力学系统和结构系统中的振动及稳定性等问题，常常可归结为求一个矩阵的特征值与特征向量的问题.

定义7　设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维列向量x，使得

Ax=λx

（5.1）

成立，则称数λ为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.

式（5.1）也可写成

（A-λE）x=0，

（5.2）

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

|A-λE|=0，

（5.3）

即

上式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程. 其左端|A-λE|是λ的n次多项式，称为方阵A的特征多项式，记作f（λ）. 显然，A的特征值就是特征方程的解. 特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶方阵A在复数范围内有n个特征值. 在本教材中，我们只考虑特征值为实数时的情形.

求n阶方阵A的特征值和特征向量的步骤：

第一步：求出A的特征多项式|A-λE|；

第二步：求解特征方程|A-λE|=0，得到A的n个特征值λ1，λ2，…λn；

第三步：对于A的每一个特征值λi，求出齐次线性方程组

（A-λiE）x=0

的一个基础解系ξ1，ξ2，…ξs，则A的对应于特征值λi的全部特征向量为

pi=c1ξ1+c2ξ2+…+csξs，

其中，c1，c2，…，cs为不全为零的任意实数.

例5.4　求方阵

的特征值与特征向量.

解　A的特征多项式为

所以A的特征值为λ1＝-1，λ2=1，λ3=3.

当λ1＝-1时，解齐次线性方程组（A+E）x=0，由

得基础解系为

所以c1p1（c1≠0）是对应于λ1＝-1的全部特征向量.

当λ2=1时，解齐次线性方程组（A-E）x=0，由

得基础解系为

所以c2p2（c2≠0）是对应于，λ2=1的全部特征向量.

当λ3=3时，解齐次线性方程组（A-3E）x=0，由

得基础解系为

所以c3p3（c3≠0）是对应于，λ3=3的全部特征向量.

例5.5　求方阵

的特征值与特征向量.

解　A的特征多项式为

所以A的特征值为λ1＝-1，λ2=λ3=2.

当λ1＝-1时，解齐次线性方程组（A+E）x=0，由

得基础解系为

所以c1p1（c1≠0）是对应于λ1＝-1的全部特征向量.

当λ2=λ3=2时，解齐次线性方程组（A-2E）x=0，由

得基础解系为

所以c2p2+c3p3（c2，c3不同时为零）是对应于λ2=λ3=2的全部特征向量.

例5.6　求方阵

的特征值与特征向量.

解　A的特征多项式为

所以A的特征值为λ1＝-1，λ2=λ3=1.

当λ1＝-1时，解齐次线性方程组（A+E）x=0，由

得基础解系为

所以c1p1（c1≠0）是对应于λ1＝-1的全部特征向量.

当λ2=λ3=1时，解齐次线性方程组（A-E）x=0，由

得基础解系为

所以c2p2（c2≠0）是对应于λ2=λ3=1的全部特征向量.

性质1　一个特征向量只能属于一个特征值（相同的看成一个）.

证　假设x是A的不同特征值λ1和λ2（λ1≠λ2）的特征向量，则

Ax=λ1x和Ax=λ2x，

即有

λ1x=λ2x即（λ1-λ2）x=0，

因为λ1-λ2≠0，则x=0，与特征向量为非零向量矛盾，故原假设不成立.

性质2　若λ是方阵A的特征值，x是属于λ的特征向量，则

（i）μλ是μA的特征值，x是属于μλ的特征向量（μ是常数）：

（ii）λk是Ak的特征值，x是属于λk的特征向量（k是正整数）；

（iii）当|A|≠0时λ-1是A-1的特征值，λ-1|A|为A*的特征值，且x为对应的特征向量.

（iv）φ（λ）是φ（A）的特征值（其中φ（λ）=a0+a1λ+…+amλm是λ的多项式，φ（A）=a0E+a1A+…+amAm是方阵A的多项式）.

证　由Ax=λx可得

（i）（μA）x=μ（Ax）=μ（λx）=（μλ）x；

（ii）A2x=A（Ax）=A（λx）=λ（Ax）=λ2x，由归纳法即得

Akx=λkx，（k是正整数）；

（iii）|A|≠0，则λ≠0，于是

A-1（Ax）=A-1（λx），即x=λA-1x，则A-1x=λ-1x，

而

A*x=（|A|A-1）x=|A|A-1X=λ-1|A|x.

（iv）根据性质2（ii），可知λm是Am的特征值（m是正整数），故存在非零向量x，使

Amx=λmx，

因此

故φ（λ）是φ（A）的特征值.

性质3　A与AT有相同的特征值.

证　因为

（A-λE）T=AT-（λE）T=AT-λE，

所以

|A-λE|=|（A-λE）T|=|AT-λE|，

即A与AT有相同的特征多项式，从而特征值相同.

性质4　设n阶方阵A=（aij）的n个特征值为λ1，λ2，…，λn，则

其中，tr（A）称为A的迹，为A的主对角线元素之和.（证明略）

由性质4可知，A可逆当且仅当A的特征值不为零.

性质5　设λ1，λ2，…，λm是方阵A的m个特征值，p1，p2，…，pm是依次与之对应的特征向量. 若λ1，λ2，…，λm互不相等，则p1，p2，…，pm线性无关.

证　设有常数x1，x2，…，xm，使

x1p1+x2p2+…+xmpm＝0，

则

A（x1p1+x2p2+…+xmpm）=0，

即

λ1x1p1+λ2x2p2+…+λmxmpm=0，

以此类推，有

把上列各式合写成矩阵形式，得

上式等号左边第2个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当λi各不相等时，该行列式不为0，从而该矩阵可逆，于是有

（x1p1，x2p2，…，xmpm）=（0，0，…，0），

即有xjpj=0（j=1，2，…，m），由pj≠0，则xj=0（j=1，2，…，m），所以p1，p2，…，pm线性无关.

例5.7　设三阶方阵A的特征值为1，2，-3，求：

（1）|A2-2A-E|；

（2）|A*+3A+2E|.

解　设λ是A的特征值，则λ=1，2，-3.

（1）设φ1（A）=A2-2A-E，则第φ1（λ）=λ2-2λ-1为φ1（A）的特征值，即φ1（1），φ1（2），φ1（-3）为φ1（A）的特征值，故

|A2-2A-E|=|φ1（A）|=φ1（1）φ1（2）φ1（-3）=（-2）×（-1）×14=28.

（2）由|A|=1×2×（-3）＝-6≠0可知A可逆，故得A*=|A|A-1＝-6A-1，所以

A*+3A+2E＝-6A-1+3A+2E，

记φ2（A）＝-6A-1+3A+2E，则φ2（λ）＝-6λ-1+3λ+2为φ2（A）的特征值，故

|A*+3A+2E|=φ2（1）φ2（2）φ2（-3）＝-1×5×（-5）=25.

例5.8　设x1是方阵A的属于特征值λ1的特征向量，x2是属于特征值λ的特征向量，若λ1≠λ2，则x1+x2不是A的特征向量.

证　假设x1+x2是A的属于特征值λ的特征向量，则

A（x1+x2）=λ（x1+x2），

而

A（x1+x2）=Ax1+Ax2=λ1x1+λ2x2，

所以

（λ-λ1）x1+（λ-λ2）x2=0，

因为x1和x2是属于不同特征值的特征向量，所以x1和x2线性无关，则

λ-λ1=0，λ-λ2=0，

即λ=λ1=λ2，与题设矛盾，故x1+x2不是A的特征向量.