数学精神的复兴

如果你不立足于大自然这个很好的基础，那么你的劳动将无裨于人，无益于己。

L·达·芬奇（Leonardo da Vinci）

J·卡当（Terome Cardan），这位文艺复兴时期神秘的、富有影响的人物，差不多被人们完全遗忘了。他撰写的《我的生平》（Book of My Life），可与塞利亚（Cellini）的《自传》（Autobiography）媲美，《自传》使塞利亚成为一位圣人出现在人们面前。相比之下，卡当就只能算是一位隐士了。在《我的生平》中，卡当毫无保留地披露了他的一生，以及那个时代最可信、最令人激动的详情。

根据他在自传中所说，卡当——这位声名赫赫的无赖和学者的冒险生涯，从他母亲做的那次失败的流产时就开始了。1501年，这位未得到法律承认的非婚生、多病的孩子降生在米兰（Milan）。他描写到，自打降生时起，他得到的就只有痛苦和受人蔑视。在很小的时候，他就准备着将来所要从事的大批的职业——数学家、医生、玄学家、骗子、赌徒、刺客和冒险家。尽管这个可怜的孩子体弱多病，家境贫寒，但最终还是在帕维亚（Pavia）大学医科毕业了。在前半生的40年中，贫病继续困扰着他；虚弱的身体使他长时间无法满足对爱的欢悦的强烈渴望；病痛不断地侵蚀他的智力。好像是为了发泄在与命运搏斗的一生中所受的屈辱和愤懑，他的书中字里行间都流露出强烈的复仇意识和极端的冷漠、残酷，并且自我吹嘘说，他超过同时代所有其他人。

卡当一生的大部分时间里，既四处行医又到处寻欢作乐。不过，他在业余时间里却为文艺复兴时期的数学做出了卓越的贡献。在学术活动中，他同样也表现出了可恶的流氓习气。例如，他最杰出的数学著作《大术》（Ars Magna）中最著名的成果，就是另一位数学家得到的，但卡当未得到这位数学家的许可就将此书出版了⁽¹⁾。一生中，他占据意大利几所大学的数学、医学教授席位多年。他的晚年是作为一名占星术家在罗马宫廷中度过的。临死前，他满意地看到，尽管一生厚颜无耻，但却获得了荣誉、财富、学识，有一个外孙，拥有不少有权势的朋友，并且笃信上帝，他还将口中仍完好无损的15颗牙归功于上帝的仁慈保佑。据说，他曾对自己的归天之日作过预测，为了保持作为一名占星术家的荣誉，他在自己预测日期到来的那一天自杀了。

卡当在中世纪与近代的大裂谷之间架起了一座桥梁。在他的玄学中，他依然紧紧地将中世纪的精神与其幻想结合起来。他对手相术、鬼神、吉凶之兆和占星术这些玄妙的玩意儿，总会设法找出理由来为之辩护。他也是一位自然魔法的坚定信仰者，相信这一“科学”的前途比占星术大，认为通过对自然魔法的研究，人们可以明察人的本质，了解自然界的方法和目的。学会占卜算卦的知识，则能了解不朽的天体是如何影响日常生活和人的命运的，以及掌握延年益寿的技巧。

与他研究数学、物理学和医学一样，卡当在他的放荡生活和反对极权主义教义方面，也表现出了对千百年来理智奴役状况的厌恶，而力图复兴对物质世界的兴趣。严格地说，他的科学研究确实具有地道的现代精神，彻底地摆脱了神秘主义和玄学理论。尽管他大量地剽窃了其他人的创造成果，但卡当在代数和算术方面的杰出成就，却是对现代数学的第一个重要贡献，而且无疑地是16世纪最优秀的成就。

卡当的《大术》，哥白尼的《天体运行论》（On the Revolutions of the Heavenly Spheres）和维萨里（Vesalius）的《人体结构》（On the Structure of the Human Body），这些出版于1543年至1545年间的著作，清楚地在中世纪和近代思潮的分界线上留下了烙印。这些著作具有非常重要的革命意义，它们使得自然界获得了一种摧毁中世纪文化的力量，并进而形成了建设一种新文化的力量。

最早对中世纪欧洲思想和生活的转变产生影响的，是希腊著作的引入和介绍。第一次与这些著作的富有重大意义的接触，通过阿拉伯人才得以实现。中世纪晚期，居住在君士坦丁堡（Constantinople）——拜占庭（Byzantine）即东罗马帝国中心的部分希腊学者，由于贫困所迫，不得不十分沮丧地迁往意大利。那些依然在君士坦丁堡定居的学者，当土耳其人攻陷了这座城市后，他们也离家出走，逃往意大利避难。到15世纪，直接从希腊原稿译成拉丁文已经完全可能了，这些原稿是希腊学者从君士坦丁堡带来的。从这个时候开始，希腊思想就对欧洲思想产生了不可估量的影响。文艺复兴时期的所有伟大科学家，都感谢希腊人的精神所给予他们的激励，信仰希腊人博大精深的思想。波兰人哥白尼、德国人开普勒、意大利人伽利略、法国人笛卡儿和英国人牛顿，都吸收了希腊这颗太阳所发出的光和热。

在近代文明的形成中，城市、集镇以及商人阶层的兴起，也具有同样的重要性。矿业、制造业、大规模的畜牧业、规模巨大的农场，以及今天大型商业的雏形，在当时已成了欧洲人生活中的重要组成部分。资产带来了富裕和功名、地位。商人们挥霍他们手中的物质财富，并且要求有一个维护他们利益的政府机构，以便能自由地从事贸易，但另一方面，基督教会却对惟利是图横加指责，推崇清贫简朴的生活，极力鼓吹为了死后得以受到拯救必须摒弃今世的享乐。因此不可避免地，市民们对基督教强加的这种束缚十分愤恨并奋起反击。

由于商人们一心想扩大贸易范围，因此在15、16世纪，他们掀起了地理大探险热潮。美洲的发现，以及绕非洲直达中国的航线的开辟，扩大了人们的眼界，而且为欧洲带来了大量的知识，使他们了解了陌生的大陆，以及有关这些异地的信仰、宗教和生活方式。这些知识对中世纪的教条提出了挑战，并且激发了人们的想像力。

与埃及、希腊和罗马的奴隶阶级以及中世纪封建主义的农奴阶级截然不同，新社会拥有不断增大的自由劳动者阶级和自由手工业者阶级。由于渴望在劳动中获利，使得这些人去思考与他们工作有关的问题。劳动者为了提高工作效率，与支付工资的雇主们一起，积极开展寻求节省劳动的办法。结果提高了人们对机械、原料和大自然的兴趣。这样的社会、经济运动，使得欧洲文化从封建主义和对自然现象漠不关心的状态，转变到了工业主义和对物质世界进行积极研究的方面来了。来源于手工业者操作中的重大实用发明，其数量之多超出了人们的想像。用棉花制成的以及后来用破布头制作的纸，取代了昂贵的羊皮纸；活版印刷取代了手工抄写。这些发明为思想插上了翅膀，使之能飞出种族和宗教的桎梏。

文艺复兴时期的另外一个事件，是14世纪火药的传入，由此引出了一系列科学问题。火药使得制造枪弹、炮弹成为可能，它们能从很远的距离、以极高的速度准确地发射。为了发展这些武器，以及学会如何更加有效地使用它们，各国君主花费了大量的金钱，这些投入超过了所有科学研究中重要课题所需要的投资。当然，战争的需要总是能使国家投入和平时期难以想像的金钱和精力、人力、物力。

对基督教“科学”和宇宙学说可靠性的怀疑，对教会压制实验和压制思考经济新秩序所产生的问题的反抗，宗教裁判所在道德上的堕落——通常基督教会将之斥之为异教徒，以及并非最不重要的——掌握知识的教会内部的严重分裂，所有这些最终导致了新教革命。反叛者得到了商人阶层的支持，商人们渴望摧毁教会的势力。世俗君主也支持反叛者，他们想摆脱教会对其统治的干涉。

宗教改革本身并没有解放人们的思想，但是，它间接地促使人们进行自由思考。当宗教领袖路德（Luther）、加尔文（Calvin）和茨温利（Zwingli）敢于向宗教权威和《圣经》教义挑战时，普通人也受到了鼓舞并去仿效。作为反叛者的新教徒，必须具有更多的宽容精神，所以他们不得不为受天主教迫害的思想家进行辩护。新教徒还不得不对《圣经》作出合乎理性的解释，用以对抗天主教教义，尽管对路德来说，理性是“魔鬼的娼妓”。事实上，新教在当时被迫支持这种信仰的转变，是自由探讨的必然结果。最后，当要求人们在天主教与新教中进行选择时，独立思考的精神无形中受到了极大的鼓励。随着人们喊出“你们双方都见鬼去吧！”的声音，许多人抛弃了这两种教义而转向其他的知识源泉，诸如自然界和古代经典著作。

这种正在欧洲崛起的新力量的雏形，已经明显地显示出欧洲文化即将发生根本性的变化。尽管在划定究竟哪一个世纪标志着从中世纪到近代的转折点的问题上，可能有一些争论，但毫无疑问，15世纪末欧洲已经成了一个轰轰烈烈的战场：在思想上对宗教信仰展开了顽强的斗争，倡导理性反对经院哲学的专横独断和不合时宜的权威，以希腊的此岸物质世界对抗天主教的彼岸精神世界。新一代学者不再为少数概念、为有限的知识作无休止的考据与争辩，开始摆脱独断主义。不愿受奴役的人，很容易对亘古不变的《圣经》提出批判，而自己则醉心于古代人所拥有的自由之中。他们声明反对令人厌恶的权威。由于这种智力方面的冲击，思想界渴望了解和消化比人们所反对的天主教有更稳固基础的新思想，并试图在此基础上建立寻求解决人、自然和社会秩序问题的新方法。

建立这种新方法的材料很容易找到。从近千年来无人问津的、丰富的希腊学术宝库中，欧洲人获得了新的精神、新的思想和新的世界观。希腊人的著作，使人们恢复了对人类理性至高无上威力的信赖，鼓舞着文艺复兴时期的人们利用这种力量去解决那个时代所面临的问题。不带偏见地探求真理的热情复苏了，而且这种探求本身是直接探索自然界的规律，而不是从《圣经》中支离破碎地寻找教义。人们研究上帝创造的天地万物，而不是研究上帝本身。好像是从漫长的昏睡中醒过来一样，欧洲人发现了一个生机勃勃、令人惊奇的“美丽的新世界”，在这其中，人本身作为一种生物，一种物质现象，最值得进行观察和研究。人们怀着极大的好奇心凝视天空，津津有味地听着那些外出航海和到新大陆探险者们所讲的新鲜事。长期以来，美一直被视为是异教徒地狱里的东西而受到谴责，现在，人体美又在文学艺术和物质世界中重新发现了，原罪、死亡和惩罚，被人们以寻求美丽、欢乐和享受取代了。人不应该作为一个原罪者，因而人的尊严又重新得到了肯定。最重要的是，人的精神得到了解放，可以自由自在地在世界里尽情遨游。

文艺复兴时期一个重要的积极思想是“回归自然”。所有的科学家都抛弃了在教义学原理和与实验无关的基础上进行无休止推理的做法，而转向把大自然本身作为知识的真正源泉。诉诸自然和观察，是很早以前由罗吉尔·培根提出的，继而得到了15世纪早期几个著名的、富有创新意识的思想家的推崇，我们可以举出他们中间的威廉·奥卡姆（William of Ockham）、尼古拉·奥斯曼（Nicholas of Oresme）、约翰·布尔丹（John Buridan）等作为代表。然而这些人都说得太早未被人们听见，他们那个时代到处只闻神学辩论中喋喋不休的争吵声。但是，涓涓细流汇聚成大江大河，最终形成了强大的力量。

当热心回归自然的科学家将这一口号转变为一种更为革命的思想时，便开始了一场“回归自然（back to nature）运动”。希腊人和文艺复兴时期早期的科学家寻求大自然的知识，而弗兰西斯·培根（Francis Bacon）和勒内·笛卡儿（René Descartes）却敢于提出人类征服和控制整个大自然的梦想。对弗兰西斯·培根来说，科学的目的并不只是为了满足玄想的好奇心，而是确立人类对大自然的统治，增加人们的舒适和幸福。笛卡儿写道：

获得对生活非常有用的知识是可能的，和学校里所教的纯思辨哲学不同，我们能够发现一个实用的哲学。通过这种哲学，当我们像了解手工艺人的各种工艺一样清楚地了解了水、火、空气、恒星、宇宙和所有围绕着我们的物体间的作用和力后，我们同样也能够把这些规律运用于它所适宜的各种用途，使得我们自己成为大自然的主人和占有者。

由弗兰西斯·培根和笛卡儿发出的挑战很快就被接受了，科学家们积极乐观地投入了以主宰大自然为己任的运动。300年后的今天，文艺复兴时期思想家、科学家的后继者依然在为这一目标而工作，弗兰西斯·培根、笛卡儿的思想在他们头脑中仍坚定不移，并促使他们继续前进。

利用理性重建所有知识，以及到大自然中寻求真理之源的运动，自然地把过去曾做出突出贡献的学科也用于这两方面。思维敏捷的学者寻求在确定无疑的知识基础上建立新的思想体系，数学的真实性正好符合这种要求。数学真理，尽管在中世纪被严重地忽视了，但却从未遇到过真正的挑战，也未遭到过真正的学者的丝毫怀疑。而且，数学所表现出来的力量使人们不得不相信，这门学科与科学、哲学或宗教不同，笛卡儿说：

由于数学推理确定无疑、明了清晰，我特别喜爱数学：……我为它的基础如此稳固坚实而惊奇，在知识结构中，数学应该是最高的。

列奥纳多（Leonardo，即达·芬奇）也说，只有紧紧地依靠数学，才能穿透那不可捉摸的思想迷魂阵。

对于文艺复兴时期的科学家来说，数学，就像希腊人的观点一样，更多的是一种获得知识的可靠方法；也是了解自然之谜的钥匙。相信自然是数学化的，每一种自然现象都遵从数学定律，这种信念是欧洲人12世纪从阿拉伯人那里第一次了解的，而阿拉伯人的思想又源于希腊人。例如，罗吉尔·培根坚信，大自然是用几何语言写成的。当时这种信念有时以一种不寻常的形式出现。例如，人们相信上帝之灵光是所有现象的原因和所有物体的形式，因此，光学的数学定律是自然界的真实定律。

开普勒也宣称，世界的实在性由其数学关系构成。数学定律是现象的真正起因，伽利略说，数学原理是上帝描绘整个世界的字母，没有数学原理的帮助，就不可能了解任何一个现象，人们只能徒劳地在黑暗的迷宫中徘徊。事实上，物理世界的性质只有用数学表示出来才是真正可知的。世界的结构和行为是数学的，自然界按照亘古不变的定律而运行。

现代思想之父笛卡儿对于他怎样想到用数学方法揭开自然之谜的发现，讲述了一段富有神秘色彩的经历。他说，他能清楚地回忆起在1619年11月10日梦中所发生的事情，在梦中他获得了真理的启示：数学是“一把金钥匙”。醒来后，他即刻深信整个自然界就是一个巨大的几何体系。以后他“既不承认也不希望物理学中有任何原理，不同于几何学和抽象数学中的原理，因为后者能对所有的自然现象给出解释，而且能对其中某些给出证明”。

因此，自然界都能够由数学定律进行分析和演绎。但是，这个过程应该如何开始呢？在研究中应该选择哪些现象呢？哪些概念是最根本的，同时又能用数学表达出来呢？对于这些问题，文艺复兴时期的自然哲学家给出了自己的答案。

对于希腊人来说，物体和它们的形状是最根本的，空间仅仅被当作一个物体的范围或边界。新一代科学家与希腊人不同，他们选择空间本身作为所有现象的一个基本概念，在空间中物体存在着或者具有广延性和运动（尽管笛卡儿坚持认为，某些不可感知的物质存在于某些可感知物体不存在的地方）。物体或物质的本质是空间，物体在本质上占据一定的空间，空间是实体，即具有几何学的结构。承认这条原理，物质就可以通过空间几何学进行数学描述。时间作为另一个基本概念而被引入。与在空间中一样，物体也在时间中存在、运动着。伽利略后来指出，时间能够给出数学表示，因为时间的时刻只不过是数，因为数前后相继，时刻在时间上也前后相继。

就物体本身来说，其基本性质是广延和运动。就不同的物体而言，形状、密度以及组成物体微粒的运动也不同，这些性质都是真实存在的，而且可用数学术语予以描述。另一方面，诸如颜色、气味、热度、音质却不是实在的、但它们是思维对实在的、主要的性质的反应。这些第二位的特征，在对真实世界的分析中可能会被忽视，因为它们不过是感觉或仅仅是表象。

这样，空间中的广延或形状，和时空中的运动就是所有性质的源泉，因为它们具有本质的实在性。用笛卡儿的话来说：“给我运动和广延，我将构造出宇宙。”通过几何和数字，数学能表示出物体的本质。笛卡儿继续指出，物体的运动，归根结底是力的机械作用，而这些力则遵从确定而精确的定律。生命本身、人、动物和植物都服从这些定律，在笛卡儿看来，只有上帝和人类精神不受这些定律约束。简言之，真实的世界就是一个可以用数学表达出在时空中运动的整体。整个宇宙是一架庞大的、和谐的、用数学设计而成的机器。

因果关系的概念，即在两个互相关联的事件之间，其中一个似乎一定可从另一个推出的看法，也有了新的系统的阐释。在时间上，原因似乎先于结果，这乃是由于人的感性认识的局限所致，原因不过是推理的前提罢了。这一观点，最好是用类推法来解释。给出欧几里得几何公理后，那么，圆的性质，诸如圆的周长、面积、外切角，所有这些都立刻可以作为必然的逻辑结论而确定。事实上，牛顿就曾提出过这样的问题：既然欧氏几何中的定理都明显地由公理暗示出来了，那么为什么还要不厌其烦地将它们写出呢？要知道，为了发现这些性质中的每一个，很多人都得花费相当多的时间。但是，将公理与定理之间的这种关系，看作同一时间序列中的因果关系的发现，其实是一种误解。对于物理现象也同样如此。准确的理解应是，所有的现象都是共存的，而且都包罗在一个数学结构之中。但是，感官认识的是单个的事件，因此就把某些事件当作是其他事件的原因。笛卡儿说，我们现在能够理解了，为什么用数学预言未来是可能的。这是因为数学关系是预先存在着的。物理解释的终极是数学关系。在1650年，自然界的数学解释已经风行全欧洲，并成为一种时尚，以至于印有笛卡儿名字的精美、昂贵的书籍，成了贵妇们梳妆台上的装饰品。

在文艺复兴时期的思想中，还有另外一个非常重要的关键因素没有提及。这一时期的科学家生长、受教育的环境是一个宗教世界，这一宗教世界此时也有了一种自然哲学。我们知道，这种哲学宣称，整个宇宙是由上帝创造的，是上帝亲手劳动的产物；世界的基本原理对于人来说，也是能够理解的。天主教强调自然界的合乎理性的原则以及十分重要的上帝的存在，这些给15、16世纪的每一位学者都留下了深刻的印象。因此，文艺复兴时期科学家所面临的任务，就是调和与融会天主教教义与希腊人的数学自然观。他们的解决办法也许是明了的。宇宙是被设计而成的；它是合乎理性的；它能为人们所理解。这些的确是两种哲学中共同的内容。再需要加上的就是，上帝按照和谐的数学定律设计、创造了整个世界。换句话说：通过使上帝成为一名杰出的、优秀的数学家，使得把对自然界的数学定律的研究当作一种宗教追求成为可能。对自然界的研究，成了对上帝语言、方法和意志的研究。笛卡儿补充道，世界的和谐就是上帝的数学安排，自然定律是永恒不变的，因为上帝的意志永远无法改变。

上帝将严格的数学秩序注入世界，人们只有通过艰苦的努力才能理解、领悟这种秩序。数学知识是绝对真理，就像《圣经》中的戒律神圣不可侵犯，事实上，对《圣经》有许多不同的意见，而对数学的真理，则不会有不同的意见。伽利略说：“上帝在自然界万千变幻中向我们展示的令人赞叹的东西，并不比《圣经》字句中的少。”

这样，天主教强调宇宙是上帝合乎理性的设计，毕达哥拉斯-柏拉图主义坚持数学是物质世界的本质属性，这两种观点就在一个科学纲领中调和了，这个纲领的本质可以归结为：科学的目的是为了发现所有自然现象的数学关系，并以此去解释所有自然现象，从而揭示上帝所进行的创造的伟大与光荣。

我们看到，近代科学从坚信自然界的数学设计这种哲学中获取灵感，并开始了自己的历程。科学的目的，与数学的目的一样，就是为了揭示这种设计。正如兰德尔（Randall）在《现代思想的形成》⁽²⁾（Making of the Modern Mind）中所说的那样：“科学起源于用数学解释自然界这种信念，而且在很久以前这个信念就为经验证实了。”

文艺复兴时期的思想家所设想的科学活动的本质，经常未被人们正确理解。许多人把现代科学的兴起归功于大规模地引入实验，而且认为数学只不过是一种偶尔有用的工具。像上面所描述的真实情况，实际上被他们完全颠倒了。文艺复兴时期的科学家，是作为数学家而从事对大自然的研究的。也就是说，他们希望通过直觉或感官，去发现具有广泛性的、基础牢固的、不可改变的、合乎理性的原理，在很大程度上就像欧几里得找出的公理一样。在这里，几乎没有借助于实验的帮助。然后，再从这些原理中演绎出新的定律。文艺复兴时期的科学家是这样的神学家，他们把自然界而不是把上帝作为自己的研究对象。对伽利略、笛卡儿、惠更斯、牛顿来说，演绎方法，这一科学研究中的数学方法，总是比实验方法所起的作用大得多。伽利略推崇科学原理，甚至当科学原理是由实验方法得出的也是如此，因为从这条原理中推导出来的大量定理，远远超过这条原理本身所提供的知识。而且他说，他很少做实验，即使做也主要是为了反驳那些不相信数学的人。

的确，某些实验由学者做过，然而大部分都是工匠和技师完成的，他们没有找出更深的内容和规律性的东西，只是获得了一些普通的、实用性的知识。而且，直到17世纪中叶，所做的实验都不是判决性的。在现代科学的形成时期，不仅数学理论高于实验、支配实验，而且尤其特别的是，实验方法在当时被认为是反科学的。转向实验方法是一场反理性主义运动，这场运动清除了正在走向衰落的至今毫无结果而又经常为人重复的具有宗教精神的玄想，清除了经常被证明是错误的宗教神学教条主义。文艺复兴时期以后不久，实验主义者和唯理论者认识到，他们所追求的目标是相同的，因此他们最终联合起来了。

文艺复兴时期的伟大思想家所设计的正确的科学方法，后来被证明的确是非常有意义的。在牛顿那个时代，在精细的观察和实验知识的基础上，对自然定律的理性研究产生了非常有价值的成果。16、17世纪的伟大成就主要表现在天文学、力学方面，当时天文学观察所能提供的新资料很少，而力学领域和数学理论在非常有限的实验基础上，达到了包罗万象、尽善尽美的程度。通常给人印象十分深刻的是，科学家被描绘成置身于实验室的仪器、各种装置中的学者；实际上，文艺复兴时期的大多数科学家是“耍笔杆子的”。

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(1) 这位数学家是N·塔尔塔利亚（Nicolo Tartaglia，1499？—1557），经过潜心研究他得到了一元三次方程的一般解法（1541年），卡当一再乞求他将三次方程解法告诉自己，并发誓决不泄密。塔尔塔利亚受其“至诚”所感，告诉了他。但卡当背信弃义，在1545年出版的《大术》中介绍了三次方程，后人于是将三次方程的求根公式称为“卡当公式”。——译者注

(2) London：George Allen & Unwin Ltd.——原注