世纪最伟大的数学成就实际上已经给出了对立统一规律的数学证明

如果有人问：20世纪最伟大的物理学家是谁？人们都会说是爱因斯坦；但是如果问：20世纪最伟大的数学家是谁？恐怕许多人都回答不上来了。1999年美国《时代》周刊评选出100位20世纪最杰出的人物，其中爱因斯坦被评为最伟大的物理学家，哥德尔被评为最伟大的数学家。虽然，哥德尔在公众中的知名度不是很高，然而他在科学界的地位却是崇高的，有人甚至称赞他为亚里士多德之后最伟大的逻辑学家。哥德尔的一项重要成果就是给出了不完备性定理的证明，这个定理彻底颠覆了人们对数学真理的认识。

在数学家看来，演绎推理能够保证数学知识的高度明晰性和确定性，只要前提正确，并且按照逻辑规则进行推导，那么，最终总可以得到正确的结果。多少年来，数学家们都相信证明的力量，正是基于这一认识，数学家们认为用公理化方法建造的数学大厦是一座宏伟的、完美的大厦。这座大厦足够的高大，使得从古至今的一切数学研究成果都可以包含在内；这座大厦又是如此的完美，大厦内的各种数学理论能够互不矛盾，充分体现了数学内在的和谐与完备。

然而，时间到了1931年，一位年仅24岁的数学家哥德尔给出了一个出人意料的结果，这就是著名的哥德尔不完备性定理。这个定理指出，如果一个包含了自然数的算术的形式系统P是无矛盾的，那么，这个系统必然是不完备的，即在P中存在着这样的命题，既不能用P之公理与推理法则加以证明，也不能用P中的公理与推理法则予以否定。这就是说，无矛盾性必然导致不完备性［36］。

关于哥德尔定理后面我们再对它进行解读，下面首先介绍一下这个定理的重要意义。哥德尔定理告诉人们数学是不完备的，就连过去人们极力推崇的、被认为是最精确的科学方法——公理化方法也是存在缺陷的，即不存在一个无矛盾的、完备的数学公理系统。数学史学家伊夫斯在《数学史上的里程碑》一书中对哥德尔定理是这样评价的：它推翻了数学的所有重要领域能被完全公理化这个强烈的信念；它摧毁了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望；它导致了重新评价某些被普遍认可的数学哲学……［37］

总之，哥德尔定理的出现表明，自亚里士多德以来的两千多年，数学家们一直追逐的、建立一个完备的无矛盾的数学大厦的理想破碎了，因此，有人说哥德尔是亚里士多德之后最伟大的逻辑学家。人们对哥德尔的评价如此之高，那么，哥德尔定理究竟讲了什么呢？下面我们对哥德尔定理做一些解释。

首先，哥德尔定理告诉人们，在任何一个数学公理系统中，都存在着不可判定的命题。所谓不可判定命题，通俗地讲，就是矛盾的命题，即对于一个命题，从这个角度进行论证，可以得出命题是正确的；但从另一角度进行论证，又可得出命题是错误的；换句话说，这个命题究竟是对还是错，在给定的数学公理系统内是无法判定的，因此人们把这样的命题称为不可判定命题。

其次，哥德尔定理还告诉人们，出现不可判定命题的原因是由于公理系统的不完备，即公理系统中缺少了某些重要的东西，把这些东西补充进去，矛盾命题就可以消除了。譬如，原来的公理系统中有8个公理，现在，再给公理系统增加一个公理，那么，原来那个不可判定的命题就变成可以判定的命题了，即矛盾得到了解决。

第三，用增加公理的方法可以解决原有的矛盾命题，但旧的矛盾解决了，新的矛盾又产生了，哥德尔定理还告诉人们，在扩展后的公理系统中依然存在着矛盾命题，虽然用继续扩展公理系统的方法可以解决这个矛盾，但扩展后的公理系统中仍然存在不可判定的命题，而且，这个过程可以一直进行下去……也就是说，人们永远得不到一个没有矛盾命题的公理系统。

如果把哥德尔的不完备性定理与对立统一规律做一对比，便不难发现两者之间存在密切的关系。

对立统一规律告诉人们，任何事物中都包含着内在的矛盾；哥德尔定理则表明，在任何一个公理化的数学理论中都存在着矛盾的命题。

对立统一规律认为，事物的内在矛盾推动了事物的发展；哥德尔定理告诉人们，矛盾命题的出现表明原有的数学理论是不完善的，人们可以通过增加新公理的方法，对原有的理论进行完善和发展。

对立统一规律认为，旧的矛盾解决了，新的矛盾还会产生，世界上不存在没有矛盾的事物；哥德尔定理得出，虽然用扩展公理系统的方法可以消除原有的矛盾命题，但在扩展后的公理系统中仍然存在新的矛盾命题，而且这一过程可以一直进行下去，因此，人类认识数学真理的过程是永无止境的，人们永远也得不到一个没有矛盾命题的数学理论。

两者的相似之处还有许多，这里就不再一一列举了。

总之，如果认为对立统一规律是一个普遍的规律，这个规律在数学中也应该成立，那么，在数学中就一定存在一个与对立统一规律相对应的定理。这个定理是什么呢？通过以上对比，我们可以得出这样的结论：哥德尔的不完备性定理就是数学中的对立统一规律，20世纪最伟大的数学成果——哥德尔定理，恰好证明了马克思主义哲学的对立统一规律在数学中的正确性。