数学所作的选择

封面故事 | 最美的数学

主笔◎蒲实

选择与数学相处的人，日后以何种形式与数学为伴，很大程度上是数学所作的选择，不由人。但如果把数学之美视为一个艺术品，经过一定的审美训练，一个有优秀数学修养的人仍能够欣赏它美妙的结构并体验到愉悦。这种美令人流连忘返。

“00级”数学系毕业的郭化楠在培训机构“学而思”当数学老师。从小学开始，他的数学成绩一直很好，兴趣也浓厚，就去人大附中办的华罗庚学校上课。小学时他是北京市“迎春杯”赛事的前12名，点招进入人大附中，一直参加奥数竞赛到高中。中学阶段，他周末同时上好几个数学培训班，高中数学竞赛也一直是北京前10名的水平。高考填报志愿的时候，他自然选择了数学。

刚进北京大学时，每个人都是优秀的学生。“大一”的时候，大家都还没有觉得数学很难，考试基本都是90多分。数学系本科头一年半不分专业，填报志愿时虽然有统计数学、基础数学和应用数学的选项，实际上进来后平行分成四个班，都上一样的课程，“大二”下半学期才正式分班。“大一”时，郭化楠与张伟、袁新意在一班。“大二”下半年再进行选择时，可以选择的方向有信息、统计、计算和金融，郭化楠选择了基础数学班。“00级”在那一年选择基础数学的人有五六十人，后面的“01级”在分班时选基础数学的大约是70人。大概10年后，当“00级”和“01级”出国留学的毕业生回北大任教时，数学学院仍然每年招生150至200人，选择基础数学的人却下降到了30人左右。

对于数学来说，“天赋”的存在是毋庸置疑的，很好识别。郭化楠说，他一直自认为也算是个有数学才能的人，现在也这么认为，看周围的人能很快看出他们是否有数学思维。但在北大，他见识了天赋高低可以产生的落差，进而认识到，在数学上，天赋是有等级之分的。

本科四年的学习，分化出现在“大二”和“大三”。那时郭化楠的成绩从90多分逐渐下滑到80多分，再滑到70多分。成绩的逐年下降对数学系的很多人来说是一件自然发生的事情，用郭化楠的话说：“平时学习中的点点滴滴让人对这种后来看起来有阶段性退化的事特别习以为常。”数学系的大多数学生都知道一句话：“复变函数学两遍，实变函数学十遍，随机函数随机过。”这些特别难的课，平时写作业都不是很懂，只是套用课上的定理，考试前再突击复习一下，勉强能通过。大学时，老师讲一个定理，写了几个黑板的板书，用了好几个小时。“我完全出于对这个定理的尊重而把公式背下来了，但它究竟说的是什么，背后的东西我并不懂。”天赋的级别识别起来并不难：一个定理，大多数人看一个多小时才能理解，有些人十分钟就理解，而且理解得要深刻得多。做作业也是这样，“一道题我需要想两个小时，得出的方法不是捷径，过程也不是很严谨，别人半个小时就用很简洁的方法证明出来，而且特别严谨。一求教，就是一句话解决的事情，问怎么想出来的，‘没有理由’”。

2004年，当时北大深圳研究生院刚刚招生，郭化楠去参加了信息科学系的面试，进入了计算机和互联网这个领域。尝试了一段时间计算机，他最终还是回到了数学上，做了数学培训老师。和数学打交道，他觉得更舒服也更有兴趣，虽然没能成为职业数学家，但还能以数学为业。现在以一个数学培训教师的视角回过头看，他恍然领悟，在进入大学之前，奥赛数学实际上一套与职业运动员训练和选拔相似的体系。他虽然是省队前10名，但放在全国，大概也就是国家队100名至200名的水平，“省里面的前几名与全国顶尖水平相差很大”。中学的时候，一直在奥赛赛道上的郭化楠觉得，自己与北京市第一名之间的差距并不是很大。各省前几名进入全国冬令营后，排名靠前的人即可保送，“00级”北京有3个人左右通过冬令营保送进了北大。但那一届北京市的第一名也没能进国家队。国家队的30个人是层层选拔上来的，最终再选出6个人代表国家队去参加国际数学奥林匹克竞赛。进入北大，和这些国家队队员成为同学，差距感骤然变化，看恽之玮、袁新意这些人，他认识到“遥不可及”。开始他还尝试旁听一下“牛人”课下与老师的交流，但完全不知道他们在说什么，遂逐渐放弃。如今，奥赛冬令营的数量在各省已经“扩招”，如果按照今天这个规模，当年北京市前10名的郭化楠也能进入冬令营。但当年他没有，他形容自己就像“省队的人没进国家队，就退役当乒乓球教练了”。

从事数学教育多年后，他开始从另一个角度来看待数学竞赛。他认识到，数学相对有一套成熟的甄别机制来选择有天赋的人：从课堂数学成绩好、有兴趣，到进入奥数、做越来越难的题，基本有迹可循。他观察这些学生的思维方式、解法和过程，同样都能得出正确答案，但那些懂得把复杂问题转化成更精巧问题的学生，通常更有数学天赋。他说，把学过的知识组合在一起，就像给孩子散乱的积木；有人会做正统的四方建筑，有人则想不断突破，勇于创新，把旧的知识做新的组合。数学奥赛的一系列解题训练，都是在模拟这个环境：由旧的知识创造新的知识。实际上，99%的人都通不过整个过程，而最终选拔出来的人，基本不会有错。

即使如此，选择与数学相处的人，日后却无法选择以何种形式与数学为伴。很大程度上，那是数学所作的选择，不由人。郭化楠说，小学参加奥数竞赛的人，很多人的职业理想都是长大做数学家，没有想过别的。中学所学的数学还与现实物质世界有直观的联系，到了大学，则完全脱离生活本身，全是高度抽象和推导。小学数学的3个苹果、15平方米，逐渐抽象为没有对象和单位的数字，股票指数、弹道导弹这些现实世界的现象抽象为连续曲线可导可积。在这个从高中所学的古典数学，包括本质上是高中数学知识的奥赛，过渡到大学所学的近现代数学的过程中，悄然横亘着上千年的数学演进，并非每个人都能跨越。对天赋落差的自知，让人与数学的关系开始游离，不再明确知道自己想要什么。那时候，“00级”的班上，有人想创业，有人想出国，有人想转做金融。郭化楠开始转而想做一个一般大学的数学教师，到毕业时，他选了信息科学，尝试别的职业的可能性。在深圳，他的计算机专业学得很不错，是优秀毕业生。但最终他还是从雅虎研发中心辞职，“像看到了启明星的方向一样”，回到了生命中与之为伴了14年的数学上来。

郭化楠告诉好友，他在考虑换工作时，其实本也曾有过一个审慎的计划：先用业余时间备课，周末试一下上课，如果行，再从雅虎辞职。但当他打开数学课本时，他“等不及了”，立即辞职。他说，他并不适合计算机，难以在特别实际的诉求中找到意义。“算法优化一些，可以把速度从0.05秒提高到0.04秒，但到用户那边，经过3秒的网络延迟，完全感觉不到。除了发论文，没有什么效应。”回到数学，走不了学术，给人讲课他也很开心，不想放弃数学，他便顺应了它对他所作的选择。他现在免费给本科生讲一些线性代数，把高中所学的三维空间向量视为线性代数的简化版本，这是一种理解线性代数的简便视角。大学的时候，他理解线性代数用矩阵计算就是一套算法，按规则算就好，并没有思考过背后是什么。现在他用业余时间重新学，发现线性代数其实是对高维空间的直观想象。“一个多元线性方程组，系数矩阵的秩表达系数之间的相关性。十元齐次线性方程组，实际就是解决十维空间的问题。如果系数矩阵的秩是7，那系数的相关性是7，形成的解空间就是三维的。整个空间是n维的，减去系数空间的秩（约束），等于解空间的维数（自由度）。”当他理解到这一点时，他翻过一道山，看见了前面更多的山。他恍然明白，当年同窗的那些“牛人”，在那个时候就已比他现在所理解到的深刻，领略过全然不同的风景。

数学仍然从智识上吸引着郭化楠。如果把数学之美视为一个艺术品，经过一定的审美训练，一个有优秀数学修养的人能够欣赏它美妙的结构并体验到愉悦；虽然创造这种美，完全又是另一回事。郭化楠曾读到过一个观点，至今印象深刻：如果有外星人，他们的宇宙构成可能和我们不一样，比如他们可能不靠氧气呼吸，而靠氮气呼吸，甚至这些气体的化学构成可能也不一样，但他们的数学一定是和我们一样的。比如他们一定也会有圆形和正方形，这些几何图形早已高度抽象，不依赖于任何世界的物质构成，无论你生活在水中还是气体中。向外星人发信号的时候，人类将使用什么语言？最有可能是质数。只要有文明，发展出这种文明的生物就一定知道计数，只要计数，有智慧的生物就会发现一些数和另一些数不同，从而发现其中一种在地球上被命名为“质数”的数是不可以被其他数整除的。他深信，如果宇宙有一种通用语言的话，那必然是数学。

大学里，当郭化楠与数学的关系变得若即若离时，他的生活空间扩大了。人间烟火的温暖也许是对亏欠的天赋的补偿。在排球场和曲艺社团，他认识了很多社团的朋友，来自各个不同的院系。逐渐的，他与社团的人联系越来越多，在那里他获得了许多快乐和友谊。他喜欢聊话剧和曲艺，和朋友在一起，他可以侃侃而谈羊肉泡馍的数种吃法和法源寺渊源的不同假说。“非典”的时候，郭化楠没有回北京的家。有一天，吃完宿舍同学王宁用电热杯煮的牛肉片和炒鸡蛋，他和全宿舍的人都发起了烧。他烧到了37.5摄氏度，被怀疑在“家和学校之间往返”和“疑似接触疑似病例”，校医院将他隔离起来。他的社团朋友们轮流打电话陪他聊天，等隔离结束，他和这些人成了可交心的朋友。