标量和矢量

很明显，正因为我们存在于时空之中，所以我们能够讨论时空。空间中有形形色色的物体。牛顿在虚空中探讨空间和时间的特性，因为他认为空间中物体的存在不会对其特性产生影响。正如我们所言，牛顿这一观点并非完全正确。但现在我们暂且忽略物质和运动对时空的影响，先来讨论一下牛顿时空观里的物体。我们知道，运动依赖于时间和空间，因为空间中的运动既要占地方，又要耗时间。为了进一步探讨运动，我们必须先准确地定义一下我们熟悉的距离、速度和加速度。

我们引入标量和矢量的概念。如果测量的某个量能单用一个数字（数量）加上相应的单位来表示，这个量则为标量。一杯水的温度就是一个标量，因为它可以用一个数量，如20，加上一个单位，如摄氏度（简写为℃）来表示。换成其他单位的话，数量会发生变化，如，20℃可转换为68华氏度（68℉）。

然而，有些事物的说明不仅仅需要一个数字。例如，如果我们告诉一个旅行者波士顿距离纽约330千米，这个旅行者还是不知道该如何从纽约去往波士顿。我们仍需指明其方向，例如，大概是在东北方向。我们旅行的方向也能用数字表示，如该方向与正北方向的夹角。在这个例子中，只需使用一个角度即可注明方向，因为这个运动仅仅发生在地球的表面。如果讨论的是某物离树上一只鸟儿的距离，那我们还需要另一个角度来表示这个物体和鸟儿之间的连线与水平面之间的夹角。同时拥有数量和方向的量就叫作矢量，矢量的大小有时被称为标量。

两点之间的距离是一个标量。纽约到华盛顿的距离大约等同于纽约到波士顿的距离。但是，从纽约去往华盛顿和从纽约去往波士顿的方向几乎相反。物理学家使用“位移”这一术语来表示从一点到另一点的距离和方向上的变化。

科学家经常使用符号而不是文字来指代常用的量。代表某个量的符号一般是一个字母。这种方法不仅节约时间，而且有助于集中注意力。同时，当科学家们使用符号时，他们能更方便地运用数学工具进行运算，从而推进其科学研究。

我们通常用一个斜体字母来代表某个标量，而矢量则用一个粗体字母。两点之间的距离我们通常用s表示，而位移则用s。数量s即为矢量s的大小。有时我们在探讨一个问题时会涉及多个距离（或其他类型的数量），这时我们便用不同的字母或者下标来进行区分。使用哪种符号来指代某种量并不重要，只要对其清楚定义以避免产生混淆。

在讨论两地之间距离，例如波士顿到纽约的距离时，我们需要区分两个不同的量。第一个量是直线距离（就像鸟飞行的距离），这个距离也是位移的大小。第二个量是沿着蜿蜒的公路开车需要经过的距离。一般情况下，我们所说的距离即直线距离，除非上下文中另有说明。如果你绕着一个圈走，最终回到起始位置，那么你走过的距离显然不是零。不过，在这种情况下，你并没有任何的矢量移动，因此你位移的大小为零。当一个矢量的大小为零时，它的方向无法确定。

当我们讨论波士顿与纽约之间的直线距离时，我们忽略了一个重要的事实——连接这两座城市之间的直线会从地表之下穿过（纽约和东京之间的直线就更不用说了）。当两点处于曲面上时，我们所说的两点间的直线距离是指该曲面上两点间的最短距离。如果把地球理想化为一个规则的球形（没有山川河谷、两极也不是扁平状），那么地球表面上两点间的最短距离就是穿过两点的大圆的一个部分。对于地球上任意两点，若它们不是对跖点（对跖点即地球同一直径的两个端点），那么就只有一个大圆穿过这两点。若两点非对跖点，那么从任意一点出发，沿大圆弧线有两条道路可通往另一点。两条路都可视为球形上的“直线”，其中路程较短的长度即为两点间最短距离。若两点为对跖点，那么穿过两点有无数大圆，且在所有大圆上两点的距离都相等。球面上两点之间任何不沿大圆的路径都被视为“曲线”。

例如，洛杉矶和亚特兰大都处在北纬约34°的位置（事实上，亚特兰大比洛杉矶稍微偏南，差别小于纬度1°）。但是，如果飞机想取最短路线从洛杉矶飞往亚特兰大，它就不能沿着北纬34°的纬线飞行，而是沿着连接两座城市的大圆。这一最短路线除了起点和终点外，其他部分都处于北纬34°之上。

在许多情况下，两地之间地面的曲度都小到可以忽略不计。在这种情况下，我们不需要考虑曲度，把地表看成是平的即可。

让我们回到矢量。矢量的大小和方向还有另外一种表达方式，即使用矢量的分量（component）。例如，假如你看见杆上有一只啄木鸟，为了表示从你的位置移动到啄木鸟的位置应发生的位移，可先用两个数字对杆的位置进行定位，再用一个数字表示啄木鸟在杆上的高度。到达杆的位置，你需向北走30米，再向西走40米。然后，达到啄木鸟的位置，你需沿着杆向上爬10米。为了表示这一矢量位移，我们用3个带单位（在这个例子中就是米，简写为m）的数字：向北30米、向西40米、向上10米。这3个数字就是这次矢量位移的分量。

位移的3个分量可以很好地代替位移的大小和方向。不过，如果我们还是想用大小和方向来表示位移，我们仍需使用3个数字，因为在通常情况下，我们在表示方向的时候需要两个角度，例如，与正北方向的夹角和与水平方向的夹角。而矢量的大小则是我们需要的第3个数字。

为了对位移进行测量，我们可以想象从任一点出发的3条相互垂直的直线，我们把这3条直线称为“轴”，把这个点则称为“原点”。3条轴可称为x轴、y轴和z轴。直线的方向不固定，任何相互垂直的3个方向即可。例如，x轴可以指向东方，y轴指向北方，z轴指向正上方。通过给定3条轴上的分量，我们能表示位移或其他的矢量。

假设有这么一个矢量，我们称之为F。假设F代表作用于某个物体的一个力，我们粗略地把它定义为一个推力或拉力。一个作用力不仅具有大小而且具有方向，所以它符合矢量的定义（我们同样也可以想象另一个任意的矢量，并用任何字母来表示）。然后，我们将这个作用力在x、y、z三个方向上的分量分别用Fx、Fy、Fz表示。

矢量的图形是一端带有箭头的线段。线段的长度代表该矢量的大小，箭头所指方向为矢量的方向。线段带有箭头的一端我们称之为矢量的“头”，另一端则称为矢量的“尾”。

图3.3为矢量F以及F的3个分量在任意选取的3条相互垂直的轴线上的投影。我们无法在一张二维的纸张上描绘出一个三维的坐标，所以只能想象y轴垂直于纸张，并指向纸张的外面。

图3.3　矢量F以及F的分量在相互垂直的三条轴线上的投影。应想象y轴垂直于纸张，并指向纸张的外面

物理学中的量数不胜数，但是字母表中的字母是有限的。有时我们也会用到希腊字母或是一些特殊字符，而有时我们也用相同的字母来代表不同的量。例如，字母s（斜体）通常用来指距离，而s（非斜体）则用来指秒，一种时间单位。如果上下文中没有进行说明，那么不同的量就应该用不同的字母表示。