苹果与月球

牛顿告诉我们，苹果落向地面和月球围绕地球旋转都是由于一个相同的力——引力。为了弄清楚为什么一个苹果的直线运动和月球的近似圆圈（实际上是个椭圆）的运动都来自同一个力的作用，我们得先仔细研究一下地球上的运动。

引力是导致物体落向地面的力。不过，物体并非每次都沿着直线下坠。像苹果一样从高处落向地面的物体确实会沿着直线掉落。不过，如果你往水平方向扔出一个球，那么球接下来的运动便是你最初给它的水平运动和引力导致的垂直运动的结合。球的实际运动轨迹是一条曲线，这条曲线近似于一条抛物线。图6.1表示一个球在沿着水平线抛出后的运动轨迹。

图6.1　一个球被沿着水平线抛出后，它运动的轨迹是一条抛物线。相邻两个球形之间的时间间隔相等

在下落的过程中，球在水平方向的速度会因空气阻力而慢慢降低，而在垂直方向的速度则会因为引力向下的作用而加快。最后的结果便是，球刚开始时水平抛出，但最后与水平方向的夹角越来越大，直到落地。

想象你在没有空气阻力的条件下沿着水平方向抛出一个球。球在水平方向的速度会保持不变，而在垂直方向的速度则会因为引力的作用不断增加，直到球落地。然后，想象你用一个更快的初速度抛出这个球。球当然会在飞行了更远的距离后才落地。那么，我们想象用一个极快的速度抛出这个球，以至于球不会落向地面（不考虑地表上像山一样的起伏地形）。球的运动轨迹会朝着地表弯曲，但地表本来就是弯曲的，所以一个运动速度足够快的球能与地表一直保持着一个固定的距离，尽管球一直在落向地面。这种情况就近似于月球的运动，除了月球是沿着椭圆形轨道，而不是圆形轨道绕地球运动。月球也在不断地落向地球，但月球水平方向的运动速度非常快，以至于它能够在地球表面之上绕着它自己的轨道运动。

牛顿猜测，两个点状物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。引力是一种相互吸引的力。引力与质量乘积之间的比例称为“引力常数”，用符号G表示。引力的大小用公式表示便是F=Gm1m2/r2。m1和m2为两个物体的质量，r是它们之间的距离。

牛顿并非是第一个猜测平方反比定律的，但他表示该定律普遍适用，对于月球和苹果来说，常数G不变。为了证明这一点，牛顿不得不假设地球对苹果的引力都来源于地球的核心。后来，他又将地球视为一个球体，并将球体内部所有物质的引力相加，最终证明了上面的猜想。

牛顿并不知道地球或月球的质量，他也不知道引力常数G的值。然而，他在两个案例中都对G的值和地球的质量进行了假设，然后通过求两个力的比值（用一个力去除另一个力），G和地球的质量便消除了，所以没必要知道两者的大小。

牛顿同样也不需要知道月球或者苹果的质量，因为他的运动第二定律表明一个物体的加速度与它的质量成反比。因为加速度等于作用力除以质量，而引力与质量又成正比，于是在加速度的表达式里物体质量便被消除了。

由上面得出的最终结论就是，月球加速度与苹果加速度的比值等于二者离地心距离的平方反比。为了求出这一比值，牛顿需要知道地球的半径以及地球到月球的距离，而他当时对这些数据已了然于胸。接着，他拿计算结果与月球和苹果的加速度的测量数据作对比，发现二者十分吻合。

物体因为引力产生的加速度与物体的质量无关，这就是伽利略发现大小不等的石块在下落时加速度相等的原因。