评约翰·波金霍尔的“数学实在”

玛丽·伦

为了回应数学是“创造还是发现”这样一个棘手问题，约翰·波金霍尔通过本文论证道，数学家从事的是对数学实体的“理性领域（noetic realm）”性质的研究，因此，数学研究属于发现性质而不是创造性质。波金霍尔将数学的这种研究性质与物理学的研究性质进行了对比。依据这种对比，我们对人类数学活动的解释不必依赖于数学对象的范围，例如，它不依赖于“巧妙的智力拼图”的构建或是对“某个可怕的逻辑上的同义反复进行艰难的解释”。

波金霍尔相当明确地指出：他（抑或其他任何人）对数学基本性质的这种解释不可能用演绎方法来证明。在这里，我们所采用的哲学理论不是经验证据就能够确立的，因此，要想使波金霍尔的理性领域假说胜过物理主义假说，最好采用归纳性质的理由（即那种不建立结论，至多带来可能的理由）。波金霍尔进一步指出，物理主义应当被视为众多形而上学假说中的一种，而不是一种默认的立场，除非我们有确凿的拒绝它的理由。因此，波金霍尔的策略是从物理主义否定这种理性领域存在的立场出发，反其道而行之来考虑理性领域假说。化各种现象所提供的证据为我所用，并通过这些现象来证明物理主义的错误和数学对象的理性领域存在的合理性。

一个问题只适合用归纳来考虑，而不能用演绎方法来证明，这当然无损于这个问题的意义、价值、重要性或其易处理性质。事实上，当演绎方法在纯数学中蓬勃发展之时，归纳推理则成为实证科学的命脉，几乎每一个重要的理论问题的解决都需要我们超越由经验观察所导出的狭隘的结论才能取得。波金霍尔的讨论采用了实证科学里司空见惯的两种不同类型的归纳推理，以论证他的形而上学结论：一种是类比论证；另一种是最佳解释推理。

类比论证的一般形式为：如果X在a, b，c…方面与Y相同，那么X也（可能）在z上与Y相同。这种形式的推理对于从诸多情形模型中导出真实情形的结论是必不可少的，其中的推论可能相当平凡（城市就像是一张标着标志性建筑、街道和我们能看到相对距离的地图，因此，它也像标有市政厅位置的地图。如果你要去市政厅，你该直行，走到左侧的第三街即是）。更富创新意义的是，牛顿通过行星和球体之间的类比认为，行星围绕太阳的运动应该类似于用弹性弦拴着的小球的圆周运动（弹性弦的“拉”力作用在小球上，使其做圆周运动，太阳作用在行星上的力起着类似的作用）。这种推测性类比需要一些技巧。对于X和Y的任何值，我们能够找到它们的相似之处。关键是要找到足够相关的相似性以保证推出进一步的相似性。

波金霍尔的类比论证（引自阿兰·科纳对让·皮埃尔·尚热激进唯物主义立场的回应），从三个方面探讨了数学探索与物质世界探索的相似之处。他的结论是，数学探索和物质世界的探索一样，存在一个独立的、客观的、真实的客观世界作为它的研究对象。波金霍尔个人觉得，这些方面中的每一个本身就足以引出他的实在论结论，但综合考虑，它们只是加强了整体的类比力度。因此，在对这种类比进行评估时，重要的是要考虑两种探索方式相似的那些方面（即那种不依时间、观察者、丰富性和惊讶程度而转移的“知觉”上的一致性）是否与波金霍尔所断言的（即独立的对象世界的）进一步的相似性存在关联。波金霍尔坚持数学推理的客观性原则，例如，用不同方法彼此独立地推出相同数学结论的不同推理者肯定认为数学家在导出他们希望的结论过程中是不自由的。但与波金霍尔的进一步断言相关的相似性，即数学探索，会像物理探索那样涉及一个客观、独立的对象领域吗？

在回答这个问题时，我们可以考虑关于数学性质的其他说明是否能够解释波金霍尔提到的现象，甚至优于波金霍尔的理性领域假设。对于数学研究和物理研究之间的相似性，如果确实存在另一种合理且不必借助于理性领域概念的解释，那么由类比得到的原始论据的力量就被削弱了。这时，我们就得考虑波金霍尔论证策略的第二种形式：最佳解释推理。

我们已故的同事彼得·利普顿将这种推理形式描述如下：

鉴于我们的数据和我们的背景信仰，我们推断出——如果属实的话——那种提供最佳竞争性解释的东西，这种最佳竞争性解释是我们从那些数据中产生的（只要这种最佳好到足以让我们做出推定）。

利普顿（1991：2004，第56页）

正如利普顿指出的，“最佳”一词在这里需要做些澄清。具体来说，我们可以区分为

由证据支持的最佳解释和能够提供最佳理解的解释。总之，最佳解释（可以区分为）最可能的解释和最可爱的解释。

利普顿（1991：2004，第59页）

正如利普顿指出的，倡导最可能解释推理相对来说没有争议，但可悲的是，也相当无用——如果我们有办法知道什么情形是最有可能的，我们一定会推断出相应的结果，而最佳解释推理肯定是将找到哪一种方法更可能作为其目的之一。由于最佳解释推理是一种实用的理论选择规则，因此我们需要对那种能够在提供理解的意义上成为最可爱解释的东西进行说明。这种说明也许可以借助于理论品质（如简单性、非特指性、统一的力量等）来进行。波金霍尔明确指出，无论我们对“最可爱”的程度如何说明，理性领域假设都为他所指出的数学探索和物理探索之间的相似性提供了最可爱的解释。这种解释肯定比尚热的将数学对象还原到现存的“产生它们的数学家的神经元和突触”的解释更可爱——你还真以为这些神经元和突触会包含数学所探索的那种丰富的、令人惊讶的、普遍可获得的对象？还存在另一些在波金霍尔看来可由理性领域提供最可爱解释的现象？特别是，波金霍尔指出了那些具有突发的和深刻的数学见解的情形（如由庞加莱和拉马努金所陈述的那些情形）。在这些情形里，人类的推理能力已经远远超出了我们可以期待用进化上的优势来解释，或用数学的那种对于实证科学的“不可理喻的有效性”来解释的狭隘的数学范围。就拿最后这一点来说，波金霍尔认为，将数学看作实在的一个维度，使我们能够理解它在发现物理实在方面令人吃惊的有效性，因为人们预期数学领域“与实在的其他维度之间存在微妙的联系”。但是，存在两个对象系统本身并不足以解释为什么一个系统里的事实一定与发现有关另一个系统的事实存在关联：我家的厨房是一个存在，太阳系也是一个存在，但是如果事实证明，我可以从我的厨房的大小可靠地推断出有关太阳系的令人惊叹的事实，我们或许还是会认为这种推理的有效性不可理喻。关于为什么数学领域的存在性应当从其有效性得到合理解释这一点，我们还需要更多的说明。

有很多人是带着怀疑的眼光来看待形而上学的猜想的。他们的理由是，什么样的证据赞成或反对一个特定的形而上学假设常常并不清楚。波金霍尔的这一章的重要优点是，它规定了这次辩论中对手所要求的明晰而准确的术语：为那些不使用理性领域假设的问题中的现象找到一种更好的解释。对于那些（包括我自己）认为可以找到其他解释的人来说，波金霍尔的论文提出了一个严峻的挑战。

答复玛丽·伦

约翰·波金霍尔

我很感谢玛丽·伦，她对我所探求的维护数学实在的观点进行了富于教益的分析。两个对象的存在本身并不意味着相互联系，在这一点上她当然是正确的，但数学与物理之间的关系是一种深刻的，而且显然是内在的联系（不像她的桌子和太阳系之间的联系）。但我坚持认为，这种分析鼓励了认为任何东西都是一个更大的实在的一部分的思想。