数学的理解

彼得·利普顿

我虽然不是数学哲学家，但我对科学解释的本质感兴趣。我希望我们可以对数学理解的本质进行讨论。对于这个问题，专题讨论会上的其他与会者都是专家。如果我们能够将物理解释与数学解释进行比较，在我看来是会有启发的。下面的发言希望能起到抛砖引玉的作用。

我自己在数学解释方面的工作部分是基于以下两个简单而一般方面的考虑。首先，我认为在了解所发生的现象和理解为什么会发生这些现象之间存在鸿沟。从理解的角度看，了解通常只是必要条件而非充分条件。因此，正如大多数人都知道的，月亮总是同一侧朝向地球，但很少有人明白为什么会这样。（一旦你明白了要形成这种现象需要月亮环绕地球的公转周期完全等同于其自转周期，这个问题就迎刃而解了。）我们可以认为，有关解释的哲学的大部分工作都是想回答这样一个问题：如何在知其然与知其所以然之间搭建一座桥梁？实际上，这种鸿沟的存在为那些在如何建立联系问题上自以为充分的答案设置了一道有用的约束，因为它表明，任何将理解上必要的单纯知识当作充分条件加以接受的模式都是不充分的。因此，亨普尔的想法——一个好的解释应能够通过提供相信该现象的理由来提供对该现象的理解——可以预料是不充分的，因为在好些情况下，相信的理由往往只需要简单地知道现象确实发生了即可。

促使我对鸿沟问题的可接受的答案设置另一个约束的第二个考虑因素是解释上的“为什么—回溯（why—regress）”特征。我们中很多人在小时候就发觉这样一种提问法常常令父母惊愕：对一个问题我们得到了一个可接受的答案，但我们会穷追不舍地就这个答案本身继续追问为什么。在我看来，这种回溯的寓意不是说解释是不可能的，而是说，在某种意义上，我们可以用我们不理解的东西来进行解释。B可以解释A，从而为在此情形下为什么会是A提供了一种理解，尽管B本身并没有得到解释。因此，我的学生的计算机崩溃了这一事实可以解释她的论文为什么迟交，至于计算机崩溃的原因没人知道。这充分表明，理解不是要在解释与被解释的现象之间传递某种“超级知识”。理解似乎并不是某种特殊的认知状态，而是提供某种额外的信息，这些信息本身不需要有特殊的认知状态。

这两点考虑——了解与理解之间的差距和解释上的“为什么—回溯”特征——在物理解释的语境下是没有争议的，但在数学上也许就不是这样。因此，我们似乎可以否认知道某些数学陈述为真与知其为什么为真之间有任何区别。在这里，解释性证明与非解释性证明之间好像存在亲缘关系。在数学情形下，我们也不需要我从“为什么—回溯”得出的寓意，即解释不需要特殊的认知状态。因此，人们可以认为，对数学的理解正是源自数学公理这种特定的认知状态，这些公理就是回溯的终止点。数学上的解释之所以不同于物理上的解释，差别是不是就在于了解与理解之间的差距和解释上的回溯性？

物理解释的两种最流行的模式是因果模型和必然模型。根据前者，解释就是提供关于现象的因果链的信息；而根据后者，现象在某种意义上构成必要条件——它必然发生。这两个模型对于数学解释来说似乎明显不恰当。如果我们选择因果模型，那么似乎就不存在数学解释，因为数学事实，不论它是怎么构成的，似乎都谈不上因果关系，因此没有任何证明是自明的。而如果我们选择必然模型，那么又好像每一个证明都是解释性的，这样，了解和理解之间的差异看起来似乎消失了。就算我们知道某个数学真理不是依据证明而是建立在专家证言的基础上，我们仍知道我们被告知的东西是必然的，因为我们事先就知道，任何数学陈述，如果它为真，那么它一定是真的。

幸运的是，我们还有其他各种解释模型可供选择。明显可得的有某种版本的统一模型。按照这种模型，当我们看明白一个问题是如何被嵌入一个统一的模式时，我们便理解了其所以然。这种模糊的想法可以用不同的方式来阐述，但至少它似乎给出了将解释性证明与非解释性证明区别开来的一种办法或标准。然而，统一模型可能忽略了一些理解数学的方法。通过归谬法来证明就是一种不错的检验方法。对于非解释性证明用这种方法是很自然的，但目前尚不清楚，这些证据不能提供对问题的理解（如果证据确实无效）是不是因为它们不具有统一性。这样说可能更自然些：它们的失败正在于它们没能证明“构成”定理为真的东西，而这种“构造”正是物理因果关系唯一的确定形式。因此，对数学的理解，也许除了统一的方法论之外，我们还应阐明一种非因果决定论的概念。

到目前为止我能想到的这些评论，主要是数学上针对数学现象的解释，但我还想谈谈如何改进我们对物理现象的数学解释。例如，假设父母注意到，当孩子的行为非常糟糕时，惩罚通常会带来行为的改善，而当孩子的表现非常出色并得到奖励时，随后的行为往往会变得不尽如人意。由此他们推断，惩罚要比奖励更有效。这一推断恐怕不是非常在理，因为对于这些行为模式，我们可以通过观察惩罚和奖励是否完全没有效果来检验，用简单地回归到均值的方法就可以对这些模式进行解释。这里我们似乎喜欢用数学统计结果来对物理现象作出解释。

下面是另一个例子。你向空中扔出一把上面写着很多“英语”的小木条。小木条一边下落一边翻转、旋转。现在，在最低一根木条接触到地面之前你用相机抓拍一张所有木条在空中分布的画面。你会发现，接近水平姿态的木条明显要多于接近垂直姿态的木条。这是为什么呢？这是因为木条呈近水平态的方式要比呈近垂直态的方式多得多这一数学事实。（试想一下，一根中心固定的木条，垂直状态只有两种，而水平状态则可以有无限多种，对于接近水平或垂直的状态，这种不对称性同样存在。）

这些物理现象的数学解释提出了一些有趣的问题。它们是真正的非因果性解释吗？这个数学事实真的算是一种解释吗？关于数学现象的数学解释，我们能从这些物理现象的表观的数学解释里得到些什么呢？

此前我写过（直到最近我才想好）理解恰是解释的另一面：“理解”正是对我们从解释中所得到的东西的一种指称。不过现在，我开始认为这是一种过于严格的理解概念，虽然解释是通向理解的一条途径，但它不是唯一的一条。这一思想的较激进的表述形式是：存在很多种解释所不能提供的理解形式。而不那么激进的形式则是，解释所能提供的理解形式通过其他途径也可以获得。虽然我不想将理解的概念扩展到那么远，以至于使它失去了任何有趣的内容，但这两种形式都让我感兴趣。因此，用科学理论进行工作可以提供一种知其然的知识，它无异于一种理解现象的形式，但这种形式有别于解释所提供的理解。至于不那么激进的思想，就像解释的大多数有益于认知的特性那样，都可以用其他方式取得。

暂且以确定论的思想为例。这种思想认为，解释可以通过证明某种现象必然发生这一点来提供理解。有时我们可以证明其必然性，以至于无需解释就可以提供这种理解。譬如，我们通过体会伽利略精彩的思想实验就可以理解为什么重力加速度与质量无关。假设重的物体加速得要比轻的物体快，那么如果用绳子将重物与轻物绑在一起，从两个物体的质量关系上考虑，轻的物体就会使重的物体的加速度变慢，因此两个物体一起下落的加速度应该小于重的物体单独下落时的加速度。但如果将绑在一起的两个物体看成一个物体，其质量显然要比单独一个物体的质量大，因此两个物体一起下落应比单独一个物体下落的加速度大。但是系统的加速度不可能同时既快又慢，所以物体下落的加速度必定与其质量无关。

由于采用的是归谬法，因此这个思想实验本身似乎并不是一个解释，它也没有提供一条通过对思想实验的解释来增进理解的道路。通过对伽利略论证的分析，我理解了为什么加速度必定与质量无关，但如果你要我解释一下为什么加速度与质量无关，我做不到。我能做的就是给你这个思想实验让你自己去分析。对于物理现象，如果我们能够不经解释就获得理解，那么对于数学的理解是不是也可以这样呢？这种推理似乎有一定道理，虽然伽利略的例子在此并不适用，因为尽管在物理的情形下我们能体会到从知其然到知其所以然的过程，但正如我在前面提到的，这个过程对于纯数学的情形并不适用，因为在这里必然性已经是单纯知识的一部分。

虽然我提出的关于数学理解的诸多问题没有时间在此细谈，而且也超出了这次研讨会的议题范围，但我想另外再提两点来结束我的发言。这两点都来自我自己的工作，它们可能会在物理解释与数学解释的比较方面提供某些启发。首先是解释的相关性问题。有一点我们都耳熟能详且很在理，那就是一个好的解释不是由现象单独能够确定的，它还取决于问这个问题的人的兴趣和知识背景。例如，一个好的答案通常需要给出询问者所不知道的某些知识。

在有关物理现象解释的因果模型的语境下，由于因果链的疏密程度的原因，显然需要考虑与兴趣有关的因素。在每一种现象的背后有无数的原因，但不是所有这些原因都是解释性的。因此，虽然电脑死机能够解释我的学生的论文为什么交迟了，但宇宙大爆炸就不是这样，尽管它是每个事件的因果链的一部分。此外，同样的原因对这个人可能是解释性的，但对另一个人则并非如此。对此我们可以从文献里举个例子。假设麻痹症的唯一原因是未治愈的梅毒，但大多数带有未治愈梅毒的人都没染上麻痹症。一个人可能会发现这个解释是成立的，因为他被告知史密斯患有麻痹症是因为他带有未治愈的梅毒，而另一个人则可能完全拒绝这种解释。

与兴趣有关的某些方面可以通过对“为什么”一类问题给予更多的结构来很自然地分析。对于许多“为什么”类的问题不宜采取简单的“为什么P？”的形式，而是采取“为什么P而不是Q？”这样的有对比的形式。作为陪衬的Q的选择造成差异，这样不同兴趣的人就可以选择不同的Q。因此，如果实际问题是为什么是史密斯而不是琼斯患上麻痹症，这里琼斯并没有染上梅毒，那么援引史密斯的梅毒症就会是解释性的；但如果问题是为什么是史密斯而不是多伊患上麻痹症，这里多伊和史密斯一样也患有梅毒，那么上述答案就不具有解释性了。（因为你的对话者会反驳：“但多伊也患有梅毒。”）在我看来，大多这类对比性问题会产生一种三角关系，它标志着解释性与非解释性原因之间的区别。粗略地说，在这些情形下，解释所需要的是P的使P与Q之间“产生差异”的原因是什么。P的这个原因在Q上看不到。史密斯的梅毒解释了为什么是他而不是琼斯得了麻痹症，但它不能解释为什么是他而不是多伊得了麻痹症。因为琼斯没患梅毒而多伊与史密斯一样患有梅毒。这套句型是否可以移植到数学解释上来呢？我们可以推测说数学上也有各种形式的兴趣相关性。但是否有场合用于对比分析呢？如果是的话，我们又如何选择帮助区分解释性和非解释性的信息的对比对象呢？

最后，我还要提一下我对“最佳解释推理”这个问题的兴趣。有人认为科学家（和普通民众）似乎经常用解释性思考来引导推断。他们之所以推断认为某个假设是正确的，是因为尽管在逻辑上它不是唯一与证据一致的假设，但如果它是对的，那么它便能为此证据提供最佳解释。如果我们想表达这种思想，那么我们需要做的事情之一就是对“最佳解释推理”这句口号里何谓“最佳”做深入研究。例如，我们是否应该将“最佳”解释理解为最可能的解释？或者说应该把它理解为“最可爱”的解释，就是说，如果它正确的话，那么它便提供了最大程度的理解？

最可能的解释似乎是一个显而易见的选择，因为我们都希望我们推断出的结论具有较高的可能性。但我认为，在这种情况下，这是个错误的选择，因为它可能使得解释者的想法几乎是空洞的，我们可以将它还原成这样一种说法：科学家推断他们所采取的是最可能的假设。最佳解释推理这一想法的最初的吸引力是它会给科学家们的推理实践带来光明，但要说科学家们喜欢采取最可能的假设那是失之偏颇了。如果我们选择“最可爱的”解释，那么我们会得到一种更有趣的推理。我们远不能简单地说科学家都倾向于认为那种“如果它正确，它就能提供最大程度的理解”的解释一定也最有可能是正确的解释，甚至可能是近似正确的。那些发现这种思想脉络很有吸引力的人将面临很艰巨的任务，因为他们现在需要说清楚是什么让一种可能的解释比另一种更可爱。

在数学推理中，最佳解释推理这个概念行得通吗？这似乎不太可能，因为最佳解释推理意味着对非证明性推理给予不完整的解释，而在数学领域，推理至少是演绎的。当你有了一个证明后，谁还需要求助于推理这种软弱无力的概念来得到最佳解释？但是如果我们从发现而非辩护的语境来看问题，事情就不同了。尽管数学研究的启发绝非一种证明性过程，但像最佳解释推理这样的类似概念有可能是适用的。如果我们对数学理解的本质认识得更清楚一点，这个问题我们也许能够回答。