对彼得·利普顿的“数学的理解”的补遗

斯图尔特·夏皮罗

在冈道尔夫堡研讨会上，我们对彼得·利普顿的文章《数学的理解》进行了极为富有成果的讨论。这种讨论是通过提交到研讨会的论文，并结合他和与会者的其他工作来进行的。他敏锐的洞察力和机智，连同他的谦虚和友善的风格，使得讨论变得特别有趣和令人信服。利普顿令人震惊和悲伤的突然谢世，使这一章无法做任何更新或修订。我希望本文为此能够提供一些背景性的工作，以便能够在更广泛的背景下来评价利普顿的贡献。

利普顿是一位科学哲学家，对解释和理解的概念特别有兴趣。他的书《最佳解释推理》（Lipton，1991）现在已快要成为经典——已成为对这一主题感兴趣的任何人的必读书。该书的第二版出版于2004年。这本书——或者说他的大部分工作——的重点，是关于科学的解释和理解。他为研讨会写的这篇文章则是以初步的、有计划的方式，将这些概念和想法扩展到数学上。

正如利普顿在本章中谈到的，知道一个给定的命题为真（或如他所说，知道一个给定的现象发生）与理解为什么该命题为真（或理解为什么会出现这一现象）之间存在清晰、直观的区别。假设在我们问“为什么”之前我们已经知道了“这件事”，那么解释就是“为什么”这类问题的答案。亚里士多德（《物理学》，第3章）写道：“人们不认为他们知道某件事情，除非他们已经掌握了其‘为什么’。”这段论述突出了解释的重要性。亚里士多德指出，我们往往不仅仅满足于知道某些事情是真实的，我们希望对它为什么是真实的有一个解释。

有关科学解释的文献可谓源远流长，至少可以追溯到60年前（例如，见Salmon（1990：2006），这本著作涵盖了前40年的情形。更简洁的处理，见Woodward（2009））。主要富有竞争性的模型有三种，它们分别将解释与科学定律（普适的或统计的）、因果关系和统一性联系在一起。

概言之，就第一种模型而言，所谓一个事件的科学解释是指从科学定律的角度，加上一些初始条件，来对事件的描述进行推理。从这个意义上说，解释一个事件某种意义上就是要证明这个事件的发生是必然的——按照自然法则，它必然发生。而对于第二种模型来说，解释一个事件就是要给出其因果关系的历史链条。利普顿（1991：2004）偏向于这种解释模型，并且从广泛的意义上来理解所构建的因果关系，但他对其他选项持开放态度。第三种模型将科学解释与自然的统一性联系起来。按照这种图像，适当的解释服务于将各种表观上不同的现象统一起来这一目的。解释应能够证明它们是如何从一个共同的来源导出的。

当涉及数学解释时，问题可以分为两类。一类是数学内部的解释。知道某个数学命题为真与理解为什么它为真之间的直观区别似乎在于该命题在数学内部是如何起作用的，这与科学中的情形一样。某些证明在一些人看来是解释性的，但对于另一些人则不然。在这里，正如在自然科学和在日常生活中所表现的一样，亚里士多德的观点是站得住脚的。

另一类问题涉及这样一种情形：数学事实被援引用作对非数学的事件进行解释。利普顿举了两个例子，都是统计上的。正如他在其他地方所强调的，我们总是被逼着要说清楚待解释的情形究竟是什么，或者如他所说的那样，用于对比的类是什么。我们总想解释为什么一个给定的模式往往会出现：譬如为什么扔出去的木条在下落过程中倾向于水平而不是竖直下落，为什么孩子在受到奖励和处罚后往往会有某种表现，等等。对此情形，他的观点是，模式的解释往往涉及数学定理，如回归到均值（譬如对木条下落的情形我们有测量理论给出的统计事实）；或在其他情况下运用中心极限定理——现代统计理论的主要内容。在每一种情况下，定理均表明，在有关概率的背景假设下，问题中的模式是可能的。

如果待解释的是单个事件，那么情况就要复杂一些。为什么这次大多数木条棒呈水平落向地面？至少在原则上，我们可以用木条下落的初始速度、当时的空气阻力等因素来解释，而不必借助于利普顿引用的几何事实或有关概率的任何考虑。但更务实、更富于启发的做法是注意到我们身边就有现成的例子，根据有关概率和数学的一些基本假设，这种模式就是容易发生。

对于数学事实被引用来说明非数学事件的情形，我们还可以举出其他非统计方面的例子。这里就有一个不费脑筋的例子：假设我们给一个孩子一堆矩形积木块，所有的积木彼此全同，然后要求她用积木搭出一个矩形方格。她尝试了多次之后还是失败了，并开始疑惑为什么她不能完成这个任务。解释是：给她的积木数量是奇数。还有个难一点的例子。我们都知道雨水总是呈雨滴的形式下落，这是为什么呢？这里的解释就不很直接了，涉及表面张力的概念，以及在表面积不变的条件下球形具有最大体积的数学事实。

但将前两种模式运用到数学上似乎并不合适。我们当然可以谈数学“法则”，如交换律和余弦定理，但这么说可能仅仅是一种说话方式。在科学和日常会话中，对于法则（如万有引力定律）和纯属偶然的概括（譬如在本书出版之前所有的美国总统都是男性）通常是有明确区分的。但这种区分对于数学似乎并不有效，因为，正如利普顿指出的，每一条数学真理都是必然的。更重要的是，数学“法则”似乎并不起着区分解释性证明和非解释性证明的作用。一般认为，数学中的每一项陈述都由“法则”推导而来。数学“法则”的概念在引用数学事实解释物理现象时似乎也不发挥太大作用。同样，因果关系的概念在数学也难有用武之地。说一个数学命题是另一个数学命题或非数学命题的“原因”是没有意义的。

因此，在科学解释的标准模型中，只有统一模型似乎适用于数学。该模型的主要倡导者之一菲利普·基奇（例如，Kitcher，1989）明确注意到这一点。马克·施泰纳（1978，1980）写过大量关于这两类数学解释的文章，并发展了一个用于统一模型模糊边界的解释（但非常不同于基奇的解释）。这在研讨会上已进行了广泛讨论。

如前所述，在他的《最佳解释推理》一书里，利普顿偏好解释的因果关系模型。在研讨会上，他初步建议，因果关系可能只是依赖关系家族中的一员，解释的概念可能与依赖关系有广义的关联。这一建议有可能将数学带入层叠。这个概念是指数学命题是以某种客观的相互依赖关系存在的。如果是这样的话，那么我们可以认为，对一个数学命题的解释是由它所依赖的那些命题的证明构成的。一个解释性证明也许就是揭示证明的前提与结论之间依赖关系的陈述，而一个非解释性的证明则不需要通过对命题的依赖关系就可以显示其结论为真。

我们不妨走得更远点。假设我们对某些物理事件的理解在某种程度上依赖于数学命题，譬如上述例子中就涉及统计学的模式性质（平铺的可能性）和定理（有关素数的定理），雨滴则涉及几何定理。如果这些关系是真正的依赖关系，那么我们就可以将物理现象的数学解释也带进层叠中去。

吉迪恩·罗森在研讨会上的文章里也援引了命题之间的客观依赖性关系，特别是包括不同领域（包括数学）命题之间的相互依赖性关系，虽然罗森的旨趣是在形而上学方面而非解释的理解方面。罗森曾和利普顿以及我们中的其他人就某些哲学问题的各种依赖性关系的性质、其客观性及其相关的其他问题有过广泛的交流。

罗森提醒我们，著名的逻辑学家和语言哲学家格特勒布·弗雷格（Gottlob Frege）也援引过数学上的客观依赖性关系（例如，Frege，1884：1960）。弗雷格经常用认识论方面的术语来指称这种关系，譬如说“辩护（justification）”“证明（proof）”，有时还用命题的“基础（ground）”这样的字眼，但他的修辞似乎不在于目前关注的焦点上。他将依赖性关系看成是客观的：

……这里我们关心的不是（数的运算法则）被发现的方式，而是它们的证明所赖以成立的基础，用莱布尼茨的话来说就是，“这里的问题不是要叙述我们的发现的一段历史，历史的东西在不同的人看来是不同的；而是在谈各种真理之间的联系和自然秩序，这对所有人始终都是相同的。”

（Frege（1884:1960，§17）；

莱布尼茨，《人类理智新论》，Ⅳ，§9）

弗雷格的依赖性关系也是不对称的：不主张命题基础本身；如果一个命题是另一个命题成立的基础，那么第二个命题就不是第一个命题成立的基础。他试图证明算术和分析是逻辑的一部分，理由就是这些学科的基本命题依赖于一般的逻辑规律和定义。

如果我们认为弗雷格一直在寻找的就是算术的和分析的命题的合理解释，那么我们可以把弗雷格要实现的主张放在利普顿和罗森建议的模式中来考察。弗雷格对知道某个命题为真这一点并不满意。怀疑论和虚构主义暂且不论（见玛丽·伦写的那一章），毫无疑问，我们都知道这些命题。弗雷格试图弄明白的是这些命题为什么为真。而这个问题的回答有赖于算术和分析命题所赖以成立的命题。他的建议是，他提供的有关算术和分析的基本原理的推导是解释性的证明。

正像书的标题《最佳解释推理》所指明的，利普顿的思想所特别关注的一个问题是最佳解释推理。这个思想是，科学家之所以往往会推断出一个给定的命题是真的，或可能是真的，只是因为它对于某个现象的解释是最佳的，或像利普顿所说的那样，是“最可爱的”。他用数学并不采用最佳解释推理的建议来结束他的这一章：

在数学推理中，最佳解释推理这个概念行得通吗？这似乎不太可能，因为最佳解释推理意味着对非证明性推理给予不完整的解释。而在数学领域，推理至少是演绎的。当你有了一个证明后，谁还需要求助于推理这种软弱无力的概念来得到最佳解释？（第54页）

随后，他简要地建议我们将思考从辩护的语境转移到发现的语境。

然而，就前述所勾勒的广泛的弗雷格图像而言，为了发现最佳解释推理在数学中的作用，我们可能不必离开辩护的语境。利普顿—罗森—弗雷格的意思是，一些数学命题建立在或依赖于其他一些数学命题。正如弗雷格指出的，回溯不可能永远持续下去。有些命题本身就是数学大厦的基础，不可能再用其他东西来解释，它们是公理。在文章的前半部分，利普顿表明，当涉及专有的公理时，不存在合法的“为什么问题”，或者至少是不存在合法的“为什么问题”的答案：“因此，人们可以认为，对数学的理解正是源自数学公理这种特定的认知状态，这些公理就是回溯的终止点。”

但是，公理是如何被知晓的呢？传统的观点是，公理是“自明”的。对公理的全面、完整的理解立即引起对它的辩护的问题。不过在我看来，当涉及现代数学时，这种传统的基础主义观点是无法真正站得住脚的。作为公理而呈现的一些命题并不显然，夸张点说，要全面和完整地理解它们，就要证明它们（见Shapiro，2009）。或许我们可以说，至少有些公理之所以被选择出来，并不是因为它们具有任何内在的或自明的证据，而是因为它们可以带来好的，或就像利普顿说的那样，可爱的对定理的解释。这是一种整体论的图像。在数学的良好系统化分支里，定理被证明依赖于公理。用亚里士多德的术语来说就是，定理的“为什么”最终取决于公理。当我们转到公理上来，并问它们为什么为真时，或至少是问我们怎么知道就是它们时，答案是，它们提供了对定理的最佳解释。