数学中的创造和发现

玛丽·伦

数学哲学的一个重要作用就是对数学领域的现象做出解释，就是说，要对研究数学是一种什么样的感觉作出说明。这种现象的一个方面是数学家们常常认为他们是在发现数学实在的性质，而不是创造或发明这种性质。鉴于数学实践的这方面原因，一种自然的假设是：数学家是在研究数学实在，这种实在既独立于人类的创造性的决定，也独立于我们关于实在的信念。这一点与物理学家研究物理实在有异曲同工之妙，物理实在的本性也不依赖于我们。如果我们接受这个假设和基于它的类比，那么问题就来了：“这个数学实在的本性是什么？我们是如何可能获得有关它的知识的？”

认真对待与物理科学的类比带来这样一种暗示：数学家研究数学对象，探究的是数、集合等的性质，就如同物理学家研究原子的性质一样。但是，如果存在一种独立存在的、非物质对象的、远离并高于我们自身所居住的物理时空领域的数学领域，那么数学知识如何可能的问题就变得迫切了。我们关于物理领域的知识源于我们作为肉身的生命与物理对象之间的互动，但数学知识的获取能用这种类比来理解吗？数学家G.H.哈代将数学发现描述为对数学实在的观察：

我相信，数学实在在我们之外，我们的作用就是去发现它或观察它。我们所证明的，以及我们大言不惭地描述为我们所“创造”的定理，其实只是我们的观察记录。

哈代（Hardy，1940）

但这种将数学发现看成是对数学领域的观察的解释站得住脚吗？

当然，柏拉图认为，数学领域的知识可以被解释为直接“观察”的结果。根据柏拉图的观点，数学对象属于永恒的形式领域，它由不朽的、无形的灵魂直接感知。这种感知在作为血肉之躯的人“出生”之前就有了。作为灵魂的物质化身的我们所具有的数学知识是我们通过对这种形式的直接经验的回忆而获得的（柏拉图，《美诺篇》，81 d～86 c）。我们通过数学探究所获得的定理使我们能够记得我们先前对该数学领域直接观察所获得的结果。然而，很多人会发现，关于数学实在知识的这种解释很难让人接受，它需要某些关于心身的强有力但含潜在问题的假设作为前提。也许在最佳解释推理的基础上可以对类似柏拉图上述图像的某种观点进行辩护，因为它尽管听起来可能令人难以置信，但最终必定被接受为说明数学发现这一现象的唯一好的办法。然而，在选择这种解决方案之前，有必要对所提出问题中的现象究竟指什么进行研究，以便考虑哪一种解释是可行的。

究竟是什么使数学家感到像个发现者？哈代所说的发现差不多是关于既定数学理论中定理的发现。但数学家当然也会创建/发现新的数学理论，用以证明定理。因此我们必须考虑，在这些发现中，是否有一种可以被称作是对独立于心灵的、存在于非物理时空的数学对象领域的本性的发现。

有人可能会认为，全新理论的发现为这种数学领域的存在提供了最佳证据。毕竟，某种数学理论的公理或基本前提一旦确立下来，我们对数学定理的发现便是一种由这些前提所导致的发现，或者至少是乍一看，这种“如果……会怎样”（进而“如果数学公理为真，那么什么东西必定为真”）的探究事实上并不需要数学公理以某个基本的数学实在为真为前提（后面还将对此详细讨论）。另一方面，在发展新的数学理论时，数学家往往有意识地为这些理论寻找一些基本假设，并认为这些假设真实描述了数学实在的某个重要方面，而不是以只求结果的态度简单地凭空设立理论假设。数学实践的这方面的现象是不是真的为存在一个独立的数学对象领域提供了有力的证据了呢？

事实上，我认为，从反柏拉图主义者的角度来看，理论发展的现象学实际上要比理论内部数学证明的现象学更容易得到解释。如果对数学发现的现象作出解释需要我们预设一种“实在”来作为我们进行数学判断的基础，那么我认为，这个实在不是数学对象领域，而是逻辑结果所在的客观事实领域。至于我们所关心的数学理论化过程中所呈现的发现意义上的理解问题，有待解释的真正难题（事实上，甚至在我们考虑普通的经验推理时，这个难题已经出现）是维特根斯坦所说的“逻辑必然的硬度”（Wittgenstein，1953：2001，I，§437），而不是数学对象领域的存在性问题。[22]

尽管如此，还是让我们从理论的发展开始讨论。毋庸置疑，一种新数学理论假设的选择通常远不是随意的，事实上，适当的理论假设的发展往往理所当然地被看作一种显著而极不平凡的成就。但这就要求我们将新数学理论的发展看成对独立存在的数学对象领域的描述吗？

我认为，来自数学实践的证据反对这种观点，认为它对我们的理论发展施加了约束。这些证据不要求我们设定一个有待发现的数学对象领域来解释我们的发现。因为在很多时候，数学理论是作为我们给自己设定的问题的解决方案而得到发展的，在这里，问题的约束条件足以缩小可选解的选择范围（甚至常常只有唯一的解）。我们不妨以W.R.哈密顿发现四元数为例。他告诉我们，“（这个想法）在1843年10月16日开始走入我的生活，或像灵光闪现，并充分发展成熟”（引自Tait，1866，第57页）。哈密顿灵感闪现的瞬间（指他发现公式i2=j2=k2=-1，并兴奋地将这个公式刻在布鲁厄姆桥的石墩上）难道是他前世灵魂所思考的真理突然再现？

事实上，正如哈密顿自己描述他15年来孜孜不倦地通过类比二维复数来发展三维四元数的加法和乘法法则时所说的那样，他的瞬间灵感看成在他所设定的问题在给定约束下问题解的突然实现更为恰当。哈密顿的目的是要通过类比二元数组x+iy来为形如x+iy+jz这样的三元数组找到运算法则（其中j是有别于i的-1的平方根）。他给自己设定的约束是满足“等模法则”：两个三元数组乘积的模应等于这两个三元数组各自的模的乘积，即，如果（a+ib+jc）·（x+iy+jz）=u+iv+jw，那么等模法则要求（a2+b2+c2）·（x2+y2+z2）=u2+v2+w2。事实上，如果假定乘法法则仍满足通常的交换律和结合律，这个约束是不可能得到满足的。然而，哈密顿发现，如果我们放弃乘法交换律，那么在某些特定条件下等模法则还是有可能成立的，只要乘积i·j=-j·i且二者均不为零。这一点有效地促使哈密顿沿着这样一条思路去寻找出路：乘积i·j的唯一可能的值是第三个虚数k。

哈密顿最初给自己设定的问题无解，而四元数系的出现成为尽可能多地满足哈密顿原始约束的最佳方式。事实上，如果我们将问题预先设定为将乘法扩展到一个基于-1的n次平方根的数系，同时保留结合律和等模运算法则，那么这个问题有可能只有三个解——即n=0（实数），n=1（复数）和n=3（四元数）——就是一个逻辑结果的问题，而不是一个数学“事实”。

在比哈密顿的这个事例更平淡无奇的数学理论的发展进程中，我们常常发现，公理化受到这样一种约束的制约：需要提出一套满足业已熟悉的数系或经验系统的基本要求的假设系统。例如，欧几里得提出的几何公理就以满足物理空间中有关点和直线的真理为前提，并通过对如下问题的检验而被“发现”：这些问题被假定用来证明关于点、线和几何形状的性质为真的许多其他结果。除了物理解释，有关数学上熟悉的对象的公理的发展也是普遍的，例如，戴德金—皮亚诺公理的发展过程就是如此。这里，公理化受到要求被公理化的结构是一个ω序列（ω—sequence）的约束（详见本书第162～165页）。事实上，数学上熟悉的对象的公理化往往最初是作为定理出现的，例如，有关我自己偏爱的那种“数学实在”——C*代数——的公理最初就是作为盖尔范德—奈马克（Gelfand—Naimark）定理的一部分出现的，它表明，这些公理定义在希尔伯特空间上有界算子代数B（H）的同构子代数上，其结构已经独立于数学的兴趣。

在所有这些情形里，我们受到使系统被构建的那种东西的约束。而这种约束显然会导致这样一种感觉：在构建形式理论时，我们是“做对了”。在这种情况下，公理会让我们感觉到是“真确的”，而不仅仅是方便的或有趣的，而且即使我们不考虑使公理为真的那些对象的存在性，这种真确性的感觉也是可以理解的。在这些情形下，怎样才算做对一件事，这要取决于我们为自己设立的约束（要求我们给出一种满足不同假设的结构）。我们不必（尽管我们可以这么做）将这些约束看成是由那些被理论断定为真的独立对象所施加。相反，作为一系列最初假设或约束的结果，新的公理化能够以在已确立的理论的语境下定理所起作用的方式来产生。在每一种情形下，真正重要的数学发现似乎都是作为这样一种假设的结果的发现。

让我们回到那种在不接受公认假设（如公理）的背景下所发生的数学理论化的情形。在范式情形下，这样的推理是演绎性的，相当于用公理来证明定理，尽管在此情形下也有运用溯因推理的余地：数学家会这么来推理，假使他们的假设成立，那么这样或那样的结果很可能就是真实的。就眼下由公理推得的演绎证明的情形而言，我们能够考虑从下述意义上可以得出什么样的结论：数学家常常认为他们从事的是发现而不是创造数学结果的活动。那些从事定理证明的数学家真的发现了由他们的假设所导致的已经确定的结果了吗？或者是否可能存在这样的情形，尽管给人很强的发现感，但他们实际从事的是在公理与某种意义上尚不“存在”的定理之间创造某种联系？如果数学家从事的是发现而不是创造，那么这对于我们关于数学的本质的观点会有什么样的影响呢？特别是，这种发现是一种对独立于心灵的数学对象王国的发现吗？另一方面，如果我们选择将从公理出发的演绎证明看作一种创造而不是发现，那么这种观点能够与数学证明的客观性以及数学推理的适用性的观点不相冲突吗？

一种自然的思路是：是的，演绎数学推理是客观的，它引导我们去发现我们的数学假设的逻辑结果。但是，这种客观性与是否存在一个独立的数学对象王国无关，它完全是逻辑客观性的结果。毕竟，在数学假设A1，…，An基础上进行的得到定理P的推理，我们不是在证明P为真，而是说，如果A1，…，An，那么P。这种条件断言并未断定数学对象存在。其真实性，我们可以假设，完全取决于下述事实，即P是A1，…，An的逻辑结果。根据这种认识，关于从公理出发的数学证明的被感知的客观性没有什么特别的地方，它不过是一般演绎推理的客观性的一种特殊情形，一种完全取决于“从……得出……”关系的客观性的情形。此外，正如我们所看到的那样，那种导致发展出新的数学理论的推理也可作类似的理解：虽然这种推理不是从公理出发，但它仍然受到建立在预先形成的数学假设的结果和/或必要条件所确立的逻辑约束的支配。

然而，这种看似很满意的立场是有问题的。一旦我们考虑从A1，…，An得到P的断言在逻辑上到底是什么意思时，这个问题便产生了。我们当然不是要从中得知，采用一套公认的推理法则可以从A1，…，An推得P。首先，我们知道，这种分析并不能把握我们通常的逻辑结果的概念：理解二阶皮亚诺算术公理。哥德尔第一不完备性定理告诉我们，对任何一套我们能够制定出的（标准的）推理法则，存在一个（二阶）皮亚诺算术语言的句子G，这个句子逻辑上可从这些公理推得，但它不可用我们所选择的法则推得。但即使不考虑哥德尔定理带来的麻烦，我们也应该在对那种关于其逻辑结论的事实依赖于一套选定的推理法则的逻辑结果进行分析时保持警惕。毕竟，使得一套推理法则成为好的法则的正是（据推测）因为这些法则尊重逻辑结果的事实，而不是相反。

所有这些简单说来就是：有关基于数学推理客观性的逻辑结果的概念都是关于语义结果的概念，而非句法结果的概念。在语义的相关意义上，P是A1，…，An的逻辑结果当且仅当下述这一点在逻辑上是不可能的：当A1，…，An全为真时P为假。但这种分析只是用另一个逻辑概念（逻辑可能性）来替换一个未定义的逻辑概念（逻辑结果）。如果我们的问题是“什么东西基于逻辑结果的客观性”，那么肯定会在逻辑可能性上出现一个类似的问题：对于一个句子的逻辑可能性或不可能性归结为什么的问题，我们能说什么？

这里正是我们关于数学推理客观性的令人满意的观点的困难所在。可以说，对于逻辑可能性，可用的最佳分析是数学分析：句子P在逻辑上是可能的，如果存在一组理论模型，在其中这句话被解释为一个真理。在这种分析中，P是A1，…，An的逻辑结果当且仅当在所有使A1，…，An为真的模型中，P也为真。如果这种分析是正确的，那么与逻辑结果有关的客观事实的存在性便归结为数学对象（集合理论模型）的存在性。因此，数学发现的客观性终归依赖于数学对象的客观性，我们被带回到如何解释我们关于这些事情的知识的困难上来。[23]

对于逻辑可能性是否存在其他可用的分析方法呢？人们在对待逻辑上可能的具体世界时可能会试图避开抽象的数学对象。但是，即使我们能够以尊重我们对逻辑可能性的直觉这样一种方式来搞懂逻辑上可能的世界里的概念，但如果关于这些世界的事实是建立在数学推理客观性的基础上，那么我们在说明如何能够具有有关“由……得到……”关系的知识方面仍会有困难，因为这个世界被假设为在时空上是与我们自己的世界分离的。由于我们似乎知道关于“由……得到……”的某些事实，因此我们应该对那些基于我们永远无法掌握事实而得到的“由……得到……”的关系保持警觉。

这种担忧可能会导致我们放弃所有试图将逻辑可能性还原到更本质东西的努力。事实上，由格奥尔格·克赖泽尔（Kreisel，1967）、哈特利·菲尔德（Field，1984：1989，1991）的讨论可知，我们应当将逻辑可能性看作一种由相关的形式演绎概念和模型理论的一致性导出的独特概念。我们可以通过推导和模型来理解逻辑可能性：我们知道，如果（在一个公认的推理系统内）我们从句子S推出一个矛盾，那么S就不是逻辑上可能的；而且，如果（在公认的集合论内）我们可以找到一个模型，其中句子S被解释为一个真理，那么S在逻辑上就是可能的。但是（按克赖泽尔/菲尔德的观点），逻辑可能性是一种由相关的演绎概念和模型理论概念导出的独特概念，因此不应被认为可以还原到这二者之一。相反，菲尔德建议，我们应当将“……在逻辑上是可能的”看成是一元逻辑算符，它和一元逻辑算符“……则不是这种情形”一样不需要“还原”。菲尔德认为，这二者都应从其推理作用的规定得到阐释，而不是通过还原变成更原始的东西。但请注意，这个解释承认，不可约模态事实的存在奠定了数学推理的客观性。尽管这个解释避开了承认存在抽象的数学对象，但它仍然要求我们接受一种支撑起数学发现的实在（虽然是模态事实而不是抽象的数学对象）。对此我们需要再次问一声：是什么允许我们人类能够具有关于这些模态事实的知识？

但对于数学发现的现象学或许还有另一种回应：也许我们可以接受这样一种感觉：我们对逻辑结果的判断具有独立于人的决定的客观基础，但同时认为这种客观性仍是一种假象。这是维特根斯坦在以其约定论立场处理数学时所采取的一种做法。按照维特根斯坦的观点，不管表观上如何呈现，“数学家是发明家而不是发现者”（Wittgenstein，1956：1978，I，第167页）。在证明数学定理的过程中，我们不是去发现数学假设的结果，而是决定是否要将这个被证明了的结论作为新的理论结果接受下来。证明不是要对数学概念的内容进行梳理，

证明是要改变我们的语言的语法，改变我们的观念。它造成新的联系，并产生描述这些联系的概念。（它不是要确立它们的存在，在它没造成新的联系之前，这些联系本不存在）。

（Wittgenstein，1956：1978，Ⅲ，第31页）

也许，不管表观上如何呈现，数学里就不存在有关逻辑结果的客观事实，有的只是人所决定的、总能以不同方式呈献的结果？

如果各个数学理论彼此完全独立，从而一个理论做出的“决定”不会影响到另一个理论的决定，那么这种观点也许能够站得住脚。事实上，维特根斯坦自己就认为，跨理论联系本身就有一个如何决定的问题。例如，将自然数嵌入整数等就有一个选择问题（例如，见Waismann，1979，第34～36页）。但在这里，正如弗里德里希·魏斯曼在他放弃自己的维特根斯坦约定论立场时所指出的那样（见他1982年的论文“发现、创造、发明”），数学发现的现象学强烈反对约定论立场。有太多的例子表明，用某个数学分支下已被证明了的定理可以证明（甚至阐释）其他数学分支所得出的结论。魏斯曼给出了一个有关实数结果在复数域得到解释的例子。且看如下泰勒级数的展开：

1/1+x2=1-x2+x4-x6+…

这个展开式对|x|﹤1收敛，对其他所有实数x发散。但如果我们在复数域上来考虑实变量x，即将上式左边看成复函数1/（1+z2）在实轴上的行为，那么上述展开式就可以解释成复函数在z=±i处有奇点，由复分析的定理可知，任何幂级数展开式只在以原点为圆心、半径为R的圆内收敛，在其他地方发散。由复函数的这些事实可知，实值函数的表现不可能超乎其外。这样的结果似乎独立于我们的选择，更谈不上是人类的约定。正如魏斯曼所说，这让人感觉到好像实函数事先已经知道存在复数。

与这个问题（我们可以称之为数学在数学领域内的适用性）有关的是数学在非数学问题上的适用性现象。有关数学推理被用于经验预测，而且这些预测被证明是正确的这类事实早已引起人们的充分注意。关于数学适用性的一种观点是，数学适用性的根源在于结构上的相似性：一种数学理论（有时）之所以适用于一类非数学现象，是因为这种非数学实在的结构与数学理论所描述的某种结构存在相似性。但如果在数学推理的每一步中，我们都能自由决定所用的数学理论的哪些对象为真，那么这些自由决定是如何导致准确的预测结果无疑就显得过于神秘了。

因此，这两种现象都与激进的反客观论者对数学推理的解释相矛盾。那么，有关数学发现的现象会告诉我们关于数学实在的东西吗？我认为数学定理不会听命于独立的数学对象王国。但如果我们不接受维特根斯坦的极端约定论的观点，那么最起码我们必须承认，我们的数学发现是建立在关于逻辑结果的客观事实的基础上的。如果我们希望站在克赖泽尔的立场上，认为我们所关心的最终问题“不是数学对象的存在性，而是数学陈述的客观性”（Dummett，1978，第xxviii页），那么我们将不得不承认，有关逻辑结果的事实不可能还原到有关数学模型的事实。如果我们想理解数学发现，我们就必须从这些事实的客观性可能出现的地方来考虑。