数学与客观性

斯图尔特·夏皮罗

我想以一种试探性的和普遍的方式来探索在何种程度上数学可以认为是客观的这个问题。按照哲学上的典型做法，我们的目标之一是试图明确问题中各个术语的意义。我们当然知道数学是什么，或者至少当我们看到它时我们知道它是什么，当然那些模棱两可的个例除外。但什么是“客观性”呢？直观地说，所谓客观性就是独立于人的判断、规范以及生命形式等的一种物质属性。但“独立”这个概念又是什么意思呢？

认为数学不是客观的——数学真理总是与人类的认知、规范或其他东西联系在一起——的观点在哲学家中并不少见。伊曼努尔·康德将数学看成源自于“纯粹的直观”，是我们的感官从空间和时间上感知世界的一种形式。由此可见，数学直接与人的能力相联系，因此缺少客观性——至少在某种意义上说是如此。传统的直觉主义者L.E.J.布劳威尔和阿伦·海廷这样写道（Heyting，1931：1983，第52页）：

直觉主义数学家建议将数学研究作为人类理智的一种天然功能，是一种自由的、重要的思想活动。对他来说，数学是人的心灵的产物……我们不能将数学对象看成是一种独立于我们的思想的存在，即一种先验的存在……数学对象本质上依赖于人类的思想。

杰出的当代哲学家泰伦斯·霍根（Horgan，1994，第99页）采用希拉里·普特南所提倡的惯例，用小号大写字母词来表示“有关心灵独立、言谈独立（discourse—independent）的世界”。如果这个所谓心灵独立、言谈独立的世界是彻彻底底的物质世界，那么问题的实质就被回避了，但霍根和普特南都没有预先假设它这一点。

霍根声称（Horgan，1994，第100～101页）：

使得一个句子的正确的可断定性[52]能够依赖于这个世界[53]可以有一系列的方法。在这个方法系列的一端是由……规范所支配的句子……（那些论述中的这种句子）仅当世界中的某个独特成分回答了每一个词项时才是真的……在方法系列的另一端是那种支配可断定性规范的句子……这类句子是被规范单独裁定为正确地可断定的句子，它们不依赖于事物如何与世界相联系。

随后他补充道，附带说明一下，“纯数学的句子”对于这第二种情形，即可断定的或“不依赖于事物如何与世界相联系”的情形，“是合理的候选者”。因此，霍根将纯数学缺乏客观性这一点看成是“合理的”而没做进一步讨论。

伽利略1623年出版的《试金者》[54]一书里有如下重要的段落：

哲学被写在宇宙这部永远呈现于我们眼前的大书上，但只有在学会并掌握书写它的语言和符号之后，我们才能读懂这本书。这本书是用数学语言写成的，符号是三角形、圆以及其他几何图形，没有它们的帮助，我们连一个字也读不懂；没有它们，我们就只能在黑暗的迷宫中徒劳地摸索。[55]

今天，我们是在此发表上述论断的17世纪头几十年更好的基础上来品味这段话所包含的深刻真理的。自然科学或社会科学几乎没有一个分支不是以大量的数学作为研究的先决条件。一个人如果没有相当雄厚的数学基础，就不可能跳过教科书的前几页。当然，这是指应用数学，而霍根评论的是纯数学。但是，某些科学的理论部分与纯数学之间的差异并不是十分明确，至少在我看来是如此。

像霍根这样否认纯数学的客观性的观点使得伽利略的观察成为一种奥秘——一种带有贬义的“奥秘”。如果像霍根认为的，数学不外乎受到人的可断定性的支配，那么为什么数学对于科学是如此重要？这个世界里一定有某种东西，就像这世界本身一样，是独立于人的关怀、判断等主观意愿的。这种主观意愿把数学置于我们试图理解的中心——即便我们的意愿是要理解宇宙。

伽利略用宇宙的语言说话。神学靠边站，当然我这只是个比喻。更准确地说，伽利略声称的是，为了全面或正确地理解宇宙，至少在科学上，我们必须求助于数学。那么接下来是不是就有一个数学断言（assertions）本身是否客观的问题？这么说也可能没错：我们不可能在没理解一种语言的情形下就能够在任何复杂的深度上去理解宇宙。这样接下来是不是又有一个语言本身客观地、不依赖于人的兴趣、关注、判断和其他一些品质而直接与世界相联系的问题？不管怎么说，必定存在某种非语言世界的东西，这种东西使得语言成其为语言，并使这种语言成为与我们人类有效沟通的工具。同样，也必定存在某种非数学世界的东西，这种东西使得数学成为我们有效地——更是基础性地——理解其他东西的工具。

公正地说，海廷和霍根有一点肯定是正确的，那就是数学、语言和科学都是人类的活动，而这些活动的追求和结果要受到人类的关切和兴趣的影响。众所周知，不论是在数学还是在科学领域，理论和解释既带有非人类世界的性质，又与作为表述者和理解者的人的性质有关。正如约翰·伯吉斯和吉迪恩·罗森（Burgess and Rosen，1997，第240页）所说的那样，“我们关于生命、物质和数的理论很大程度上要受到我们的性格的影响，特别是我们的历史、社会和文化的影响。”当然，这并不是说，这个世界本身，或像霍根或普特南所说的，这个世界本身，受到“我们的性格”影响。伯吉斯—罗森的观察是，受到影响的是我们关于这个世界的理论。摆在我们面前的问题是：在何种程度上这些真理受到人类数学家的影响。

一些有竞争力的哲学传统认为，我们在将知识理论化时没有办法将“人”的因素和“世界”的因素完全分离开来。正如普罗塔哥拉（据说是）所说，“人是万物的尺度”。在某些唯心主义观点看来（更不用说那些后现代的观点了），世界本身就具有人的特征。世界是由我们的判断、观察行为等塑造的。因此，似乎根本就不存在霍根和普特南所说意义上的世界。一种不那么极端的立场是康德的学说：物自身是人类的探索无法接近的。我们是通过我们自己的范畴[56]、概念和直观来接近这个世界的。我们不可能超越自身而达到那个独立于我们的范畴、概念和直观的自在的世界（或世界）。

当代学术界广泛持有的观点是由奎因、普特南、戴维森和伯吉斯所倡导的观点。这种观点——如果用生硬的措辞来讲——就是，对于厘清一个成功的理论中哪些是“人”的因素使然，哪些是世界的贡献这个问题，根本就不存在上帝的观点，也不存在一种我们可以用之将我们关于世界的理论与这个世界本身进行比较的视角。

这种康德—奎因哲学取向可以说意味着根本不存在所谓的客观性，或者至少是不存在我们可以感知的客观性。如果这种观点是正确的，那么本文所提出的问题根本就没有答案。但不论这种观点有多少可取之处，我都会拒绝，尽管我对康德—奎因取向抱有同情。可能不存在诸如完全客观这样的问题——不论这种客观性指什么——但似乎仍然存在需要加以澄清和运用的既有趣又重要的客观性概念。例如在像“纯净的水分子含有2个氢原子和1个氧原子”这样的陈述与像“西兰花令人厌恶”“曼联队可恶”这样的陈述之间似乎有重要的区别。我们的问题是要搞清楚这种区分的哪一方包含数学。

克里斯宾·赖特的《真理与客观性》（C.Wright，1992）一书谈到过对客观性的一种解释，这种解释比我知道的其他解释更为全面，它提供了一种对基本概念的丰富而又详细的见解。赖特不是通过对实在的结构做形而上的研究来接近事物的性质，他不关心这个世界是否包含诸如道德属性或数之类的东西。他的注意力集中在分析各种言谈（discourse）的性质，研究这些言谈在我们的总体知识生活和社会生活中所发挥的作用。也就是说，赖特试图阐明，当我们试图谈论并理解我们发现自己所占据的这个世界时，对于我们——语言使用者的社会群体——来说，将一段言谈看成是客观的将意味着什么。

赖特认为，客观性不是一个意义明确的概念。客观性概念或客观性的基准（axis）形形色色，而一种既定的言谈只能用这种而非那种概念来表现。这些客观性的基准被冠以“认知约束”“认知律令”“尤西弗罗对比[57]”和“宇宙作用宽度”等名称。在以前的文章（Shapiro，2007）里我说过，除了在接近基础的地方可能存在某些令人不安的例外之外，数学很容易通过这全部四项检验。数学在认识论上是不受约束的：存在不可知的真理。伽利略的观察表明，数学具有极其宽广的宇宙学作用：它囊括了所有可能的解释，其中大部分都是对非数学问题的解释。在尤西弗罗对比方面，数学站在苏格拉底一边——它不依赖于响应——同时数学很容易满足认知律令。总之，如果说还有东西是客观的，那么数学就是客观的。

另一方面，可能的例外——基础性方面的问题——显得非常突出，因为这些问题涉及上面所提到的康德—奎因问题的核心。这里我想重新审视一下上述客观性的四项基准之一——认知律令，因为它证实了这一主题，其效果甚至超出了我在其他文章里的预期。

按照赖特的理解，只有当言谈受到认识上的限制时，认知律令才被认为是一项客观性的基准。因此，我在这里暂且稍事停顿，简单描述一下客观性的这项主要基准。

认知约束是迈克尔·达米特（Michael Dummett）的反实在论概念的一种表述。根据赖特对这项基准的表述（Wright，1992，第75页），言谈在下述情形下将受到认识上的限制：如果对言谈中的每个句子P有

P↔P是已知的

换句话说，如果一种言谈不包含不可知的真理，那么这种言谈就会表现出认知上的约束。

从“客观性”一词的本义似乎有理由得出这样的推论：如果认知约束对一个既定范围的言谈失效——如果存在这样的命题，在既定范围内其真理性不可能变得已知——那么这种言谈就只能有一种实在论的、客观的解释：

设想我们对一定言谈语境下的陈述的理解……通过给它们（指这些陈述——译注）指定这样的条件——潜在的超越证据的真理得到认可，即如果这个世界是按共同合作来运行的，那么任何此类陈述的真假都可以在我们的知识范围之外得到判定——而确立。这样……我们就不得不承认在下述二者之间存在区别：一种是不论在我们的言谈实践中采用什么标准都能使得这种陈述变为可以接受的状态，另一种是使陈述变成实际真理的状态。这种陈述的真理性的获得与我们采用什么标准无关……因此，达米特意义上的实在论是一种为下述观念奠定必要基础的方法：我们的思想渴望反映这样一种实在，其特征完全独立于我们和我们的认知操作。

赖特（Wright，1992，第4页）

换句话说，如果对于给定的言谈，认识论约束失效，那么这种言谈就是客观的，并且讨论到此结束。客观性的其他基准——认知律令、宇宙论作用和尤西弗罗对比——均与此无关，它们均不适用。另一方面，如果一个言谈受到认识上的限制——如果所有真理都是可知的——那么其他基准也将在客观性的重要方面显现。赖特就是这么论证的。但就目前的讨论而言，我们只需假设，在数学上，从“可知性”的某种意义上说，所有真理都是可知的。因此我们转向对认知律令进行简要刻画。

假设一个既定范围的言谈被用来描述一个独立于心灵的世界的特征，以便进行直观的理解。假设有两个人在这方面不同意某件事情，那么我们有理由相信这两人中至少有一个歪曲了实在，这样，在他或她那里，对事情的评价一定在某个地方出错了。例如，假设两个人在争论一个给定的院子里是有7棵而不是8棵云杉树。假设这个言谈中在关于何为云杉树的认定上没有任何含糊不清之处，对院子的界定也没有模糊的地方，[58]那么我们就有理由相信，争论的双方中至少有一个人犯了错误：他要不就是没看得足够仔细，譬如他的视力有问题；要不就是他不知道何为云杉树，他做了错误的推论；再不就是他数错了，或者是其他情形的错误。也就是说，存在争议这一事实表明，争议的双方必有一方有所谓认知缺陷（尽管要认定到底是哪一方有缺陷通常并不总是很容易弄清楚）。

相反，两个人可能在“这个宝宝是否可爱”或是“这个故事是否幽默”等问题上意见相左，这里就不涉及认知缺陷问题。两人中的一人可能在品位或幽默感方面很独特，或者也许根本就没有品位或幽默感，但这些都与他的认知能力没有关系。他可以和其他任何人一样感知事物和进行因果推理。

客观性的这项基准就取决于这种区别，取决于是否存在可以不受指责的分歧。赖特（Wright，1992，第92页）写道：

言谈表现为认知律令，当且仅当我们可以先验地判定，观点的区别只有根据“不同的输入”才能得到令人满意的解释，也就是说，争议双方是在不同的信息（因此负有无知或失误……的罪责）的基础上讨论，或是在“不合适的条件下”（导致注意力不集中或注意力旁置并由此造成推理错误，或看错数据，等等），或是在“出错状况下”（例如，对数据评估有偏见……或过于教条，或在其他范畴上出错……）讨论。

直观地说，在有关云杉树的言谈中，认知律令管用；在有关宝宝是否可爱和故事是否幽默的言谈中，认知律令失效。

那么在数学领域情况会怎么样呢？赖特认为，认知律令显然适用于简单运算（第148页）。例如，假设两个人手工计算两个四位数的乘法，得出的结果不同。显然，两人中至少有一个出错。他可能忘了乘法口诀表（或者学习时就没有准确地记住它），再不就是运算时数位没对齐，或者注意力不集中，算错了。所有这些显然都属于认知缺陷。要全面评判赖特的这个结论，我们就不得不涉及维特根斯坦关于遵循规则的问题——这个问题似乎可以称为活动的客观性问题。但我们先把这些问题放在一边。

不管怎么说，数学里比简单运算复杂的问题多得多。认知律令是否对所有这些问题都适用呢？在专业数学研究中，一个严肃断言的认知标准是证明。因此，假设一位数学家，我们不妨称其为帕特，得出了一个他认为是对某个数学命题S的证明的东西，而另一个数学家克里斯对S心存疑虑，甚至在看了帕特提出的证明后仍持异见。那么帕特与克里斯之间的分歧就不必是证明结果上的分歧。他们对帕特所给出的证明是否够好——是否能建立起结论——这一点上看法迥异。帕特基于他的证明相信S成立，而克里斯不相信S成立，因为他根本就不认可帕特的证明的正确性。他可能认为S是假的，也可能他认为S根本就是不可知的。

在这种情况下，我们的问题是：我们是否能够先验地断定两位数学家里至少有一位表现出认知缺陷——假定分歧是真实的，至于到底是哪一方则是另一回事。

在专业数学的世界中，像这样的分歧经常发生。两个评审人可能对送审文章中的证明过程及其导出的结论持不同意见。这种分歧既不关涉评审人的能力，也不关涉论文作者的水平。但这种现象绝非数学所特有，任何足够复杂领域里的言谈都会有类似的“无可指责的”分歧存在。为了让认知律令有机会作为客观性的基准，并有助于获得有关纯数学状态的一些启发，我们必须将认知者理想化。[59]

在这里，问题的理想化可谓异曲同工。我们假定我们的对象在寿命、质料、记忆和注意力保持方面均无极限限制。在可计算性的数学理论和一般的数学逻辑里理想化指的就是这些性质。我们现在的讨论预示着有可能回到自身。为了评估认知律令在数学上是否成立，从而数学在这项基准上衡量是否客观，我们要谈及某些数学知识，使其理想化。我想大家都清楚，哲学做的是整体性研究。

对于数学的价值所在，在我看来，数学追求的更像是发现而不是发明，更像是获取真理而不是表达一种态度。作为一个有兴趣的局外人，在我看来还有一点需要指出，在大多数情形下，数学界呈现出一种明显的趋同倾向，或许是这种倾向在数学里表现得要比在其他领域更甚。从历史上看，至少在当下，有关某项论证是否正确的争论不会永远持续下去。除非争论双方失去了兴趣——那肯定是非认知性问题——否则实际的分歧似乎总是会得到令各方满意的解决。例如，到最后每个人都会同意，某些步骤是无效的，或是某项前提被取消，或是论证最终得到肯定。有确凿证据表明，在专业数学领域，认知律令成立，至少在适当的理想化情形下如此。

定义一个形式上的证明，就是用形式化语言给出一组句子，其中每一步给出的或是明确指出的公理，或是前提或假设，或是由前面的步骤通过原始的推断法则得到的其他什么东西（至少在作者看是如此），所有这些陈述是如此基本以至于做进一步分析已没有意义。在实际的数学研究中，我们并不总是明确一项给定的证明是否具有唯一的形式。在涉及如何将一段已发表的数学研究形式化方面，是否存在独立于判断及其类似性质陈述的客观事实呢？我承认，对此客观性的对手有一定的操控空间。从实际数学言谈——毕竟这是我们所关心的——到理想化数学家的完全形式化证明的变动可能不由完全客观的标准支配。但正如上文所述，在此情形下完全客观性不太可能做到。我们探索的是，在何种程度上数学在这项基准上看是客观的。

让我们回到我们想象的数学家帕特和克里斯的情形，当然现在的情形经过适当的理想化。假设帕特对数学命题S提出了一个完全形式化的证明Π，而克里斯拒绝接受这个证明，对其结论持异议。

假设帕特和克里斯对于出现在证明Π里的每一行公式都有一致的理解，那么这里的分歧就可能涉及其中一人身体上某个部分的认知缺陷，譬如他或她的眼神不好。这样，无论是帕特还是克里斯，都有可能在Π的某个公理、假设或前提下产生分歧，或是两人对帕特的原始推理规则的有效性达不成一致。

在数学上，表面上的对前提或公理理解上的分歧不是真正的分歧。两位数学家谈的都只是彼此的过去。帕特现在从事的是某种结构（或结构类型）研究，其部分特征由推导Π的前提刻画；而克里斯更青睐于另一种结构。一个对毕达哥拉斯定理持有异议的数学家（因为他不假定平行公设成立）不会真的反对欧几里得几何。他们从事的是不同的理论、不同的题材的研究。

当然，数学家们并不总是这样想。据说，他们曾将有关几何的问题看成是关于（物理）空间结构或与知觉有关的直觉结构以及其他类似东西的问题。阿尔贝托·科法（Alberto Coffa，1986，第8页）描述过这种历史性转变：

在19世纪后半叶，借助于一种仍有待解释的过程，几何学界得出的结论：所有可能的几何都已明了……科学家群体以一种非临时性的方式就某一领域内一组互不协调理论的所有分支达成一致，这恐怕还是第一次出现……现在，哲学家们必须搞清楚……数学家对几何的态度的认识论意义……这项挑战对哲学家是一种艰难的考验，对此（悲观点说）他们都可能折戟……

我用当前的情景来重申这种观点。如果我说帕特和克里斯只是在论证到前提或公理方面意见相左，相信他们不会完全不同意。实际上，他们的话指向的是不同的东西。他们是在两种不同的结构框架下工作。这就解释了为什么数学理论在变得（至少不是现在）对科学无用后没有作为伪科学被丢弃的原因。迈克尔·雷斯尼克（Resnik，1997，第131页）称这种现象为“欧几里得救援”。

如果意见分歧涉及更为基础性的问题，那么事情可能就不会这么简明。假设“有争议的”证明的最终结果是一个实分析的命题，帕特的证明要用到集合论的原理，如连续统假设或大数假设，而克里斯不接受集合论原理。这样争论的焦点自然会集中到集合论这一背景理论上来。这里我们同样可以诉诸欧几里得救援，说帕特和克里斯是在不同的结构框架下研究，只是因为他们的集合论背景不同。譬如帕特用的是分析加集合论A，而克里斯偏爱用分析加集合论B。由于集合论的概念遍及数学的各个分支，加之集合论的基础性作用，因此这种区别并不像譬如欧氏几何与非欧几何之间区别那样一目了然（见Maddy，2007，第358～360页）。这个问题可以说是扑朔迷离，其程度已超出本文的讨论范围。我们不得不考虑数学是不是可以有不止一个的基础，并且，如果是这样的话，我们该如何搞清楚这些基础之间的关系。

不管怎么说，集合论背景下的争议就像是剩下的一种可能性，数学家所持态度的差异可以追溯到他们的逻辑。假设克里斯对推理法则持有异见，而这条法则在帕特看来已基本到不能做进一步分析的地步。譬如，假设帕特的证明要用到排中律，而克里斯拒绝排中律，因为他是个直觉主义者。这样就带来了一个逻辑的客观性的问题，这个问题可能需要（已经）由另一篇长篇论文（Shapiro，2000）来回答。个中细节已经超出了我们目前所关注的问题，但我认为，除了可能的认知约束之外，某些先决条件和逻辑已经经受住赖特的客观性检验。但我们应当从中得出什么结论目前尚不清楚。

这里一个潜在的麻烦是，赖特大部分的客观性基准都是按逻辑制定的，因此似乎是只有在我们确定了一种逻辑之后才可以运用各种基准。就是说，客观性的各种基准预先假定了一种逻辑（虽然是以哪一种逻辑为前提的问题尚未解决）。因此，我们甚至很难看出在何种程度上可以在赖特设定的框架下追问这种逻辑的客观性。

有人可能会援引欧几里得救援来处理逻辑，对它采取折中的态度。比方说，有论文认为传统的分析和直观的分析是两个不同的主题，它们之间的冲突并不比欧氏几何与非欧几何之间的冲突更激烈。如果我们继续沿着这条路线走下去，那么在一定意义上，所有的数学——一旦经过适当的理想化后——都可以还原为演算。这样问题就变成仅仅是对于不同的演绎系统可以得出什么样的结论的问题。在此之外数学没有任何内容。我们保留认知律令，但代价是数学家之间不存在任何有趣的、真正的纠纷。有可能起“纠纷”的双方用的不是同一种语言。我们似乎已经使自己陷入某种数学形式主义——至少是一旦经过适当的理想化，我们就可以运用客观性基准。当然，我们仍然将维特根斯坦的规则遵循问题放在了一边。

让我们简要地探讨一下另一种情形：古典数学家（克里斯）和直觉数学家（帕特）彼此间有真正的分歧。这时我们可以问，按照认知律令的基准，这个问题是否是客观的。这里要趟的浑水更多。

我们的问题是理想化的纠纷当事人——克里斯或帕特——是否会表现出认知缺陷。在赖特给出的上述认知律令特征中，缺陷表里有一项是“推理错误”。[60]帕特当然会指责克里斯推理错误。克里斯援引排中律，但在帕特看来这是不对的。然而，赖特似乎没有考虑到这一点。他将“推理错误”归因于“注意力不集中或注意力旁置”的结果，而不是一种涉及逻辑结果本身性质的深刻分歧。而我们在这里对人物已经做了理想化，克里斯和帕特都不会犯注意力不集中的错误。因此，如果认知律令在此成立，那么我们就不得不寻找另一些类型的认知缺陷来解释我们的理想化数学家之间的分歧。

可以说，逻辑选择是一种整体性行为，虽然这又是一个有争议且无法在此得到圆满解决的问题。纳尔逊·古德曼曾制定“宽的反应平衡”方案并被约翰·罗尔斯用于解释正义，雷斯尼克则提出了一种此方案的改编版：

我们从自身对逻辑正确性（或逻辑必然性）的直觉开始。这些直觉通常以一组测试案例的形式出现，譬如我们所接受或拒绝的论证，我们当作逻辑上必然的、不一致的或等价的陈述……，等等。然后我们试图建立一种合乎逻辑的理论，其陈述符合我们最初所考虑的判断。初步尝试就想在理论和“数据”之间形成精确的配合是不可能的……有时候……我们会形成我们自己的逻辑直觉以进行有力的或精准的系统考虑。总之，“理论”会使我们拒绝“数据”。此外，在决定我们必须放弃的东西时，我们不仅要考虑逻辑理论本身的优点……而且还应考虑该理论以及我们的直觉如何与我们的其他（包括哲学上的）信念和承诺相一致。当该理论不再拒绝我们所决心维护的任何例证，也不再支持我们所决心拒绝的任何例证时，该理论便与其最终的、考虑成熟的判断达到了……宽的反应平衡。

雷斯尼克（Resnik，1997，第159页）

这里存在另一种麻烦的循环论证。为了检查一个理论是否处于反应平衡，他必须进行逻辑推理。他必然会得出合乎其逻辑理论的逻辑结果，以便检验该结果是否与其直觉和其他“数据”相一致。我们不可能严格刻画反应平衡在逻辑选择上是否呈中性。我们只能针对一种既定逻辑来谈反应平衡。

不过，也许争论双方之一无法通过自身达到反应平衡。这肯定属于该争论者的一种认知缺陷。但是，我们可以肯定这种现象总是会发生吗？也就是说，我们能够排除认知上无可指责的分歧吗？

事实似乎并非如此，虽然我们很难看出人们是如何为此构建一项论证的。有可能我们的两位理想化数学家——帕特和克里斯——依据各自的逻辑都是反应平衡的。如果是这样的话，我们又如何以中立观察者的身份来指责其中一方的认知缺陷呢？

在逻辑客观性的整个问题上也存在某种困扰。对于任何范围的言谈，严肃的争论都包含逻辑。无论什么范围，争论各方都有他自己的推理逻辑，并根据这种推理得出各自的结论。无论逻辑的应用范围有多广，有关逻辑的分歧或差异注定会导致分歧或差异出现在论证的任何地方。如果逻辑都失去了客观性，那么还有什么地方可以谈得上客观性？

我很抱歉，对于逻辑的客观性，以及某种程度上对数学的客观性，没能给出一个清晰的结论。由于逻辑在我们的理论化过程中起着核心作用，因此我们很难通过明快的处理将它区分开来。任何企图刻画客观性是如何被裁决的问题都必须以逻辑为先决条件。

如果我们还记得康德—奎因的论点，即我们没有办法将理论中的世界因素与人的认知因素截然分开来，那么这种情况就可以做得更合意。我认为，由此带来的一个结果是要求完全客观性是没有意义的。因此，某种程度上说，放弃特定范围的言谈的客观性并不会使客观性完全被消除。这是整体怪兽的性质。

赖特在他的书的后面（1992，第144页）对认知律令的制定增加了一些限定条件。这些条件看起来是要在为取得反应平衡而斗争中处理好整体裁决的问题。莱特认为，当且仅当下述条件成立时，言谈才行使认知律令：

这一点可以看作是先验的：除非像在有争议的陈述中，或在可接受性的标准中，或在个人的证据阈值出现变化时，模糊的结果是可以谅解的，否则在言谈内所形成的观点之间的差别可以说与某种能够被描述为一种认知缺陷的东西有关。

也就是说，赖特认为，那种取决于模糊性、可接受性标准等的无可指责的分歧不会损害认知律令。为什么会有这些例外？制定认知律令标准的最初动因究竟是怎样的，为什么认知律令没有以这种或那种方式提到模糊性、证据阈值等的问题？这是不是可以看作伊姆雷·拉卡托斯的所谓“怪物排除法[61]”的一个实例（Lakatos，1976）？就是说，我们一旦发现理论的某些部分似乎不合适，就直接把它们排除出去。

尽管赖特没这样说，但我认为，认知律令的细致表述版本中列出的例外实例是符合康德—奎因论点的。按照赖特对模糊性的理解——也是我的观点（Sharpiro，2007a）——模糊词项是依赖于响应或判断的，至少在其边缘区域是这样。他写道，“很想这么说……一个包含（一种）模糊性的陈述表现为这样一个事实：某些情况下，认知上清晰的、得到充分了解并具有适当函项的主题在表述上可以相互各异且无可指责。”然而，在非常客观的研究领域，如自然科学领域，模糊词项是行得通的。仅仅因此并不能损害其客观性，除非我们以一种全有或全无的方式来处理这一问题。同样，在世界因素与人的认知因素混杂的理论中，“可接受性标准”，尤其是“个人证据阈值的变化”，更接近于“人”的一方而离“世界”较远是合理的。当然，保守的科学家，那些在提出断言时更为谨慎的人，较之那些从事纯理论研究的同事，不必有任何认知上的缺陷，反之亦然。因此，追溯到这种差异的分歧不必破坏认知律令。

有关数学及其逻辑的更基础的问题同样如此。指向整体性考虑的分歧最终可能会（譬如）部分地因为理论家对所发现的东西的趣味——讲求精致还是简单——而被裁定。某个数学家可能偏好构建性数学所产生的细微区别和较清晰的界限，而另一位数学家则可能追求统一，在某种程度上说，即追求经典数学的简单性和易于处理的元理论。也就是说，可能正是对于某些基础性问题，其探讨更接近于“人”的一方而非互联网上的“世界”一方。即使是这样，我们也并不能导出数学不是客观的，甚至认为数学不具有客观性范式——我们用以衡量其他言谈的标准之一——这样的结论。