评吉迪恩·罗森的“数学对象的实在性”

蒂莫西·高尔斯

在吉迪恩·罗森这篇文章的开头，他描述了关于数学的某种哲学立场。自从我自己一度曾思考有关数学的各种哲学观点以来，这些观点一直是那种样子。我不是一个专业的哲学家，我从来不试图制定出一个全面详细的方案来维护我的观点，但我一直相信，它们是基本正确的。

如果说有人能够动摇这样一种自信，那么这人便是罗森，一个具有非凡的表达能力和仔细分析他人哲学立场的人。他还有一套提出观点的方法，直觉上我对那种关于数学对象的实在论观点有反感，但他提出问题的方式使我的反感明显减弱。举例来说，如果你对罗森说，你不相信那种认为数是飘浮的并具有各种复杂的相互关系的形而上学论调，他会告诉你他也不相信。然后他可能会问你，为什么你说存在无穷多个素数，如果你实际上并不相信是这样的话。经过这种短暂的交谈，你会变得很难准确把握在非实在论观点与罗森所持的精致实在论观点之间到底有什么不同（至少对我来说是这样）。

现在，在我读了罗森的这篇文章之后，对我来说，这些问题都得到了很大程度的澄清。他把他所讨论的立场称为有条件的实在论：大致说来，所谓有条件的实在论，就是认为数学对象确实存在，但正如他所说的，它们在形而上学上处于“第二位”。他本文的目的是要说清楚这可能意味着什么。为了这一目标，他引入了事实之间的“支撑关系”。这种关系粗略地讲就是，如果事实A是建立在事实B的基础之上，那么事实B就比事实A更基本，并且足以解释A。（罗森给出了几个不同的例子来说明和澄清这个概念。）随后他建议，无条件的实在论者与有条件的实在论者之间的区别，就在于前者认为某等些数学事实是基本的（也就是说，没有任何进一步的事实为其基础），而有条件的实在论者认为，虽然数学事实是客观真实，但它们最终都基于非数学的事实。正如他所说的那样：

当哲学家告诉你，数在形而上的意义上不是真实的（即使它们在数学的意义上是存在的），那么他或她的意思可能是指这样一件事：数所代表的每一个事实最终都将凭借一些数不作为其组分的事实的集合而得到确立。

罗森说他本人并不认同这个观点，然而此观点与我之间以一种他所希望的方式产生了共鸣：我认为，如果我尝试为我自己在关于数的问题上的有条件的实在论观点进行全面的辩护，那么我的确会这样去做：尝试去证明关于数的事实都是建立在其他事实的基础之上。要实现这一点有几种方法，它们恰好对应于有条件实在论旗帜下的几种不同的哲学立场。罗森详细讨论了其中的两种（这两种都不是我自己可能遵循的方法），同时还一般性地讨论了这种立场的一致性。

罗森的建议的优点之一是，它用“是否所有的数学事实都基于其他事实”这样一种紧密关联而且非常明晰的问题取代了有关数和数学陈述的实在性那样一些模糊不清的问题（说它模糊不清是因为这类问题往往不能明确说明“实在”指的是什么）。回答这个问题是一项很艰巨的工程，但它也明确规定了哲学家，甚至数学家，可以为此做些什么。