著名的“割圆术”

我国在先秦产生了无穷小分割的若干命题。随着人们认识水平的逐步提高，至南北朝时期，无穷小分割思想已经基本成熟，并被数学家刘徽运用到数学证明中。

我国古代的无穷小分割思想不仅是我国古典数学成就之一，而且包含着深刻的哲学道理，在人们发现、分析和解决实际问题的过程中，发挥了积极作用。

相传很久以前，黄河里有一位河神，人们叫他河伯。河伯站在黄河岸上，望着滚滚的浪涛由西而来，又奔腾跳跃向东流去，兴奋地说：“黄河真大呀，世上没有哪条河能和它相比，我就是最大的水神啊！”

有人告诉他：“你的话不对，在黄河的东面有个地方叫渤海，那才真叫大呢！”

河伯说：“我不信，渤海再大，能大得过黄河吗？”

那人说：“别说一条黄河，就是几条黄河的水流进渤海，也装不满它。”

河伯固执地说：“我没见过渤海，我不信。”

那人无可奈何地告诉他：“有机会你去看看渤海，就明白我的话了。”

秋天到了，连日的暴雨使大大小小的河流都注入了黄河，黄河的河面更加宽阔了，隔河望去，对岸的牛马都分不清。

这一下，河伯更得意了，以为天下最壮观的景色都在自己这里，他在自得之余，想起了有人跟他提起的渤海，于是决定去那里看看。

河伯顺着流水往东走，到了渤海，脸朝东望去，看不到水边。只见大海烟波浩渺，直接天际，不由得内心受到极大震撼。

河伯早已收起了欣喜的脸色，望着海洋，对着渤海叹息道：“如今我看见您的广阔无边，我如果不是来到您的家门前，那就危险了，因为我将永远被明白大道理的人所讥笑。”

渤海神闻听河伯这样说，知道他提高了认识，就打算解答他的一些疑问。

其中有一段是这样的。

河伯问：“世间议论的人们总是说：‘最细小的东西没有形体可寻，最巨大的东西不可限定范围’。这样的话是真实可信的吗？”

渤海神回答：“从细小的角度看庞大的东西不可能全面，从巨大的角度看细小的东西不可能真切。精细，是小中之小；庞大，是大中之大。大小虽不同却各有各的合宜之处，这是事物固有的态势。”

“所谓精细与粗大，仅限于有形的东西，至于没有形体的事物，是不能用计算数量的办法来分的；而不可限定范围的东西，更不是用数量能够精确计算的。”

上述故事选自被称为“天下第一奇书”的《庄子》的《秋水》篇，这篇文章是人们公认的《庄子》书中的一段文字。因为此篇最得庄周汪洋恣肆而行云流水之妙。

其实，这段对话中说的至精无形、无形不能分的思想，可以看做是作者借河神和海神的对话，阐述了当时的无穷小分割思想。

早在我国先秦时期，西周数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。在《周髀算经》中，商高回答周公旦的问话中说得一清二楚。

圆既然出于方，为什么圆又归不了方呢？是世人没有弄清“圆出于方”的原理，而错误地定出了圆周率而造成的。

商高“方圆之法”，即求圆于方的方法，渗透着辩证思维。“万物周事而圆方用焉，”意思是说，要认识世界可用圆方之法；“大匠造制而规矩设焉”，意思是说，生产者要制造物品必然用规矩。

可见“圆方”包容着对现实天地的空间形式和数量关系的认识，而“数之法出于圆方”，就是在说数学研究对象就是“圆方”，即天地，数学方法来之于“圆方”。亦即数学方法源于对自然界的认识。

“毁方而为圆，破圆而为方”，意思是说，圆与方这对矛盾，通过“毁”与“破”是可以互相转化的。认为“方中有圆”或“圆中有方”，就是在说“圆”与“方”是对立的统一体。

这就是商高的“圆方说”。它强调了数学思维要灵活应用，从而揭示出人的智力、人的数学思维在学习数学中的作用。认识了圆，人们也就开始了关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。

战国时期的“百家争鸣”也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。

名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不正，不可为方；规不正，不可为圆”，认为圆可以无限分割。

墨家则认为，名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义，例如圆、方、平、直、次、端等。

墨家不同意圆可以无限分割的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。

名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对我国古代数学理论的发展是很有意义的。

汉司马迁《史记·酷吏列传》以“破觚而为圜”比喻汉废除秦的刑法。破觚为圆含有朴素的无穷小分割思想，大约是司马迁从工匠加工圆形器物化方为圆、化直为曲的实践中总结出来的。

上述这些关于“分割”的命题，对后来数学中的无穷小分割思想有深刻影响。

我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的这个公式。

为了证明这个公式，魏晋时期数学家刘徽撰写了《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记。这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。

刘徽用“差幂”对割到192边形的数据进行再加工，通过简单的运算，竟可以得到3072多边形的高精度结果，附加的计算量几乎可以忽略不计。这一点是古代无穷小分割思想在数学中最精彩的体现。

刘徽在人类历史上首次将无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。

拓展阅读

庄周是战国时期著名的思想家。他的很多思想十分超前，比如他曾提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。这句话的意思是说，一根一尺长的木棍，每天砍去它存在的一半，万世也砍不完。这是典型的数学里的极限思想，对古代数学的发展有很大影响。