1901年的春天，数学家们都面临着罗素悖论（我们在第6章中讨论过）的挑战，很多人都能感觉到他们所钻研的这个学科的基础正在他们脚下动摇。后来，罗素写道：
对于这种处境，哲学家和数学家们有很多不同的反应。不喜欢数理逻辑并指责它空洞无物的庞加莱高兴地宣称：“它不再（仅仅）是空洞无物，它还引起矛盾。”这话很对，但它对解决问题毫无助益。其他一些不赞成格奥尔格·康托尔的数学家采取了马奇·赫尔（March Hare）的办法：“我对这厌烦了，让我们换个话题。”这对我来说似乎还不够。然而过了一段时间，理解数理逻辑和认识到迫切需要逻辑方法的人开始认真地去尝试解决问题。第一个这样做的人是F·P·拉姆塞（F. P. Ramsey ），很不幸的是，他早逝了，留下了很多未竟的工作。但在《数学原理》（三卷，1910—1913，罗素和A. N.怀特海著）出版前的这段时间，我的解决方法并没有胜过这些后来的尝试，基本上只是在摸索。(1)
下面是罗素自己对于他的悖论灵感怎样产生的解释。记住，这是罗素在说话，所以如果你在初读和再次审读后都不懂他的逻辑，请不要过多担心，他是怎样被引向了这个矛盾的，他就此写道：
通过思考康托尔对不存在最大基数的证明，据我粗浅的想法，世界上所有事物的数目应该可能存在最大的数。于是，我把他的证明用到这个数上，看会发生什么。这个过程使我考虑到一个非常特殊的类(2)。沿着这条迄今看起来很恰当的方法思考下去，对我来说，似乎一个类有时候是，有时候又不是它自身的一个元素。例如，茶匙的类不是另一个茶匙，而是不是茶匙的东西的类。（换句话说，所有茶匙的集合不是一个茶匙；所以它不是它本身的一个元素。）看起来有很多支持这种说法的例子，例如所有类的类是一个类。应用康托尔的主张使我考虑不是类本身的元素所组成的类，看起来这些元素应该能组成一个类。我问自己：这个类是否是它自身的一个元素(3)。
这样，著名的罗素悖论诞生了。看起来，谁的基础它都撼动不了。但它就是有这个能力，它不仅会对数学领域产生深远的后果（详见第6章和第7章），而且它还引起了一场认识上的混乱，时间长达10来年。罗素为此付出了卓绝的努力。尽管为数不多的几个同事在早期给了他支持，但他很大一部分精力都花在应付众多同行的批评上了。
你也许从第一段了解到，罗素喜欢数理逻辑。实际上，他通常被认为是逻辑主义运动的奠基者，这项运动现在还有很多拥护者，但也引起了很多异议。正如罗素所说，逻辑主义者想说明“所有的纯粹数学都是从纯粹的逻辑前提得出来的，并只运用可以用逻辑术语定义的概念。”(4)
有时候，人们认为逻辑主义在做两方面的努力。首先，它宣称所有的数学都可以用逻辑术语来诠释。这样，数学术语和符号就组成了一个逻辑术语和符号的有效子集。其次，它宣称所有的数学证明都可以用逻辑证明来重新表达。这样，数学定理也可以组成逻辑定理的合理子集。
通过强调纯粹数学是由逻辑的步骤组成的，罗素说：“纯粹数学完全是由断言组成的，大意是如果某某命题在某种情况下为真（例如，如果p，那么q），那么另一个某某命题在那种情况下也为真。重要的是，不要去讨论第一个命题是否真的正确，也不用说我们是否只是设想在某种情况下为真……这样，数学可以定义为一门这样的学科：在其中，我们从来都不知道，我们在谈论什么或我们说的是否是真的。”(5)
不难相信，这招致了批评。罗素在后来写道：“在一开始，这个论题是不受欢迎的，因为在传统上，逻辑是与哲学和亚里士多德联系在一起的，所以数学家们认为这跟他们不相干，那些认为自己是逻辑学家的人也极不愿意被要求掌握一门新的有相当难度的数学技术。”(6)在始终如一地对他进行批评的人中，有一位就是德高望重的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱。考虑到克罗内克于1891年死后，庞加莱已成为康托尔超限数学的主要反对者，而罗素的逻辑大厦主要就建立在康托尔集合论的基础上，庞加莱对罗素的态度就不会太让人奇怪。
罗素和庞加莱之间的一系列争论和反击，从1906年初一直持续到1910年罗素做出的最后答复。在这段时间，罗素正值30多岁，而庞加莱50多岁了。在那时，两个人在他们各自的领域都受到了所有人的高度尊敬，因此，他们都很尊重对方。法国天文学家查尔斯·诺德曼（Charles Nordmann）在他对庞加莱的颂词里写道：“生活在上世纪的十几位伟大科学家中间，他创造了这样一个奇迹：在科学界，从来没有一个对他有敌意的人。”(7)但在知识上的互相批评中，庞加莱和罗素彼此毫不留情。
在讲述这场战斗之前，让我们简单地回顾一下罗素和他的数理逻辑。
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素，1872年5月18日生于威尔士的特雷克（Trelleck）。两岁时，他失去了母亲；4岁时，他失去了父亲；6岁时，他失去了祖夫。他主要由祖母带大。在18岁以前，他一直在家接受家庭教师的教育。
尽管他因为祖母的好品行（包括她对他的爱和某些积极进取的社交爱好）而热爱并尊敬她，但在成年后，他开始感到很压抑。如他所说：“在我到14岁后，我祖母的知识局限让我很难受，她的清教徒道德规范也开始显得有些过分。”(8)事实上，终其一生，罗素经常发现自己陷入理智与情感的冲突之中。
到十几岁时，他已经表现出了优异的智力。在他的《自传》（Autobiography）中，罗素写道：
在11岁时，我的哥哥（比伯特兰大7岁）做我的导师，开始教我欧几里得几何。在我的一生中，这是一桩重大事件，像初恋一样让我激动狂喜。我从来没想到，世界上还有这么美好的东西。在学完第五命题(9)后，哥哥告诉我通常人们认为它很难，但我发现根本就不难。第一次我突然明白我也许有些聪明。从那一刻起，直到38岁与怀特海合作完成《数学原理》，数学是我主要的兴趣，也是我主要的快乐源泉。然而像其他所有的快乐一样，它不是纯粹的。有人告诉我欧几里得几何里的内容都是依据于证明，但我失望地发现他是从公理出发的。在开始的时候，如果哥哥不能给我讲清楚这样做的理由，我就拒绝接受它们。但他说：“如果你不接受它们，我们没法继续学习了。”我希望继续学下去，于是我暂时不情愿地接受了它们。当时对那些数学前提的疑惑一直伴随着我，决定了我后来所从事研究的方向(10)。
1890年，他进入剑桥大学三一学院学习数学和哲学。两年后，他被邀加入“使徒社”（the Apostles）。这是一个人数不多、人员经过精心挑选的团体，经常在大学里聚会。A·N·怀特海是成员之一，他当时是一位数学讲师，他将对罗素的未来有重要影响。尽管非常清楚他们在智慧上的优越性，但使徒社的成员们仍然竭力不让自己太自鸣得意。罗素把对这种活动的参与看作是“我一生中在剑桥最大的快乐”(11)。实际上，他认为他从使徒社里得到的快乐远比他的成就给他的快乐多。他写道，导师们“在剑桥给我的乐趣是很少的”(12)。他接着说：他“从课堂教学里没有什么收益”(13)。
对他的早期发展来说，罗素写道：
在上剑桥之前，我就已经对哲学感兴趣了，但除了密尔（Mill）的书，我没有读别的。为假设数学是对的找到一些理由，是我最大的期望。密尔的《逻辑》（Logic）在这个学科上的主张给我的印象是很不完全的……除了一堆错误，我的数学导师从未向我说明假定微积分正确的理由……在第四学年，我读了大部分伟大哲学家的著作，也读了很多数学哲学上的著作。詹姆斯·沃德（James Ward，罗素在剑桥的导师）一直都给我这个学科最新的书看。每次我把它们还给他时，我都说它们写得很糟糕。我清楚地记得他的失望和他为了让我满意而去找书所付出的艰辛努力。之后，我已经成为剑桥的一名教员了，我从他那里得到两本薄书，两本书他都没读过，也不认为有什么价值。它们是格奥尔格·康托尔的《集合论》（Mannichfaltigkeitslehre）(14)和弗雷格（Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）(15)。最终，这两本书给了我想要的依据(16)。（我们将在本章的后部分讨论弗雷格。现在，我们只能说《概念文字》是一本关于逻辑的书，书中论述了建立算法的形式语言。）
对康托尔的入迷使罗素对一些小领域产生了强烈的好奇心。在19世纪的最后几年，罗素在伦敦政治经济学院（the London School of Economics）做讲师。他后来写道：“我常常每天走到岳父母在格罗斯菲那路（Grosvenor Road）的家去，在那里我花时间读格奥尔格·康托尔，并把他的要点抄到一个笔记本里。在那时，我错误地认为他所有的主张都是错的，但我还是把它们仔细读了一遍，不放过每一个细微之处。这样做是很有帮助的，后来我发现是我全错了。”(17)
罗素在校的时候，剑桥经历了一场意义深远的变革。管理层开始认为学术研究是教师工作的重要组成部分，而不仅仅是课后打发时间的业余爱好。原创性的研究成果可以赢得丰厚的奖学金，在1895年，罗素也因为关于几何基础的一篇论文获得一份这样的奖学金。这篇论文发表于1897年。
在这次成功之后，罗素开始汇集各种观点，以对数学的基础做一番综合的整理，但这是一项颇有倾向性的工作。他的研究，主要是他与朋友们的讨论，还有他的演讲，研究工作使他开始思考：在少数几个基本逻辑概念的基础上创建数学是可能的。这就是罗素逻辑主义的开端。
数理逻辑甚至逻辑主义不是突然从伯特兰·罗素的脑子里和笔尖蹦出来的，懂得这一点很重要，罗素也确实是这样认为的。例如在本书的第3章，我提到过莱布尼兹一直有兴趣运用符号逻辑创建一种思维严密的微积分。在以后的岁月里，很多数学家审视并探讨了很多种逻辑，包括数理逻辑和数学的基础，但只有两位数学家对引导罗素发生了特别的影响。
19世纪70年代末，德国逻辑学家、数学家、哲学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）已发现大部分数学都可以由很少量的逻辑陈述推导出来。1884年，他已经发表了《算术基础》（Grundlagen［Foundations］ der Arithmetik）。这本书是对算法公理化所作的早期尝试。然而这本书在很大程度上被忽视了，唯一见诸记载的评论是我们的格奥尔格·康托尔作出的。很显然，他并不真正理解它，而是给了它一个激烈的评论。
弗雷格相信，逻辑主义——逻辑和数学的亲密结合——在理论上是可能的，他开始设计用来作为源头和基础的命题。到1902年，他已经将他的成果汇总起来，并发表了两卷本的《算术基础》的第一卷。弗雷格正出版他的第二卷的时候，对他早期的《算术基本定律》（Grundagesetze［Basic Laws］ der Arithmetik）印象极深的罗素意识到，自己的悖论在弗雷格的公理体系中产生了矛盾。罗素在给弗雷格的一封信（1902年6月6日）中向他指出了这点，弗雷格极为震惊。
对弗雷格来说，由于他的这本教科书已经印好了，对其做出任何修改都太晚了。但他加了一个附录，以这样令人吃惊的声明开头：
工作刚刚完成，其赖以维系的根基就垮掉了，对于一位科学家来说，没有比这更郁闷的遭遇了。当我的书接近出版的尾声时，伯特兰·罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。(18)
在附录中，弗雷格修改了那个公理，尽管他已经在这本书的其他地方，特别是第一卷中出了问题。
历史记载表明：在这以后，弗雷格变得非常沮丧，虽然事实上主要是出于个人甚至是政治原因。直到晚年他才从阴影里走了出来，再次开始做一些为人称道的工作，尽管再也不是这个领域的工作了。1923年，他实际上得出了这样的结论：尝试把数学建立在逻辑的基础上是误入歧途。
具有讽刺意味的是，当1901年罗素提出他的悖论时，他已经开始致力于对他在逻辑主义上的努力——《数学原理》（1903）——做出首次郑重说明。虽然弗雷格轻易地放弃了从逻辑中导出数学的努力，但罗素没有，他决定继续下去，并发表了他的成果——仍然讨论了他的悖论，但没有给出对悖论的解答，只是在寻求解决方案方面向前迈了一步。弗雷格的第二卷也发表了，但已经是在10年之后；他的第三卷一直都没有完成。
但是在《数学原理》的前言中，罗素自己承认：“弗雷格教授的成果，大部分都先于我，当他的现有成果开始出版时，其中的大部分我都不懂。我已经见过他的《算术基础》，但是由于他的符号系统太难，我没有领会它的重要性，也不懂它的内容。在这么晚的时候，对他的成果做出适当回应的唯一办法就是给它加上一个附录。”(19)换句话说，弗雷格做得很对，但他认为罗素的悖论使自己的工作没法再继续下去了。这给了罗素一个自由驰骋的机会，但完成这件任务绝不是一件简单的事。
另一个讽刺是，正如罗素自己在后来所说的：“尽管他（弗雷格）做出了划时代的发现，但在1903年我注意到他之前，他一直完全得不到赏识。”(20)
今天如果弗雷格重生，他会很骄傲，也许还会很惊诧地发现新弗雷格主义（neo-Fregeanism）成了现在的时髦。最近几十年，数学家们对他的工作进行很认真的探究，并尝试把它融合到当今的研究成果和应用中去。(21)
罗素的目标是为数学的原理创建一个更全面的处理方法。他开始更坚定地相信：纯粹数学能够建立在一小部分基本的逻辑概念上，它的命题也能从为数不多的基本逻辑原理推导出来。但罗素对他的初稿不是很满意。
1900年，他参加了在巴黎召开的国际哲学大会（the International Congress of Philosophy）。他后来写道：这次会议“是我知识生命的一个转折点，因为在这里我遇到了（居塞普）皮亚诺（［Giuseppi］ Peano）……在大会的讨论中，我发现他一直都比其他任何人更精确，在他参与的辩论中，他总是能获胜。过了一段时间，我明白这应该是由于他精通数理逻辑。因此，我让他把他所有的研究成果都送给我。大会一结束，我就隐退到芬赫斯特（Fernhurst，罗素的家庭所在地），安静地琢磨他和他的弟子写的每一个字。对我来说，很明显他的符号为逻辑分析提供了一个工具，这正是我寻求多年的。”(22)例如：用□表示“隐含”或“包含”，用∈表示“属于”。这样，命题“实体y是集合A的一个元素”可以用y∈A来表示。结果，这样做既简洁又精确。用这套符号，皮亚诺成功地表述了很多定义、定理和证明。
罗素很快就领会了皮亚诺的想法和他这套内涵丰富的符号系统，并开始在皮亚诺成果的基础上重写他的书。例如，如罗素后来所解释的：“将所有传统的纯粹数学简化为自然数理论后，逻辑分析的下一步就是把这个理论本身简化为不多的几套前提和未定义的术语，凭借它们能够推导出这个理论。皮亚诺已经完成了这个工作。他向我们表明：运用纯逻辑，整个的自然数理论都可以从三个原始的观点和五个原始的命题推导出来。因此，可以说这三个观点和五个命题就成为整个纯粹数学关注的焦点。如果能运用其他的术语定义并证明它们，那么也就可以定义和证明整个纯粹数学。”(23)
罗素的《数学原理》将要以两卷本的形式出现在世人面前。尽管罗素对这本书的初稿不是很满意，但巴黎大会之后的几个月里，这本书的撰写进展得很顺利。1903年面世的第一卷确实是受欢迎的杰作，提出了很多支持逻辑与数学间有密切关联的观点。第二卷将写入这些观点所需要的证明，但它一直没有完成。结果是它演变成了鸿篇巨制的三卷本《数学原理》。这套书，他是分阶段在他的好友兼同事阿尔弗莱德·诺斯·怀特海（1861—1947）合作下完成的。
这套大部头的杰作长达两千多页，直到现在仍公认是最重要的数学著作之一。尽管人们不经常读它，但它突出体现了罗素的“数学可以从逻辑的规则中推导出来”的主旨，它也给出了一些前提，说明这些规则在数论、集合论和其他数学领域中如何运用。
后来，罗素发出一个挑战：“如果还有人不承认逻辑和数学的一致性，我们可以挑战他们，让他们指出，在《数学原理》严密的定义和推导过程中，哪个地方没有逻辑而只有数学？！”(24)
《数学原理》的写作是一项艰巨的任务。作者曾估计可能要花一年时间完成，但第一卷直到1910年才面世。从1907年开始，在接下来的3年里，罗素每年工作8个月，每天工作10小时。第一卷出版时，又一个问题产生了。签约出版这套书的剑桥大学出版社没想到这套书最终会有这么多页，出版它有可能会导致600英镑的亏损。出版社同意承担一半的亏损，如果作者能够承担另一半的话。伦敦皇家学会为自身的荣誉着想，捐助了200英镑，两位作者每人分担了50英镑。
然而与此同时，罗素还在努力解决悖论问题。他开始怀疑这些悖论构成了某种恶性循环，并寻求规避这个悖论的方法。开始，他曾尝试用一种称作类型论（the theory of types）的方法。这个方法的基本观点是区分个体、个体的范围、个体的范围的范围，依此类推。每一层次成为一个类型。他规定：如果表述“x是一个u”有意义的话，那么u肯定与x是同一层次或类型，或者比x的层次或类型高。他把这写在他的《数学原理》的附录里。尽管这个观念被大家纷纷议论了很多年，但这还是第一次出现在书面上。然而尽管它能够解决他的悖论，却不能对付康托尔的，所以他还是不能真正为之高兴。
有趣的是，庞加莱也曾经用同样的思路解决这些悖论。他认为悖论包括一个集合和它的一个元素，该元素的定义取决于作为一个单元的该集合。他称这种定义为非直谓的（impredicative），它在概念上与罗素称之为恶性循环的东西类似。排除这些集合就不会产生讨厌的悖论。这确实有效，但会给数学推导过程添加一个苛刻的限制。这样做最大的问题是：很多已确定的数学知识刚好都是建立在这种集合上的。
1905年，罗素用了一些新想法再次尝试。这一次针对这个问题，他摸索出三个不同的方法：曲折论（the zig-zag approach），在考虑定义清楚的类时，对命题函数（propositional function）的复杂程度加以限制；限量论（limitation-of-size theory），制定规则以防止某些类过大而引起矛盾；非类论（no-classes theory），提议完全废除类。这些方法中的每一个都成为后来研究的对象。罗素在一篇名为《关于超穷数和超穷序型理论中的一些困难》（On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Types and Order Types）的论文中提出了这些方法。1905年12月14日，他在伦敦数学学会上宣读了这篇论文，并把它发表在1906年3月7日的《伦敦数学学会会报》（the London Mathematical Society's Proceedings）上。论文中，罗素以这样的评论开头：“在某些逻辑推理的思考方法帮助下，我们可以相信三个理论中的每一个都是合理的。”(25)
备受推崇的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱却对这些进展冷眼旁观。
他于1854年4月29日生于法国的南希（Nancy），比罗素大18岁。在一个专业化迅猛发展的时代，他是为数不多的涉猎广泛的数学科学家之一。在世纪之交，他已经在好几个领域颇有建树，包括数论、拓扑学、概率论和数学物理学的诸多领域。另外，他还写了一套关于天体力学的三卷本著作，这套书直到现在仍很著名。他甚至在狭义相对论方面做出了开创性的工作，这为后来的科学哲学发展作出了重要贡献。
他的年轻时光是在一群充满智慧和富有成就的人中间度过的。在家里受过短期的教育后，他分别南希中学、综合理工大学、矿业学院（the School of Mines）就读，接着是巴黎大学，在那里，他于1879年获得巴黎大学数学科学博士学位。他的博士论文是关于微分方程的。1881年，他成为一名讲师；1886年，他成为巴黎大学的一名正教授。他一直在这里工作直到1912年去世。
当时他的视力差、身体弱、社交能力不行，使他成为被取笑和欺负的对象（在某些场合，这样的情景我们可以想象得到），但在他年轻时学习和工作的地方，他的杰出才能都让他在同学、同事或同行中显得鹤立鸡群。
他的学业刚结束，他取得的数学和科学成果就让人印象深刻：他在数学物理学上出版了30多本书，在数学方面发表了近500篇论文。他还在科学哲学上写了很多受欢迎的文章和长达三卷本的书，都被认为是这个领域的经典。著名的科学史家詹姆斯·R·纽曼（James R. Newman）对庞加莱的写作风格作了一个有趣的评论：“除了他的句子有些高卢人的风味外，他流畅、精妙的风格很像伯特兰·罗素。”(26)我们很快就能够比较他们的作品了！
庞加莱工作方法上的某些特别之处对我们了解他有些帮助。他的工作时间很特别——从上午10点到中午，从下午5点到7点。在晚上，他读期刊。虽然他阅读面广泛，但他没有利用别人的成果来开展自己的研究思路。在他自己的研究工作中，庞加莱直接从最基本的地方入手来得出他的观点。这种研究方法从他的早年就开始了，也说明了为什么他在综合理工大学上所有数学课时能够一条笔记都不做。这不是因为他能够记住所有的东西，而是因为在他需要的时候，他就能推导出这些东西来。他的传记作者之一E·图卢兹（E. Toulouse）后来说，庞加莱在写论文时经常不做一个全局的计划——的确，他可能不知道他怎样结束论文，就开始提笔写了。
到和罗素发生争论时，庞加莱获得过所有能够获得的奖章和奖金，还曾被选为最显赫的科学和数学组织的成员。这些荣誉中的一个似乎给他的研究生涯带来了转折。1887年，他年仅32岁就被选为法国科学院的成员。这显然使他比以往更有的兴趣去与公众打交道，他开始为更多读者写东西。他写的非技术类书籍和文章总数接近100本（篇），几乎全部都是在他选入科学院后写的。
他在国内国外的声誉日隆。他经常被邀请为大众就数学和科学发表演讲或撰写文章，当然这对他很简单。作为一位数学家和科学家，他是不平凡的，因为他有着异常广泛的兴趣并且都能掌握它们。他博览群书并清楚周围发生的一切。他还开始更多地关注自然和数学哲学的基本问题。
与克罗内克和他同时代的其他人一样，对于在当时生根的新数学观念，他有一些非常明确的想法。例如他认为：没有必要去给整数下定义或者将它们的性质公理化；如果不能用有限的语句给一个对象作出清楚而完整的定义，我们就不能引入它。
他称集合论是一个病例，并预测：“后人会认为（康托尔的）集合论是一场我们设法痊愈的病。”(27)
他认为一些数学观点比逻辑更基础，不能用逻辑术语来表述。1904年，他写道：“运用逻辑，我们证明；利用直觉，我们创造。”后来他声明：“因此，如果没有直觉的浇灌，逻辑还是荒漠一片。”(28)
考虑到他所笃信的数学理念，他倾向并主要研究应用数学就不奇怪了。他说：“经验是所有真理的唯一来源。”(29)虽然这最终导致他去深刻思考科学知识的基础这个问题，他对具体有形事物的倾向还是根深蒂固。这样，与视无穷为一个实在且可演算的概念的康托尔形成对比，庞加莱反对无穷集的主张。实际上他主张：“实无穷是不存在的。无论多少事物已经存在，我们称为无穷的东西只具有创造新事物的无限可能性。”(30)莫里斯·克莱因写道：
（庞加莱）非常讨厌严重依赖符号逻辑的方法，在他的《科学与方法》（Science and Method）中，他甚至对这种行为作了讽刺。（塞萨尔）布拉利-福蒂（（Cesare）Burali-Forti）在1897年的一篇文章中针对整数运用了一个这样的方法，人们会发现文中用了令人晕眩的符号来定义1这个数，谈到这时，庞加莱评论说，对于以前从来没有听说过1这个数的人来说，这是一个极好的定义，很合适让人们了解它。(31)
在另一篇庞加莱的早期文章中，他发表了一个更偏激的声明，他写道：
逻辑有时候制造怪物。半个世纪（以来），我们已经看到，一些怪异的方程出现了，它们看起来竭力要跟有些实际用途的方程尽可能地不像……以前，发明一个新的方程是为了一些实际的目的；现在，它们发明出来，就是为了给我们前辈的推导找茬，除此之外，我们永远也不会从中得到什么。(32)
因此，看到庞加莱成为倚重集合论的逻辑主义的主要反对者，我们就不会奇怪了。有一段时间在法国，罗素的逻辑主义主要反对者是法国数学家路易斯·库蒂拉特（Louis Couturat），他在1904年和1906年发表了一些文章。庞加莱正找不到地方发泄他的情感，而这时罗素的文章发表在1906年的《伦敦数学学会会报》（Proceeding of the London）上，庞加莱决定：该作出行动了。
正是在这个时候，庞加莱决定对罗素的逻辑主义发起一个全面的批判。法国期刊《形而上学与伦理学杂志》（Revue de Metaphysique et de Morale）于1893年开始出版，它的目标是使哲学和各种科学（道德的，自然的）能相互理解。庞加莱已成为主要的投稿者之一。因此，他选择在这里发起他的批判。在罗素的论文发表仅仅两个月后的1906年5月，庞加莱以《数学与逻辑》（Les mathematiques et la logique）为题刊发了他的反对文章。而这篇文章只是“跳板”。
庞加莱从回溯康托尔开始他的批判。在简短地介绍了康托尔的集合论后，庞加莱写道：
很多数学家跟随（康托尔的）指引……在他们的眼中，为了用真正逻辑的方法教算术，我们应该从确定超穷基数的一般性质入手，然后从它们中间区分出一个非常小的类，即普通整数的类。由于这条便道，我们会在证明所有与这个小类相关的命题（也就是说，我们所有的算术和代数）上取得成功，而无需运用任何与逻辑不相关的原理。
然而庞加莱主张：
这种方法显然与任何健全的心理相悖；当然，人的智力也不是用这种方法在构建数学中取得进展的。因此我想，它的作者该不会梦想到在中学教学中引入这种方法吧。它符合逻辑吗？或者这样说更好，它是对的吗？这让我疑惑……
他接着说：
不幸的是，他们得出了称之为康托尔悖论（Cantorian antinomies，就是指那些悖论）的矛盾结果……这些矛盾没有让他们沮丧，他们努力去修正他们的规则，以便让那些已经不言自明的矛盾消失。尽管如此，他们还是不能确定，新出现的矛盾是否也是不言自明的。
该是对这些不实学问进行审判的时候了。我不奢望让他们明白，因为他们已经在这种氛围中呆得太久。另外，当他们的一个例证被驳倒后，我们肯定会看到它以一种无意义的变化形式复活了，它们中的一些已经从它们的骨灰中复活过好多次了。
然后，他说：
这样，可以被理解为，说明一个定理，知道它是什么意思既没有必要，也没有什么优势可言。几何学家也许会被“逻辑钢琴”（logic piano）所替代……或者如果你愿意，可以想象一台机器，一端输入假定，另一端就会输出定理，就像传说中的芝加哥机器一样，扔进活猪，出来的都变成火腿和香肠。除了这些机器，对于他们所要做的，数学家们不需要知道更多。
因此，从假定推导到定理的逻辑正确性不应该是唯一让我们投入的事。完美逻辑的规则是数学的全部吗？这就好比说，下棋的全部美妙之处就在于移动棋子的规则。在所有能由逻辑提供的材料建立的构造中，我们必须做出选择。真正的几何学家会明智地作出这种选择，因为有可靠的直觉或模糊的意识在指引着他。我知道，这种模糊的意识不会是更深奥和更隐秘的几何，只凭它就可以赋予这栋在建造的大厦以价值(33)。
这里是庞加莱对于罗素尝试解决“悖论”的几个评论：
依据曲折论，当“定义（命题函数）很简单时，它们决定一个类；当它们复杂和含混时，它们不能决定一个类。”现在，谁来决定一个定义是否可以被认为简单到能被接受？如果不对完全无能为力做一个忠实的坦白的话，这个问题就没有答案。（讽刺性地引用罗素的话）“那些让我们认识到这些定义是否正确的规则将会极其复杂，不能用任何合理的原因来解释它们。”……除了排除悖论以外，我还没能找到任何其他的指导性原则。
庞加莱这样结束这一个观点：
因此，这个理论仍然很含混；于是，黑暗中出现了一线曙光——“曲折”。罗素称之为“曲折”的这个词毫无疑问就是使艾皮米尼地斯狡辩（the argument of Epimenides）显得与众不同的独特之处。
庞加莱指的是艾皮米尼地斯的话“我在说谎”。这句话引出了一个悖论。如果他在撒谎，那么他在说真话；如果他在说真话，那么他在撒谎。
关于限量论，庞加莱争辩说：“如果一个类范围太广，它将没有理由存在下去。也许它可以是无限的，但它不应该大得过分了。但我们经常反复遇到同样的难题：在哪一个点上，它才开始变得过大？当然了，这个难题还没有解决，但罗素就接着去讨论第三个理论了。”(34)
接着，庞加莱矛头转向罗素的非类论。不过首先提醒大家注意，这是罗素在《会报》上发表的论文的结尾部分，罗素已经加了一个附录：“通过进一步的研究，我现在感觉到，对于这篇论文第一部分中叙述到的所有难题，非类论都能提供一个完整的解决办法，这几乎是没有什么疑问的。”(35)
庞加莱不是很赞成这种说法。他指责说，
在非类论中，不允许说“类”这个词，这个词必须用各种委婉的说法来代替。对于只谈类和类的逻辑来说，这是多么大的一个改变啊！重组整个逻辑变得很有必要。想象一下，在谈论一个类问题的地方，整页的逻辑会让所有的命题看起来怎样地压抑啊？在一页乏味的论述之中，将会只有零散的命题幸存下来。Apparent rari nantes in gurgite vasto（在一个巨大的漩涡中，只看到到处有人在游泳。）(36)
在继续谈到罗素的反应和反击前，我最好多写一点庞加莱的指责：
在多产的问题上，看起来库蒂拉特先生有些天真的幻想。照他的说法，逻辑给了创造以“支柱和翅膀”。接着，在下一页中有“10年前，皮亚诺就出版了他的《汇编》（Formulaire）”。有翅膀10年了，还没有飞起来，怎么会这样呢？
我对皮亚诺致以最高的敬意，他出产了很多杰作（例如，“空间填充曲线”这个现在弃用的术语）。但终归是，他还没有比大部分没有翅膀的数学家走得更远、更高、更快，也许他用他的双腿行走会更好。
相反，在逻辑中，我只看到了束缚创造的镣铐。它对简明没有帮助——而且差得很远。如果在说明1是一个数时需要27个函数，那么，要证明一个实定理的时候得需要多少个函数呢？(37)
为了确保庞加莱明白他的观点，罗素在庞加莱家乡的《形而上学与伦理学杂志》上做出他的回应。在1906年9月这一期上，他这样开头：
我相信，庞加莱先生发表在这份期刊上的文章《数学与逻辑》（1906年5月）误解了我关于逻辑的性质和目的……同时，它还提出了困扰超穷集合论悖论的一个解决办法。庞加莱先生主张，这些悖论都起源于某种恶性循环，在这一点上，我同意他的说法。但他没有意识到避免这种恶性循环的难度。我应该努力说明，如果要避开它，像我的“非类论”之类的东西似乎是必需的。的确，正是为了这个目的，我发明了这个理论。(38)
接下来是大约20页的解释，其中还包括对庞加莱的指责的其他回复。
一个特别有趣的例子是他对庞加莱轻视皮亚诺的回复。罗素回应说：
对于庞加莱先生对皮亚诺先生的评价，我必须满怀谦恭地斗胆提出与他不同的一点意见。（接下来罗素复述了庞加莱的指责——他还没有比……没有翅膀的数学家走得……，也许他用他的双腿行走会更好。）
现在，我要向庞加莱先生表明，这只是说明皮亚诺先生的工作没有引起他的兴趣的一种表述方法。皮亚诺先生已经锻造出一个对某些研究来说具有巨大力量的工具。我们中的一些人对这些研究感兴趣，从而对皮亚诺先生充满敬意。我们认为，他正如我们中的这些人所敬重的那样，比那些忽视他的“无翅膀”的数学家走得远和快得多。(39)
对于庞加莱对罗素非类论的评价，罗素这样回答：
如果庞加莱先生能够抛弃对逻辑与数学任何其他门类都截然不同的信念，他也会意识到：在倡议不把类当作独立的实体上，我不是在倡议做出一个改变，以使它对于“重组所有逻辑”将是必须的；我也不希望禁止人们“说‘类’这个词”，就像哥白尼希望禁止人们说日出一样。
换句话说，庞加莱的问题只是他不了解罗素在做什么。罗素写道：
也许，一个类比会让大家明白，这个改变根本就不是那么大。现在广为接受的无穷小量微积分学，既不运用无穷小，也不以它为前提。但是这在多大的程度上改变了无穷小量微积分的面貌？几乎没有。某些证明被重写，某些困扰18世纪数学家的悖论已经解决了；否则微积分的规则会几乎没有改变。(40)
罗素总结道：
庞加莱先生告诉我们，“逻辑中更清楚的观念”不是我们需要的，但他没有向我们揭示他做出这个重要发现的过程。对我来说，我只能想，他对避免恶性循环的尝试说明了那些轻视逻辑的人的命运。(41)
在又一次的反击中，庞加莱写道：
不存在……实无穷。康托尔主义者已经忘了这个，并且他们已陷入矛盾中。的确，康托尔主义有用，但这是在运用到一个术语被精确定义的实际问题时……
像康托尔主义者一样，逻辑主义者也会忘了它，并遭遇同样的困境。
后来他又说：
罗素察觉到了这种危险，并听取了劝告。他想改变一切，而且很容易理解的是，他不光在准备引进新的原理，这些原理的应用在以前是禁止的；他还在准备禁止一些他以前认为合理的应用。他已烧毁的他又重拾起来，他喜爱过的他又打算烧毁，而这种倾向更严重。他不给大厦加上一个新翼，反而掏空它的根基。(42)
罗素在一篇新的论文中做出了回应，题目为《以类型论为基础的数理逻辑》（Mathematical Logic As Based on the Theory of Types），发表在1908年的《美国数学杂志》（American Journal of Mathematics）(43)上。在文中，他提出一个新的类型论。1909年，庞加莱在《形而上学与伦理学杂志》上发表名为《无穷的逻辑》（La logique de l'infini）的文章做出回应。文中，他给出了解决困扰逻辑悖论的方法，事后表明这是他在这上面最后的建议(44)。
1. 只考虑能用有限语句定义的对象；
2. 永远不要忘了，每一个关于无穷的命题肯定是一个关于有限的、转化了的、有所删改的陈述。
3. 避免不肯定的定义和分类(45)。
对于有限与无穷的区别，庞加莱在他1909年的文章中说：
罗素先生将会毫无疑问地告诉我，它们没有心理学上的区分，只有逻辑和认识论上的区分。我不得不被迫做出回应：没有独立于心理学的逻辑和认识论。这段信念的表白大概会结束这场讨论，既然它将展示我们观点上无法调和的分歧。(46)
然而对罗素来说，这场争论还没有完。1910年5月，他再次在庞加莱家乡的刊物《形而上学与伦理学杂志》上发表名为《逻辑类型的理论》（La theorie des types logiques），以做出回应。这时《数学原理》的第一卷即将面世了。在它的绪论中，与这篇最新的文章一样，他提出了他在逻辑论上最新的想法。
在文章中，他再次讨论起几个主题，包括他对“要避免的悖论都起源于某种恶性循环”的赞同。在文中，他还加上了一些关于类的最新的权威性研究(47)。
接着，他对他早期的研究做了拓展。在这篇文章的后面，他再次解释了他的类型论。(48)在更后面他写道：“庞加莱先生的文章《无穷的逻辑》（La logique de l'infini）中有一点需要做点解释。他（庞加莱）断言（第469页）：‘除非我们假定序数论已经成立，否则类型论依然是不能理解的’。这个断言对于我（罗素）来说，似乎存在着某种混乱。”(49)——这是罗素继续要竭力消除的。
这种交流还会继续下去吗？也许会——但是命运不允许。在这之后不久，庞加莱因为前列腺问题生病了。他在一个疗养院接受了一个手术，看起来他恢复得很好，但却出现了并发症。1912年7月12日，他去世了。
庞加莱（和其他人）的反对，对罗素和他在逻辑主义上的观点有什么影响？1938年，在他1903年的《数学原理》的再版中，我们可以找到一个相当清楚的画面。可喜的是，他决定“这本书现在所具有的兴趣是历史上的，它存在于这样一个事实中：它代表了在它这个科目发展中的某个阶段。因此，我没有改变任何东西，但在这篇前言中，我应该尽力说明白：在哪些方面，我坚持它表达的观点；在另外哪些方面，对于我来说，后续的研究似乎表明它们是错的。”
总而言之，他告诉我们：“下文关于数学和逻辑是同一的基本论题，我从来没有看到有任何理由要去修改它。”(50)（就是说，从1903年到1938年。）然而看起来有些东西一直让人困惑，包括逻辑本身的定义，“因此，定义逻辑或数学决不简单，除非运用一些给定的前提”(51)。
他也提到了庞加莱。即使在1938年，这时庞加莱已经去世26年了，罗素仍然认为有必要去疗救因庞加莱著名的评论所造成的伤痛。他写道：
我还是回到悖论的问题和类型理论。亨利·庞加莱认为数理逻辑对发现没有帮助，因而钻研它是白费工夫，并且他还对悖论的出现感到欣喜，“La logistique n'est plus sterile；elle engendre las contradiction！”然而，以前被所有逻辑学家接受的前提会引出悖论，数理逻辑所要做的就是让这些悖论变得明显，不管数学有多么无辜。这些悖论不一定都是新近出现的，有一些可以回溯到古希腊时代。(52)
但罗素不至于蠢到认为他的逻辑主义理论这些年一点变化都没有。他在前言的后面承认：
在数理逻辑中，还是有很多有争议的问题，它们……我不打算去解决它们。我只一次提到过关于这些悖论的问题，但在我看来，自从我写《数学原理》（1900—1903）以来，（数理逻辑）已经有了非常明确的进步……对我来说，在这中间的34年，我们所需要的哲学上的变化似乎部分归功于数理逻辑在技术上的进步。(53)
当然有变化。正如克莱因指出的：“尽管在《数学原理》的第一卷中，罗素和怀特海毫不犹豫地引进无穷公理和选择公理，但他们在后来确实放弃了这种做法。他们不仅承认逻辑的基本定律不是绝对的真理，而且承认这两个公理不是逻辑的公理。在《数学原理》的第二版中，这两个公理没有出现在书开头的列表中，在需要它们证明某些定理时，对它们的应用也作了特别说明。”(54)
实际上在后来的这些年，比起他更加乐观的早年，罗素不再对他的观点抱有终极成功的自信了。在他1938年《数学原理》的前言中，他已经没有那样说了，这要部分地归因于1931年哥德尔对一致性与完备性不相容的证明。（详见第7章）这样做会导致逻辑主义前景黯淡，就像它在早年闻名遐迩一样。
但是正如罗素所说，一般而言，值得怀疑的原因“有两个相反的方面：首先，在数理逻辑中有某些没有解决的难题，这使它看起来没有人们心目中的数学那样确定；其次，如果数学的逻辑基础是能够接受的，那么它能证明（或有助于证明）很多东西，比如格奥尔格的理论——由于一些没有解决的悖论（逻辑中也有这些悖论），很多数学家都对它表示怀疑。这两种相反的批评有两类代表：希尔伯特领导的形式主义和（鲁伊兹）布劳威尔领导的直觉主义”(55)。
在下一章中，我们将讨论这两个数学思想的学派，它们与逻辑主义的联系以及在20世纪早期困扰数学的信心危机中所扮演的角色。
现在，围绕罗素逻辑主义的争议可能和以前一样多。例如，圣母大学（the University of Notre Dame）的迈克尔·迪特弗森（Michael Detlefsen）说：“对于庞加莱的康德哲学观点，罗素所谓的驳斥是不对的。”他主张：“最后我们发现，逻辑学家所声称的数学推理能够‘逻辑化’以及可以严格地完善都是站不住脚的。”(56)一些研究者认为，逻辑主义依然太让人困惑，也太虚弱，以致不堪大用(57)。但有其他人相信，经过适当的改进，它仍然将是一个有用的方法(58)。
但是通过这种或那种方式，从罗素的那个时代直到现在，罗素的逻辑主义带动了如此众多领域的发展，如哲学、数学、语言学、经济学；特别是今天日新月异发展的计算机科学，更要归功于它(59)。
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(1) 罗素，1959年，第76—77页。
(2) 罗素的术语“类”和现在用的“集合”具有同样的意思。
(3) 罗素，1959年，第75—76页。
(4) 罗素，1959年，第74页。
(5) 罗素，《神秘主义与逻辑》，1918年（？），第70 —71页。
(6) 罗素，1938年，第v页。
(7) 诺德曼，琼斯文集，1966年，第619页。
(8) 罗素，1967年，第17—18页。
(9) 在等腰三角形中，两个底角相等。如果将两腰延长相同长度，所产生的两底角也相等。
(10) 罗素，1967年，第37—38页。
(11) 莫哈德（Moorhead），1992年，第42页。
(12) 罗素，1967年，第87页。
(13) 同上书，第90页。
(14) 《一个集合常用理论的基础》（Grundlagen Einer Allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre），1883年。
(15) 这本书的英文名是《Concept Notation》。概略来说，它是弗雷格在逻辑方面出版的第一本书（1879年）。
(16) 罗素，1967年，第91页。
(17) 罗素，1967年，第187页。
(18) 克莱因，1972年，第1192页。
(19) 罗素，1938年，第xvi页。
(20) 奥康纳和罗伯特森，2002年，在线查得。
(21) 参见：如基切尔（Kitcher）和阿斯普雷（Aspray），“一个武断的介绍”，阿斯普雷和基切尔文集，第14—16页。
(22) 罗素，1967年，第217—218页。
(23) 罗素，1919年，第5页。
(24) 伯顿，1991年，第655页。
(25) 罗素，1973年，第145页。
(26) 纽曼，1956年，第1377页。
(27) 克莱因，1972年，第1003页。
(28) 奥康纳和罗伯特森，2003年，第5页。
(29) 引自：诺德曼，琼斯文集，1966年，第619页。
(30) 克莱因，1980年，第233页。
(31) 同上。
(32) 庞加莱，1906年，庞加莱文集，1946年，第435页。
(33) 庞加莱，1906年，庞加莱文集，1946年，第449、451、452页。
(34) 庞加莱，1906年，庞加莱文集，1946年，第479—480页。
(35) 罗素，1906年，罗素文集，1973年，第164页。
(36) 庞加莱，1906年，庞加莱文集，1946年，第480页。这句话源于维吉尔的《埃涅阿斯纪》（Aeneid）（I. 118）。它描述了在一次风暴中，埃涅阿斯的船在伽太基（Carthage）近海遭遇的一场由海王引起的海难。
(37) 庞加莱，1906年，庞加莱文集，1946年，第472页。
(38) 罗素，1906年，罗素文集，1973年，第191页。
(39) 同上。
(40) 罗素，1906年，罗素文集，1973年，第192页。
(41) 同上书，第213—214页。
(42) 庞加莱，1906年，庞加莱文集，1946年，第484、485页。
(43) 参见：罗素，1908年。
(44) 参见：《罗素文集》编者概要，1973年，第133页。
(45) 在早些时候，罗素把肯定作为定义类的性质。1906年，庞加莱提出只有某些性质不包含恶性循环时，它们才是肯定的。后来，庞加莱和罗素都定义肯定的意义为不包含恶性循环。
(46) 戈德法布（Goldfarb），1988年，第79页。
(47) 罗素，1910年，《罗素文集》，1973年，第215页。
(48) 同上书，第244—250页。
(49) 同上书，第252页。
(50) 罗素，1938年，第v页。
(51) 同上书，第xii页。
(52) 同上书，第xii—xiii页。
(53) 罗素，1938年，第xiv页。
(54) 克莱因，1980年，第311页。
(55) 罗素，1938年，第v页。
(56) 迪特弗森，1993年，第49页和28页。
(57) 参见：如范·埃夫拉（Van Evra），2003年，第387页。
(58) 参见：如兰贝克（Lambek），1994年；林德斯基（Linsky）和萨尔塔（Zalta），2004年。
(59) 参见：如兰贝克，1994年，第59页；布罗德本特（Broadbent），第15页；西蒙尼斯（Simonis），1999年，第172—173页；克莱因，1972年，第1197页。
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