在上一章，您读到了矛盾、悖论以及动摇数学根基的危机。危机这个词，我们不能把它解释得太宽泛。数学的方法论从来都不是问题。在这些年里——就是说20世纪的早期，研究和应用它的人一直都把数学技术运用得非常好。在自然科学（在相对论和量子理论方面，科学取得了显赫的进步）、人文科学以及其他领域中，这种看法尤其正确。
一旦确定了这种认识，所要做的就是不要加上一些太苛刻的限制，即使在集合论中发现的悖论所造成的困难也已大半克服了。
换句话说，这些困难和更激烈的争论跟数学技巧没有关系。恰当地说，它们跟数学的基础有关，也跟数学知识的范围所涉及的问题有关。某些数学上的发展无疑给了它们动摇数学根基的动力。这些发展，我们在前几章讨论过。
有一段时间，伯特兰·罗素的逻辑主义（详见第8章）似乎能解答一些使研究者们苦恼的问题——确实它甚至能为稳固数学基础提供必要的根基。然而随着鸿篇巨制的《数学原理》第三卷在1913年出版，这项运动（逻辑主义）开始衰落。这套书备受推崇，但读的人很少。通过各种方法，罗素的逻辑主义避开了各种悖论，但他还是没能说明他的体系能够不产生矛盾。
计划好的第四卷——特别集中处理几何的基础问题，主要由A·N·怀特海撰写——因为第一次世界大战的爆发中断了。罗素把他的注意力转到和平事业，并跟英国政府产生了矛盾。1918年，他因诋毁美国军队，被判处6个月监禁。在狱中，他写了《数理哲学导论》（Introduction to Mathematical Philosophy）（1919）。这本书是《数学原理》的一个介绍，也就是说，这是一个尝试，用以使他的逻辑观念更容易为专家所接受，也使之更容易为“那些有必要了解这门重要现代科学方向的更广大圈子”所接受。(1)然而，更倾心于哲学的怀特海，在1924年离开英国去美国教书了。
与此同时，经过很长时间，数学界领会了戴维·希尔伯特的代表作《几何基础》。这本书出版于1898年至1899年，出版后被翻译成各主要欧洲国家的语言，事后证明它极具影响。
在20世纪的早期，希尔伯特已经声名卓著，在不变量理论和变分法方面，他做出了开创性的工作，还出版了一本极其重要且富有影响的几何学著作。他被选为很多国家的科学院的院士，并荣获德国政府的枢密院顾问头衔，这相当于英国的爵士。
希尔伯特受邀在第二届国际数学大会（巴黎，1900年）上演讲，他列出了数学家在当时面对的最富挑战性的问题。在演讲中他谈到10个问题，开头三个都是关于数学基础的。第一个问题要求证明康托尔的连续统假设，我们在第7章中讨论过。第二个问题是寻求算术公理一致性的证明——也就是说，证明用基于这些公理的有限逻辑步骤永远不会导致矛盾的结果。广而言之，他在探讨数学的基础本身。正如他在这篇演讲中所说的：“证明（算术）公理的相容性的同时，也是在证明实数或连续统的完备系的数学存在。”(2)
第三个问题是公理化那些数学在其中扮演重要角色的物理科学(3)。
过了4年到第三次大会的时候，由于各种（详见第7章和第8章）悖论的出现，对这些基础问题，很多数学家已经产生了不确定的感觉。
希尔伯特看到：“事情的现状是难以忍受的。只要想想，每一个人在数学中学的、教的和用的定义和演绎方法——确定性的典范和真理——都将导致谬论，这是多么可怕的现实！如果数学思考是有缺陷的，我们到哪里去找真理和确定性？”(4)他想他在几何的公理化上有过成功，为何不把同样的方法用到所有的数学中去？他对大会建议：“我相信，我所设计的所有问题都是可以征服的，通过我称之为公理化的方法（我希望现在能找到它主要的观点），能够得到一个完全让人满意的数字概念基础。”(5)
在他的观点中，有一个企图让公理化体系更普遍的愿望。他想建立首尾一致的算术公理体系和从它们开始的推导步骤。他还认为，给罗素等人带来麻烦的悖论是由所用语言的语义内容造成的，也就是说是由语句的模糊造成的。例如，从1891年开始，希尔伯特就这样主张：“在所有的几何表述中，用桌子、椅子、啤酒杯这些词来代替点、线、面应该是可能的。”(6)他的目标是希望能按照专门或正式规则来处理数学符号，而不需要理会这些符号的“意思”（具体的、抽象的、直觉的）。一个大致的类比是象棋棋子的规则（这个类比也许不完全准确）：象棋棋子的名字只是提示性的，而不决定象棋的走法。象棋的走法完全取决于惯例和游戏的规则。
就这样，希尔伯特名之为形式主义的学派诞生了。有趣的是，最开始用“形式主义”这个词的是布劳威尔。事实上，他专门用它来形容希尔伯特式的形式主义。他不加区别地把康托尔和弗雷格-罗素（详见第8章）归在经典（就是说非直觉主义的）数学一类。
此外，在后来以形式主义者著称的人所做的工作基础上，其他人也做过一些早期的工作，如庞加莱和库蒂拉特(7)。然而，希尔伯特把这些零散的成果汇集起来，产生了有一个名人和一批追随者的，能称之为学派的力量。毕竟直到那时，他还是欧洲最重要的数学家之一，只有庞加莱的名声比他响，因此他所主张的任何东西都很受重视。
但是在20世纪早期，形式主义还仅仅只是一些粗糙的观念，没有经过审慎、彻底的思考，也没有明确的阐述。但在数学的基础研究中，那些领先的成果开始从英国传到德国，从罗素传到希尔伯特和他的追随者，这种发展的势头已经足够让人满意了。同往常一样，这引出了一个小问题：有些人吸取一个观点后就会超范围使用它。在夸张的形式下，形式主义成了一种讽刺画：这就是认为数学仅仅是一种处理未标记的和未经诠释的符号的方法，因此它不过是一种游戏，没有多大意义。在某种程度上，这实际上是对托马斯·亨利·赫胥黎（详见第5章）立场的响应。但希尔伯特给他“未经诠释的”几何符号加上了额外的诠释因素，使这些符号能用形式规则处理。对于形式主义的夸张说法，希尔伯特与之没有关系。
无论如何，希尔伯特认为没有理由把形式主义者的观点再往前推进，他把注意力转向了数学分析，特别是积分方程和数学物理学中的一些问题。直到1917年、1918年，他才回到基础问题研究上来。
但就在这时，荷兰数学家鲁伊兹·E·J·布劳威尔却持有一个与希尔伯特针锋相对的立场，同时他正成为后来被称为直觉主义的数学学派的旗手。他相信人类存在着根深蒂固的关于数学基础的思考模式，大部分以数学方式呈示出来的东西只不过是装饰品而已。
布劳威尔的传记作者之一，沃尔特·范·斯蒂格特（Walter van Stigt）写道：“布劳威尔和希尔伯特都不具有一种气质，能够将数学争议控制在超然的职业辩论层面上。布劳威尔尤其需要一种人身挑衅来刺激他做出行动，他是一名斗士，需要有私敌来集中他的火力攻击。很难讲希尔伯特和布劳威尔在数学上的各个方面正好相反，但是现在，这场关于数学基础的辩论集中到了直觉主义和形式主义之间。这是一场战斗，目标就是争取谁能在国际上领先。”(8)
荷兰乌德勒支大学的数学与哲学教授德克·范·达伦在前几年写了一部布劳威尔的两卷本传记。他认为，起初，希尔伯特扮演了那个受辱的主角，但正是希尔伯特主导了后来的战斗。范·达伦说：“毫无疑问，布劳威尔不能容忍剽窃和侮辱，但他不会开衅引发冲突。通常他扮演防卫者的角色。”
范·达伦说，结果“这场本该纯粹是学术争论的冲突变成了一场针对个人的争斗。1928年，希尔伯特不满足仅由学生出面争论，开始攻击布劳威尔在数学界的地位。对希尔伯特在以前的论文和谈话中所持的敌意，布劳威尔已经不在意了，但希尔伯特还是这样做。”范·达伦认为，希尔伯特没有因此而受到责难是因为他在这个领域的地位——没有人胆敢批评他的论文。“当真正的决裂到来时，对于布劳威尔对他形成的有效阻碍，希尔伯特感到非常恼怒；对于这种不断累积的侮辱及所造成的伤害，布劳威尔也是忍无可忍。”(9)
结果范·达伦形容这两个人是“这个世纪数学世界里（将要形成的）最有影响的冲突中两个主要的敌手。”(10)爱因斯坦当时在一本杂志的编辑部工作，这本杂志在这场喧闹中扮演重要角色。他本可以成为这场冲突中的关键人物，但他一直保持中立。1928年，当这场戏剧冲突发展到了关键且相当残忍的高潮时，爱因斯坦形容这两个人及他们的追随者之间的争斗为青蛙与老鼠之间的战争。希尔伯特就是那只领头的老鼠。
尽管我们很难从爱因斯坦所用的“老鼠”这个词猜出它的意思，但在20世纪头10年，希尔伯特也许是当时最伟大的数学家（庞加莱已于1912年去世）。1862年，他生于柯尼斯堡（Konigsberg）的郊区，并在那里接受早期的教育。他的传记作者康斯坦斯·雷德（Constance Reid）说他的早期学校教育很传统，通常都是靠死记硬背，但是“看起来，他只有自己用脑思考一番才能真正理解些东西”(11)。然而他的数学学得很好，这很适合他这种大脑。雷德说希尔伯特的一个侄女后来回忆说，家里人都认为他有一点点痴狂(12)。
1880年，他进入柯尼斯堡大学，5年后，他在那里获得博士学位。1895年，他成为哥廷根大学的正教授，这所大学已发展成为数不多的不在大城市的数学中心之一。在那时，他已经展现出了他在数学方面的广泛兴趣和卓越能力。在他整个学术生涯中，很少有领域他没有做出原创性贡献的。
在某种程度上要感谢希尔伯特日益增长的声誉，哥廷根大学的声誉也在急速地增长，该校一直吸引着其他正在成长中的重要数学家，还有教员，也有学生。他们中间有赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909），希尔伯特聘他做教员，他后来成了希尔伯特亲密的朋友和同事。大学还在1899年招入策梅洛作无薪讲师。赫尔曼·外尔（Hermann Weyl ，1885—1955）在1903年来到哥廷根，那时他还是一个18岁的“农村小伙子”。后来，在新泽西州普林斯顿高等研究院（the Institute for Advanced Study in Princeton，New Jersey）工作时，外尔写道：“那一个学期，希尔伯特宣布开设关于数字的概念和求圆的面积的课，我擅自去听了。对我来说，大部分课都太难了，但一扇新世界的大门为我打开了。”(13)在即将到来的希尔伯特和布劳威尔之间的战斗中，外尔将成为一个重要的参与者。
在最终爆发的冲突中，希尔伯特广泛的兴趣是一个诱因。他早期的作品《几何基础》将他引回这个数学领域，他对基础问题潜在的兴趣是因素之一。正如我在上一章所说明的，这本书是他运用皮亚诺的原理，用一种严格的公理化方式重新构造欧几里得几何的尝试，尽管没有使用皮亚诺复杂的符号系统。皮亚诺的一个目标就是不借助直觉将数学用形式语言来表达，希尔伯特对此表示怀疑。他还认为用欧几里得几何作为几何的模板和基础是错误的。他和当时的其他人都认为，欧几里得几何有演绎式的结构，但它充满了隐藏的假定、不准确的定义和逻辑错误。希尔伯特希望为几何建立一个更稳固的基础，同时也消除对直觉的依赖。
几何学的其他进展也引起了他的注意。19世纪早期，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）、雅诺什·波尔约（Janos Bolyai）、本哈德·黎曼（Bernhard Riemann）和卡尔·高斯已经说明非欧几何是可能的，从而欧几里得的一个主要基本原理（平行公设）不再是正确的。此外，在欧几里得几何中，三角形所有内角的和是180度；而在非欧几何中，可能得到其他的值。希尔伯特认为，为了整合几何，再整合数学，使之更明确，必须通过剔除某些假设的方法来做尝试。
因为支持康托尔，他实际已经卷入了冲突。他还认为克罗内克的执着威胁了数学的进展。你会回想起，克罗内克想将数学与高度主观的直觉基础紧密联系起来，通过逐步建构，将其限制在一个真切实在的世界里。而希尔伯特正相反，他只要求逻辑表达的一致性。他确信，对于克罗内克极力反对的无理数，不应该排除在数字的世界之外。没有它们，分析领域将沦为不毛之地。
此外，希尔伯特还认为，为了加强数学的基础，支持康托尔在无穷上的观念将是必要的。他认为这不仅仅是一个数学问题。他写道：“对无穷的性质进行最后的澄清已经变得很有必要，这不仅是为了各门科学的专门利益，也是为了人类对自身理智的尊严。”(14)
但是，斯蒂芬·G·辛普森（Stephen G. Simpson）在《符号逻辑杂志》（Journal of Symbolic Logic）发表文章称，希尔伯特把无穷数学重构成一个博大精妙的形式体系的想法“导致了一个没有必要的知识灾难”。辛普森说：“这样做很容易被布劳威尔指责为空洞的形式主义。”(15)下面说的就是这种指责是怎样发生的。
鲁伊兹·埃格伯图斯·简·布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）通常以简称L·E·J·布劳威尔闻名。他1881年2月27日生于奥威斯切（Overschie），这地方现在是荷兰鹿特丹的一个郊区。在校期间，他表现很好。当他还是阿姆斯特丹大学的一个本科生时，就在四维空间的连续运动上做出了原创性工作。这使得位于阿姆斯特丹的皇家科学院在他还未毕业时就出版了他的著作。从1904年到1907年，他从事哲学和神秘主义的研究。1905年，他写了一本名为《生命，艺术和神秘主义》（Life，Art and Mysticism）的书。他的思想反映了一些对时代的浪漫想法，表露出一种对人类主宰自然（也就是世界）的拒绝。这包括反对对环境的开采和征服。作为一个真正的神秘主义者，他否认准确交流的可能性和语言的作用。这些观点都将使他对形式主义添上感情色彩。
他是什么样的人？他的天才是不容置疑的。对于他的性格，人们用愤世嫉俗、自私自利、神经过敏、情绪化和顽固这样的词来描述。在关于布劳威尔的传记中，范·达伦写道：“布劳威尔是一个神经过敏的人，压力之下，他很容易夸大事实。另外，他对正义有种极端的热情。正如路德维希·比贝尔巴赫（Ludwig Bieberbach）（后面我们会说到他）所说，他是一个正义狂（Gerechtigkeits-fanatike）。结果，他会在一种完全像是战争的情势中遭遇不正义——不管是针对谁。”(16)
作为一个学生，他回避社交，不善与人相处。在他最好的朋友（一个杰出的社会主义者、诗人）指引下，他学会了参加社会活动。慢慢地，他极度渴望结交朋友，而且高谈阔论成癖。
1907年，他从阿姆斯特丹大学获得数学和物理学博士学位。在那里，他的兴趣延伸到了拓扑学和数学基础，对这两门学科，在其一生中，他都作出重要贡献。尽管还只是个研究生，但在当时数学的讨论中，他有一些很强有力的观点，这些想法都体现在他的博士论文《关于数学基础》（On the Foundations of Mathematics）里。
关于庞加莱和罗素之间的争论，很明显他站在庞加莱一边。他争辩说虽然逻辑主义可能在某些场合有用，但它不能为数学提供一个稳固的基础。尽管罗素在宣扬数学依赖于逻辑，但布劳威尔主张逻辑依赖于数学。另外，尽管希尔伯特还没有完全发展出他在形式主义上的观点，但布劳威尔已经了解希尔伯特有足够多他不喜欢的东西。他批评希尔伯特的观点，举例说，不能保证有一个可以让人接受的数学结构能够满足一个连贯的数学定理的要求。他还对康托尔的超限数理论不满。
有趣的是，尽管布劳威尔激烈批评希尔伯特的计划，但这似乎不影响希尔伯特对布劳威尔的感觉。毫无疑问，这是因为布劳威尔的论文是用荷兰文写的，流传不广。比如在1909年，他们在迷人的海滨度假胜地席凡宁根（Scheveningen）会面了。显然晤谈很成功。比希尔伯特小19岁的布劳威尔向希尔伯特展现了他的语言和数学水平。后来在一封给朋友的信中，他形容希尔伯特为“世界上首屈一指的数学家。”1912年，希尔伯特不仅帮布劳威尔推荐了阿姆斯特丹大学的一个教授职位（直到那时，布劳威尔还是一个无薪讲师）。后来到1919年，希尔伯特还给他提供了哥廷根大学的一个教授职位——这绝对是一个晋升。但布劳威尔拒绝了（在将要到来的决裂中，这或许是一个原因）。布劳威尔一直呆在阿姆斯特丹大学，直到他1951年退休。
布劳威尔在拓扑学上的成就和他在基础数学上的观念为他赢得了一致的声誉，尽管在开始的时候他在直觉主义上的观点还不被广为接受。1912年，他被选为荷兰皇家科学院（Royal Netherlands Academy of Science）成员。自那以后，柏林的普鲁士科学院（the Prussian Academy of Science）、美国哲学会（the American Philosophical Society）、伦敦的皇家学会（the Royal Society）都选他为成员。他还获得过几个荣誉博士学位。
虽然也做过其他的研究工作，但他主要关注基础问题。1908年，他写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》（On the Unreliability of the Logical Principles）。这篇论文认为运用排中律（PEM，the principle of the excluded middle）的数学证明是不合理的。排中律是一个基本的逻辑定律，也是一个常用的数学技巧。排中律宣称每一个数学表述要么对，要么错，其他可能性都是不允许的。接着，1912年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。
布劳威尔认为排中律是用得过于自由的逻辑原理的典型。这个原理宣称每一个有意义的表述要么对，要么错，它是所谓间接证明方法的基础，这种方法允许用常规逻辑或利用矛盾的反证法。在这里，如果某命题不正确，我们可以通过实证产生一个逻辑矛盾来证明某些命题正确。布劳威尔拒绝接受排中律，坚持认为第三种情况是存在的。他使用“未决的”（undecided）这个词来称呼那些通过有限的推导步骤还不能决定是对还是错的表述。他经常置疑建立在排中律基础上的数学证明，称它们是“所谓的证明”(17)。
1920年，他声称：“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……（它）只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不能避免使用这个原理的定理是缺乏数学内涵的。”
希尔伯特回应道：“把排中律排除在数学之外就像……禁止拳手使用拳头一样。”(18)这个要求确实是个极端的限制，很多数学家和科学家都难以接受，特别是那些经常用到它的人。
第二年，布劳威尔开始宣传他的观点，这开始成为他余生的事业。尽管在1909年和1913年，布劳威尔在拓扑学领域里取得了优异的成果，但他从来没有发表拓扑学方面的演讲。上过他课的巴特尔·L·范德瓦尔登（Bartel L. van der Waerden）回忆说，他从来不看学生，不问问题，总是在直觉的基础上讲课。
在后来的采访中，范德瓦尔登说：“看起来，他不再确信他在拓扑学中的成果，因为从直觉主义的观点来说，它们不是正确的。他以前所做的工作、他最伟大的成就和他的错误，他都按照他的哲学来作评判。他是一个很奇怪的人，疯狂地爱着他的哲学。”(19)
当然，布劳威尔看待事物有点不同。在他1919年的论文《直觉主义的集合论》（Intuitionistic Set Theory ）中，布劳威尔指出他早期的拓扑学研究从直觉主义观点来看是不正确的。他接着说，这些工作中的大部分都可以用直觉主义框架来补救。他举了一些例子（例如不动点定理），说明这些成果的直觉主义形式如何得到证明(20)。
1917年至1920年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。大约1920年后，他认为是向外界发布这些成果的时候了。这显然是对希尔伯特工作的挑战。更糟糕的是，发表过一篇不寻常的分析基础方面名为《连续统》（The Continuum）的论文的外尔，这时转变了立场。1921年，外尔甚至又发表一篇新文章解释他的新立场，说在某种程度上，希尔伯特的方法将所有的东西都简化成了一种游戏。外尔曾经是希尔伯特的优秀学生，希尔伯特曾指望他成为一个忠实的追随者。1920年春天，在外尔写的一份稿件上，布劳威尔写了一些评论表达了他的想法，并把它送给外尔。布劳威尔以这样的话开头：“你毫无保留的支持给了我无穷的快乐……在一些小地方，我们有不同意见，这只会给我们更多激励。”(21)
对于这种变故，希尔伯特看得很重。有趣的是，大约1925年后，外尔试着在这两个争论者之间采取中立立场，但那时希尔伯特已经对他有成见了。
当1922年希尔伯特开始反击时，他写了一篇针对外尔和布劳威尔两人的文章。他首先陈述了他对数学基础比当前所取得的成就更需要深入研究的信念。接着，他写道：“杰出的、成就卓著的数学家外尔和布劳威尔正在通过肯定是错误的途径来寻找这些问题的解决方法。”(22)然后他解释了这样说的原因，并接着陈述他自己的观点。
他谨慎地指出，他针对连续统基础的方法“并不与直觉相悖。我们从直觉中得出的外延量概念不依赖于数的概念，因此如果我们在数与质量数或数量之间做一个基本的区分，它就会与直觉完全一致。”他接着写道，其他人都曾经仔细研究过这个问题，“如果外尔在这里看到了一个‘基础的内部不稳定，而整个（数学）帝国都建立在这个基础上。’如果他担心‘分析体系的瓦解即将到来’，那么他是见着鬼了。”
希尔伯特接着说：
当然，证明公理一致性的问题出现了。这是一个很出名的问题，几十年来我一直关注它。这个报告就是关于这个问题的解决方法的。
外尔和布劳威尔所做的基本上是沿着以前克罗内克所走的老路。抛弃所有令他们不快的现象，并按照克罗内克的方式建立专政来加以禁止，他们寻求通过这种方式来为数学树立基础。但这意味着肢解并毁坏我们的科学，如果我们追随这些改革者，我们将冒失去很大一批最宝贵财富的危险……我相信，就像克罗内克在当年不能消除无理数一样……今天，外尔和布劳威尔也将行不通他们的计划。不，布劳威尔不是外尔所相信的那样是一个革命者，而是一个重复者，他用着旧工具，尝试在当时用横冲直撞的方法发动一场政变，但还是彻底失败了。现在弗雷格、戴德金和康托尔加入了进来，这个阵营有了更多的武装，力量更强了，这种政变注定要失败。
在一些介绍性的内容之后，他说：“对公理一致性的表述，几乎没有这么认真的，无论是在数论、分析还是在集合论中。”(23)
在文中，为了回应外尔和布劳威尔的抨击，他提出了经过修订的大胆的新计划，这个计划为形式主义的学派树立了一个更新更牢固的基础。他继续在文中提出了对分析公理一致性的证明的大概想法，把数论建立在数“1”和符号“＋”的基础上。“当我们用这种方法发展数论时，不需要公理，也不可能有任何矛盾产生。”(24)文中剩下的部分他谈论了别的话题。然而范·达伦说：“希尔伯特从来没有成功地证明过他的论据。这有点像自行车内胎上的一个凸起（原文如此），每次他按下这个凸起，别的地方又冒出另一个。直接地说，这个问题极端的复杂。多年以后，在1936年，杰出的德国数学家格哈德·根岑（Gerhard Gentzen，1909—1945）最终成功地找到了关于超限过程完整而正确的分析方法。”(25)利用根岑的新方法，人们认识到希尔伯特的证明理论是一个极好而又有力的数学工具，对计算机科学尤其有帮助(26)。
外尔的事迹有一个有趣的后记。同样在1922年的那篇文章中，希尔伯特把布劳威尔和外尔当作一个团伙来抨击，无视他们两人之间观点的显然不同，例如他们对直觉主义的诠释。接着，如我在前面所提到的，大约1925年的时候，外尔开始稍微远离布劳威尔的直觉主义。从那时起，希尔伯特将他的抨击主要集中在布劳威尔的身上，但同时也无视外尔的转变。比如即使迟至1928年，希尔伯特还提起“他的学派将一切都简化为一个游戏”这个批评，并做出回应。但是你会回想起，这是外尔的批评，而不是布劳威尔的。
这次两人都认识到他们的争端存在于两个水平面上，理解这一点很重要。当然这里也有个人竞争，但两人也都在一个更广的意义上把自己看作救世主。也就是说，两人都认为数学处于一场根本的危机中，他们每个人都认为自己是那个能把数学从衰落和颓败中拯救出来的人。另外，至少希尔伯特的担心更甚。他认为：“如果数学失败了，人类的精神也会失败。”(27)
1928年，在他对希尔伯特新方法的一个回应中，布劳威尔写道：“所有这些表明，形式主义从直觉主义那里没有直接接受任何东西，但却从中受启发多，而且它还有望受益更多。”因此形式主义学派应该给直觉主义一些赞誉，而不是用轻蔑的语气攻击它，甚至提都不提作者的名字。并且，形式主义应该考虑这样一个事实：迄今为止，在形式主义的框架内，正确的数学知识没有哪一样得到了保护（既然公理系统的一致性的证明都还是缺失的）。
“在另一方面，直觉主义……已经建立了有着不可置疑确定性的数学新基础。”(28)对布劳威尔来说，任何语言，包括形式主义者的，都是有用的，但仅限于交流。布劳威尔的一个博士生阿伦德·海廷（Arend Heyting）在1930年恰当地写道：“建立一套与直觉主义的数学等同的规则系统在理论上是不可能的，因为思考的可能性不能简化为有限几步预先建立的规则。”(29)
回顾一下，我们可以看到，希尔伯特和布劳威尔在谈论着颇有分歧的观点。他们的分歧中至少有一点卷入了国家感情的冲突——奇怪的是，作为非德藉数学家，在一本黎曼的纪念册上，他强烈反对收入一些法国数学家的名字，这让希尔伯特很恼火。最后，他们的争论牵涉到了更多的个人偏见——双方都这样。
尽管布劳威尔没有希尔伯特那么有名，但他还是在数学界树立了牢固的声誉。1925年和1926年，他开始在诸如《数学年鉴》（Mathematische Annalen）这样的杂志上发表论文。1914年，他被任命为这个备受尊敬的杂志编辑部的成员，从那以后，他谨慎并慢条斯理地为杂志工作着。这项任命是一个荣誉，也是对他在数学界里所受尊敬的表示。
但即便在这里，他暴躁的脾气也产生了负面影响。费利克斯·克莱因（Felix Klein）是杂志的主编之一，他已经决定要辞职，很显然这是因为和布劳威尔发生争执引起的——这场争执中，布劳威尔实际上是对的，但他表现得太粗鲁了，于是克莱因决定引退。这是一个让人震惊的结果，因为克莱因已经为《数学年鉴》工作了好多年，在某种程度上，他已成为总编辑，为杂志的成功作出了巨大的贡献。
但希尔伯特也是《数学年鉴》的主要编辑之一。对布劳威尔来说很不幸的是，用今天的话来说，他只能称为助理编辑，而希尔伯特是主编之一。实际上，在克莱因引退之后，希尔伯特接手了大部分的工作，结果这本杂志开始有了“属于”哥廷根大学数学家的名声。我们可以从希尔伯特下一步的行动看到，他们之间的争端升级到了什么地步。
在1928年10月底之前不久，布劳威尔收到了一封来自希尔伯特的信。信是这样写的：
亲爱的同事：
既然我们俩在基础问题上的观点无法调和，我和你合作是不可能的了。我已经就授权问题征求过《数学年鉴》执行编辑部成员们的意见，布鲁门萨尔（Blumenthal）和卡拉西奥多里（Caratheodory）（奥托（Otto）和康斯坦丁（Constantin），是另外两位执行编辑，阿尔伯特·爱因斯坦是第四位）已经授权给我通知你，从今往后，我们将放弃与你在编辑《年鉴》上的合作，因此也把你的名字从刊名页上删去。同时，我感谢你以《年鉴》编辑的名义，为了我们杂志的利益在过去所做的努力！
敬礼！
D·希尔伯特(30)
做出这种行动的原因要比我们想象的复杂得多。主要的一个原因似乎是希尔伯特有些担心他会早死——在1925年11月，他已经被诊断出有恶性贫血，他想确保布劳威尔的观点不会继续在《年鉴》成员中间潜移默化。还有一个个人的原因。德克·范·达伦转述了布鲁门萨尔对这个情况的看法：“希尔伯特认为布劳威尔刚愎自用，难以捉摸，飞扬跋扈。他……担心，如果有一天希尔伯特离开了编辑部，布劳威尔会迫使编辑部屈从他的意志。”(31)
另一个原因与德、法两国数学家之间的关系有关。因为第一次世界大战，他们之间的关系一直很紧张。希尔伯特认为，早先用来抚平这些关系的机会都被布劳威尔破坏了。比如1926年，他们已经拟好一个计划，出版一本文集来纪念本哈德·黎曼——也就是说，出版一本文集来纪念他诞辰100周年。希尔伯特曾想收入一位重要的法国数学家保罗·潘勒韦（Paul Painleve）写的论文。然而在1918年，潘勒韦曾激烈地谴责德国的科学界。希尔伯特和其他人认为潘勒韦在后来已经不再抱有这种敌意了，但布劳威尔坚定地认为收入潘勒韦的作品是对德国数学成就的侮辱。尽管希尔伯特的地位更高，但杂志运作必不可少的民主程序使得这本书没有收入任何法国数学家的文章，就这样出版了。
在这次清理门户事件中，希尔伯特同样需要其他执行编辑们的默许。他从布鲁门萨尔和卡拉西奥多里那里多少得到了不同程度的默许，但在爱因斯坦那里，他碰壁了。希尔伯特曾在10月15日写信给爱因斯坦，请求他作为编辑的一员允许他给布劳威尔发一封辞退信。在他给出的理由中，有一条是：布劳威尔在以前一封信函中不仅侮辱了他（希尔伯特），而且还侮辱了大部分德国数学家；布劳威尔持有“对同情外国数学家有鲜明的敌对立场。他（希尔伯特）认为把哥廷根大学当作《年鉴》主要基地是一个好主意”。他还在附言中提到了他糟糕的身体状况。
爱因斯坦回信了，大意是：做你认为该做的，但我不能在这样一封辞退信上签名。
在一封给卡拉西奥多里的回信中，爱因斯坦答复说（10月19日）：“最好不要在意这次的布劳威尔事件。我没想到希尔伯特会有这样的感情爆发。”(32)正如我在前面所提到的，爱因斯坦不赞成这个计划。
如果希尔伯特以为布劳威尔会报以温和的退让，他就错了。希尔伯特精心谋划弄了这样一封辞退信，布劳威尔把这个突然而来的辞退当作一种直接且重大的侮辱，尽管他没有立即做出反应，但也够快的了。据一份报告说，他“神经发作”了，在最初的打击后，他病了好几天，同时还发烧。
但是，事后他写信给卡拉西奥多里：
亲爱的同事：
经过细致的考虑和广泛的咨询，我不得不采取这样的态度：你发出的对我的要求（最先的辞退信是卡拉西奥多里发出的）——它是在希尔伯特在头脑不健全的时候发出的——是无效的，除非这封信是希尔伯特夫人和希尔伯特的医生写的。
敬礼
L·E·J·布劳威尔(33)
对于布劳威尔来说，这是一个严重的错误。在某种勾心斗角的游戏中，这封信可以看作是个很聪明的反击。但在这种情势下，正如布鲁门萨尔所说的，它会被看成是封“可怕而惹人憎恶的信”。他和卡拉西奥多里开始怀疑，希尔伯特是否可能“比我们更了解他（布劳威尔），（对他）有更好的评价”。(34)
布劳威尔不屈不挠。他接下来写信给希尔伯特夫人，请求她给丈夫吹吹枕边风，使其改变想法。他送了一份抄件给编辑部的另一名成员理查德·柯朗（Richard Courant）。柯朗居然真的去拜访了希尔伯特夫人，但事后他回复布劳威尔，告诉他：在这件事上，希尔伯特不受任何人的影响。
同一天（11月5日），布劳威尔在更大的范围向所有的编辑们倾诉。布劳威尔作了几个方面的解释，申明他对希尔伯特说的“对我的愤怒不断增多”的看法：希尔伯特关于缺少合作的说法是一个烟幕，因为他们之间已有多年没有通信；直到那时，还没有人对他提出过任何反对意见；执行编辑们把希尔伯特的健康状况看得比他（布劳威尔的）的权利和尊严还重，这是不公平的；这次事件，使《年鉴》正在以它的权威性和科学内容为代价做出牺牲。
现在，希尔伯特多少在这场冲突中做了些让步，但除了爱因斯坦之外的编辑们都显示了鲜明的立场，他们大多都站在了希尔伯特一边。如我们所见，布劳威尔是仅有的三个非德籍编辑中的一个，因此多少算是个圈外人。这或许是产生最后结果的一个原因。可是，他给卡拉西奥多里的信中说希尔伯特“头脑不健全”，最有可能是这句话决定了他的命运。
于是，布劳威尔和编辑部的一个普通编辑路德维希·比贝尔巴赫一起到柏林去见出版商费迪南德·斯普林格（Ferdinand Springer）。他们两人发出警告说，如果辞退令被执行，《年鉴》和斯普林格出版社的利益都会受损。布劳威尔威胁说要创办一个竞争性的杂志，但斯普林格不在意这种威胁(35)。
原先与希尔伯特不合的布鲁门萨尔现在坚定地站在希尔伯特一边，他也拿出了一封信给整个编辑部传阅，以此答复布劳威尔的指责。他指出这样一点：布劳威尔确实是一个非常尽责和活跃的编辑，但他和执行编辑们的关系相处得很不好，他还常常让作者们处于难以忍受的困境。
“例如，交给他评审的稿件经常搁置几个月。”(36)但是德克·范·达伦指出：“布鲁门萨尔没有提到，在过去，他作为一名执行编辑，经常利用他的地位让布劳威尔充当一位麻烦解决者；他也没有提到，他以前从来没有抱怨过布劳威尔对稿件的处理。”(37)
尽管如此，事情还没有解决，还需要一位关键人物的同意。如果爱因斯坦能够被说服加入到希尔伯特一边，其他人的反对意见就很容易消除了。爱因斯坦的同事马克思·波恩（Max Born）极力以个人的名义劝说爱因斯坦。在11月27日的回信中，爱因斯坦清楚地表明他严格中立的立场。就是在这封信中，他提出了他对当时形势的巧妙比喻：“青蛙和老鼠的战争”（Frosch-Mausekrieg）(38)。他写信给布劳威尔和布鲁门萨尔说：“很遗憾，我像一只无知的羔羊甩入了数学的‘狼群’……因此，请允许我保持我的‘既不嘘又不呸’（Muhnoch-Mah）的态度，也请允许我扮演一个对他们的行为感到不可思议的角色。”(39)
这事还没完。律师被请进来了。布劳威尔给编辑们发了一封信（1929年1月23日）。信中，他指责希尔伯特和布鲁门萨尔在《年鉴》编辑部里有“侵占”行为。德克·范·达伦解释说，在这里，布劳威尔使用这个词（侵占）有着隐含的寓意。布劳威尔认为，因为信任，《年鉴》交付给了以（德国）数学家群体为主的编辑们托管，而因为希尔伯特的行为，这种信任被破坏了(40)。在此信之后，布劳威尔接着来了最后一击：一封长信。信中谈了他对为什么他不应该被解雇的基本看法，包括对克莱因事件的另一种解释。但这些努力都无济于事。
最后辞退生效了。解决办法是解散老编辑部，组成一个新的班子——但有非常明显的不同。正如1929年新的封面上所显示的，将会只有出版者的名字，没有编辑成员的名字，至少没有把他们的名字显示在封面上，但希尔伯特的名字还保留在封面上。这样，看起来这只是一个政策上的大变革，而不是专门针对某一个编辑——即布劳威尔的行为。
很明显，希尔伯特赢了。德克·范·达伦曾仔细研究过这场青蛙和老鼠的战争，他称这整个事件是一场因错误而造成的悲剧，虽然他认为希尔伯特对布劳威尔很恼火是可以理解的。“希尔伯特身染沉疴，他死后布劳威尔对编辑部的影响会造成严重后果，应该都对他的判断能力影响极大……我们不得不同意爱因斯坦的说法：如果布劳威尔是某种威胁，那么会有其他的方法来捍卫《年鉴》……给爱因斯坦的信很有可能表明，一个易受伤害的希尔伯特多少有些个人动机。”(41)
他担心，一旦有机会，布劳威尔就会把《年鉴》变成直觉主义的堡垒。指出希尔伯特的这一点担忧很有趣，即使是布劳威尔自己的期刊《数学论文集》（Compositio Mathematica）也没有发挥这种功能。
尽管在生命余下的36年里，布劳威尔做了很多旅行和演讲（他在1966年因车祸去世，享年85岁），但主要是在数学的其他领域。对基础问题来说，他缩回到一个壳里了。他原来认为是同道的人不支持，被《年鉴》如此无情地辞退，加之自己有时反复无常的心理素质，所有这些都促使他形成了范·达伦所称为的“自我孤立”。
当然，他把希尔伯特看成“我的敌人”。有一次在聚会中，同为客人的范德瓦尔登称希尔伯特和柯朗是他（范德瓦尔登）的朋友，他愤而从聚会中走出来(42)。
同几个追随者一起，布劳威尔在他的直觉主义上也做了一些研究，但激动人心的时刻已经过去了。尽管直觉主义作为一个学派不大可能成为一个主导力量，但如果他能够继续坚韧不拔地走下去，直觉主义可能会有更大的影响。
然而这有一个颇有意味的长期后果。短期的结果是，作为一个竞争者，形式主义看起来非常受人欢迎——在相当长一段时间内是这样。但希尔伯特的胜利没有维持多长时间，因为在1930—1931年，年轻的奥地利逻辑学家哥德尔提出了一个证明，该证明在根本上表明希尔伯特的形式主义计划不可能得到实施（详见第7章）。哥德尔的成果震动了整个数学界，也击垮了希尔伯特对解决所有数学问题的乐观信念。
但希尔伯特坚定的乐观心态使他不愿相信这一切。1931年，他在最后的广播讲话中说：“Wir mussen wissen. Wir werden wissen.”（我们必须知道，我们应该知道。）这句话也刻在了他的墓碑上。1943年，他去世了。
我在前面提到的颇有意味的长期结果就是：哥德尔的论文几乎彻底摧毁了形式主义，于是只有仍然活着的直觉主义者能够高昂着头说：“我告诉过你这些。”但是一般而言，数学家们倾向于避开基础问题和数学哲学问题。
在《数学杂志》（Mathematics Magazine）的一篇文章中，恩斯特·斯莱帕（Ernst Snapper）写道：
不过，三个学派（逻辑主义、形式主义、直觉主义）仍然有很强大的影响，既然他们曾给我们很多新颖和美妙的数学知识。这些数学知识主要关注集合论，直觉主义和建构主义者(43)对它的各种修正，以及数学逻辑和它的很多分支（包括为计算机发展所作的基础研究）。但是，虽然这种数学经常被称为“数学的基础”，但是不能因为我们在这些领域之一工作，我们就可以宣称，我们在改进数学哲学。同几何或分析一样，现代数学逻辑、集合论和修正过的直觉主义，现在是数学的技术分支。如果我们不直接转回到数学哲学上来，我们就不要指望能为我们的科学找到一个坚实的基础。很明显，对于技术型的数学研究来说，这样一个基础是不必要的，但在我们中间，还是有很多人渴望找到它(44)。
确实，基础而统一的数学理论仍然是难以界定的。斯莱帕相信：“数学基础的关键隐藏在逻辑主义、直觉主义和形式主义的哲学根基之中。”(45)
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(1) 罗素，1919年（1993年），引自斯雷特（Slater），1994年，导言。
(2) 佩克豪斯（Peckhaus），2003年，第3页。
(3) 这实际上是他发表的23个问题中的第6个。
(4) 巴罗文集，1992年，第112页。
(5) 伯顿文集，1991年，第657页。
(6) 外尔，雷德文集，1970年，第264页。
(7) 参见：如第8章；巴罗，1992年，第114页。
(8) 巴罗文集，1992年，第195—196页。
(9) 德克·范·达伦，私人交流，2005年8月11日和16日。
(10) 范·达伦，1990年，第18页。
(11) 雷德，1970年，第6页。
(12) 同上。
(13) 同上书，第94页。
(14) 辛普森文集，1986年，第3页。源于希尔伯特“关于无穷”，范·埃让诺尔（van Hei jenoort）文集（第8章），第367—392页。
(15) 辛普森，1986年，第4页。
(16) 范·达伦，1999年，第ix—x页。
(17) 他还说，自从1907年，他一直都捍卫这个观点。1920年12月18日，他向皇家科学院递交了论文。曼科苏（Mancosu）文集，1998年，第23页。
(18) 雷德，1970年，第149页。
(19) 奥康纳文集，2003年，第3页。
(20) 德克·范·达伦，私人交流，2005年8月16日。
(21) 曼科苏，1998年，第120页。
(22) 希尔伯特，“数学的新基础，第一次报告”，曼科苏文集，1998年，第198页。
(23) 希尔伯特，“数学的新基础，第一次报告”，曼科苏文集，1998年，第199—201页。
(24) 同上书，第202—203页。
(25) 德克·范·达伦，私人交流，2005年9月21日。
(26) 范·达伦，2005年，第640页。
(27) 尼伊科斯（Nyikos）的解释，2004年，第2页。
(28) 布劳威尔，“直觉主义者对于形式主义的反应”（1928年），曼科苏文集，1998年，第42页。
(29) 曼科苏文集，1998年，第10页。
(30) 范·达伦，2005年，第601页。下面的许多注释也引自：范·达伦，1990年。
(31) 范·达伦，2005年，第613页。
(32) 范·达伦，2005年，第603页。
(33) 同上书，第605页。
(34) 范·达伦，2005年，第614页。
(35) 这是他后来所做的。与一个荷兰出版商合作，他于1934年创办了《数学论文集》杂志。
(36) 范·达伦，2005年，第613页。
(37) 私人交流，2005年8月16日。
(38) 这是一部作者不详的希腊戏剧的名字。罗伦哈根（Rollenhagen）将其改写为德文的中世纪版本。
(39) 范·达伦，2005年，第619页。
(40) 德克·范·达伦，私人交流，2005年9月16日。
(41) 范·达伦，1990年，第31页。
(42) 雷德，1970年，第187页。
(43) 直觉主义有时被称为建构主义。例如，直觉主义者不接受超越第二个数类的超穷基数。这就是说，我们应该多少能够像计算普通整数那样计算序数。直觉主义者也不接受康托尔更高的基数，因为对直觉主义者关于精神创造的认识来说，这些概念不能建设性地达到其目的。这与康托尔派的实践形成了鲜明对比，在他们的观念中，所有能一致阐述的东西都是存在的。
(44) 斯莱帕，斯维茨（Swetz）文集，1994年，第207页。
(45) 同上。
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