在一个充满了怀疑和不确定的世界里，很长时间以来，数学被看成是确定性最后的堡垒。在不同时期被称为绝对主义或柏拉图主义的拥护者们的看法反映了这个观点，他们把数学看作是客观和精确的。他们运用数学非凡的能力来描述自然和技术中的运动和形态，并主张真正的数学知识是完美和永恒的。
持相反意见的数学家也有很多，其中最常见的是易误论者（fallibilist，暗示数学的不可靠性）。他们把数学看成是一个在不断进步的活动。有人甚至主张，某些数学进展被接受是建立在数学家们的权威基础上，而不是建立在理性的证明基础上。
另一群被归入这一类的数学家是建构主义者。他们的观点可以追溯到康德（Kant）和克罗内克（详见第6章）。建构主义者的目标是重构数学知识，使它不至于退化和引起矛盾。因此建构主义者拒绝接受康托尔关于实数是不可数的证明，他们也拒绝接受排中律。直觉主义者L·E·J·布劳威尔（详见第9章）也属于这一类。换言之，经典数学的某些部分是不可靠的，应该通过“建构性的”思想和方法来“重构”它们。
有趣的是，科学已经经历了类似的演变。随着相对论和量子力学的出现，绝对主义者对于科学的观点已经很大程度让位于易误论者的思想。然而对于数学，绝对主义/柏拉图主义稳固的核心仍未被触及——实际上，它们甚至可能是主导性的模式——尽管它一直经受来自各方的不断攻击。
在线杂志《数学教育哲学》（Philosophy of Mathematics Education）的编辑保罗·恩斯特（Paul Ernest）说：“在过去的几十年间，新一波‘易误论者’的数学哲学发展壮大起来，这些哲学提出了一种不同的、跟人们以往印象不同的数学形象，认为数学是人性的、可改正的、历史的和不断变化的。易误论把数学看作是社会运行的结果。数学知识永远处在修改之中，不仅是它的论据，还有它的观念，这都是可以理解的。因此，这个观点包含数学家的实践、数学的历史及应用、数学在人类文明中的地位——这些都在合理的哲学思考之中，也是数学评论和教育的结果。”(1)
从哲学的角度思考数学不是新事物。对数学哲学有强烈兴趣的著名法国数学家雷恩·托姆（Rene Thorm）在1990年写道：“数学哲学处在可以称之为‘库恩式革命’(2)（Kuhnian revolution）的变革的漩涡之中。”在这里，‘库恩式’这个词有几种寓意。
● 它意味着数学方式的一个极具意义的转变。例如在20世纪60年代，集合论的符号和公理体系已经融入了中学的数学课程中。对于一个初学者来说，这意味着什么？
● 它意味着革命是一种进步，而不仅仅是一种变化。正如我们将要看到的，对于这种说法，有一些问题，但托姆认为‘库恩式’仍然是合适的。
● 另外，这种变化发生在一个重要的有趣的领域。这当然是对的。
托姆认为，绝对主义在数学中的退却有两个重要原因。他写道：“一个原因是，数学的基础并不像想象的那样可靠。哥德尔的第一不完备性定理已经表明，公理体系确实不能获得最有趣味的数学体系的真理。”（详见第7章）
“另一个原因是，传统数学哲学关注面窄，仅限于纯粹数学知识和数学对象存在的基础，对此，在数学家、哲学家和教育家中间有越来越多的不满。”(3) 换句话说，在数学界中，有越来越多的人认为，数学的所有分支——研究、哲学、历史、教育和学习——都是有联系的，在这所有的领域，绝对主义者的思想是贫瘠和狭窄的。
于是，我们看到了这样的场景（这正如我们将要看到的）：不同等级的数学家、哲学家和教育家汇集成一股强大的改革力量，他们视数学为易错的、可变的，需要改正、修订和论战；跟他们相对的，是一股同样强大的、组成复杂的力量，他们仍然坚持原先的观点，认为数学是确定性的最后堡垒。
然而，这两种思考方式与另外一种激烈碰撞的思想分化紧紧结合在一起：数学是发现的，还是发明的？毕竟，如果数学知识是完美的、永恒的，那么无论数学家提出何种新观点，它们都只是发现。但是，如果数学是易错的，是一种不断进步的活动，那么新数学观点应该是发明的。
或许，正如莫里斯·克莱因针对基础问题所说的：“那么，数学究竟是藏在宇宙深处并逐渐被挖掘出来的一堆钻石，还是这样一堆人类制造的合成石头——尽管是人造的，但依然如此耀眼，以至于晃晕了数学家们的眼睛，而这些数学家已经被他们自己的创造所带来的骄傲弄得有些忘乎所以了。”(4)
这就是我们基本的问题。让我们先来讨论它，然后看看会把我们带向何方。
认为数学是一堆等待发现的钻石的人的名单既长又让人印象深刻。你会回想起，康托尔相信“他只是一个报告者，集合论和无穷观念是神展示给他的”（详见第6章）。
然而，这份名单从久远得多的年代就开始了。柏拉图是最先坚持这种观点的人之一。基本上，他主张有两个世界。实在的世界，也就是真实事物的世界，我们可以通过感官察觉到它；还有一个抽象的世界——精神的世界，也就是思想和观念，比如善良、正义、美和完美的世界。我们所画的圆、方和平行线都是不完美的，它们属于实在的世界。但有地方存在着完美的事物，对于它们我们只能想象得到。它们是理想的、不变的永恒。即使我们消失了，它们还将在那里。同样的观念适合于数和数学函数。简而言之，我们是发现数学真理，而不是发明它们。
约翰·D·巴罗（John D. Barrow）是当代比较著名的持有绝对主义观点的代表者之一。他是一名作家，也是苏塞克斯大学（the University of Sussex）的一名天文学教授。因为自身的原因，巴罗倾向于使用柏拉图主义这个术语。他写道：“数学实体存在于具有抽象观念的领域里，这对于很多现代数学家来说，会很难接受，但对于300年前像牛顿或莱布尼兹那样的数学家来说，他们会认为数学真理的存在不依赖于人类思维是理所当然的。他们深深相信完美赖以存身的神圣思想（the Divine Mind）的存在，因此他们不会认为完美形式的观念有任何问题。他们的问题在于，如何将他们与不完美及身边的具体事物调和起来。”(5)
这使我们想起牛顿一段著名的评论。评论中，他形容他自己是一个在海边玩耍的小孩，捡到了一个鹅卵石，或者一个比普通贝壳更漂亮的贝壳，但真理的大海他还没有发现。
死于1901年的德高望重的法国数学家查理斯·埃尔米特（Charles Hermite）表达了一个类似的观点：“我相信，数字和分析函数不是我们精神的特有产物；我相信，它们存在于我们之外，具有与客观实在的对象同样的必要性；我们就像物理学家、化学家和动物学家一样找到或发现它们、研究它们。”(6)
伟大的英国数学分析家G·H·哈代（G. H. Hardy）在1929年写道：“对我来说，如果一个数学家通过一种或更多方式不承认数学真理的永恒性和无条件合理性，似乎没有哲学可能会让他满意。数学定理是对还是错、它们的真理或谬误绝对不依赖于我们对它们的了解。在某种意义上，数学真理是客观真实的一部分。”(7)
我们承认，引用的这些话都是在哥德尔定理（1930—1931）出现之前写的。但即使在它发表之后，绝对主义者的观点仍然很盛行。
例如，哈代坚持表达同样的绝对主义观点。他在他后来写的书《一个数学家的自白》（A Mathematicians Apology，1949）中写道：“我相信，数学真实存在于我们之外，我们能做的就是发现或观察它，我们证明的、大而不当地称之为我们‘创造’的定理只是我们观察的记录。”(8)
1945年，重要的法国数学家雅克·阿达马（详见第7章）在他的《数学领域的发明心理学》（Psychology of Invention in the Mathematical Field）中说：“尽管我们对真理还不了解，但它先于我们而存在，我们不可避免地要遵循它为我们设定的路。”(9)
你也许已注意到，前一节结尾的莫里斯·克莱因的话中，他称发现的精华之物为钻石，而那些人造的东西则是“如此耀眼……以至于他们晃晕了数学家们的眼睛，而那些数学家已经被他们自己的创造所带来的骄傲弄得有些忘乎所以了”。似乎很清楚，对他来说，发现的精华之物是真正的钻石。克莱因的比方是1980年写的。
正如我们在前面看到的，持有这些观点的作者有时候被称为柏拉图主义者。然而克莱因相信，这个词有一个问题。他说，柏拉图确实相信数学存在于某个人之外的理想世界中，但是柏拉图的学说不适用于今天的世界。于是克莱因主张，“运用柏拉图主义者这个称呼没有益处，它更不合适。”(10)
巴罗显然很不同意这种说法。他指出，实际上，“1934年后，这种数学哲学只以‘数学的柏拉图主义’变得广为人知。这一年，保罗·伯尔内斯（Paul Bernays）这样形容这种数学哲学。他是希尔伯特发展形式数学系统的一致性证明的密切合作者。”(11)无论如何，绝对主义和柏拉图主义两个词，都得到了广泛的使用。
巴罗对关于基础数学论辩中的一方作了概括：
柏拉图主义关于事实的观点对很多现代科学家和数学家起了潜移默化的影响。它看起来简单、直接、鼓舞人心。在我们的周围，有一个数学真理的海洋还未被发现；我们探寻它，去发现它无尽疆域新的部分。数学真理的广阔天地不依赖于数学家而存在。即使根本没有数学家，它也会存在——的确，一旦它在过去被发现，可能在将来的某一天它还会被再次发现。数学是由一系列对于独立事实的发现所组成的，这些事实包括数字、集合、图形等等这类东西。(12)
他接着提了一个有趣的观点：“如果我们的思想从真实世界得到一个特别的数学工具，那么很有可能，这是一个进化过程的结果，即选择如何描绘与表述这个世界，因为它们（数学工具）最忠实地反映了这个世界真实的图景。”(13)
也许在绝对主义/柏拉图主义者的观点中，最著名的例子要数库尔特·哥德尔的。他这样形容逻辑学家和集合论者研究的实体：“尽管它们远不是我们能感觉到的，但我们确实也类似有一种对集合论研究对象的感觉，就像从公理就是真的，我们必须接受这样一个事实中所看到的那样。”(14)
最后，巴罗说：柏拉图主义“不能洞见这样的事实：在那些离我们日常生活最远以及那些直接影响我们进化历史的领域，它们的性质最好用我们的智力创造来描述。最终，我们不得不认为，人类没有真正聪明到‘发明’数学”(15)。
那些站在对立一方的人很显然不同意绝对主义和柏拉图主义的观点，他们相信数学的进步是人类创造的。这一方有着同样一大批杰出的倡导者。
一个典型的例子是18世纪伟大的德国哲学家伊曼努尔·康德（Immanuel Kant），他认为新数学的源泉存在于人类大脑的微妙运转中。他主张，我们的大脑已经按照空间和时间的形式建构起来了。他称这些形式为直觉。空间和时间是我们的大脑认识世界的过滤器，它们有助于我们理解和思考我们经常遭遇到的感觉。数学的发展与人类智慧本身的渐进同步发展。数学的公理和定理是先验综合判断，这使它们有别于基于分析/感觉的经验。这些观点导致的结果是：当说到易误论时，某些作者用康德哲学（Kantianism）这个词。
在庞加莱著名的文章《数学的创造》（Mathematical Creation，1908）中，他问：“什么是数学的创造？”然后回答道：
它不在于把已经知道的数学知识做一些新的组合。任何人都可以那样做，但这样的组合将是没有穷尽的，它们中的大多数也绝对没有趣味。创造只在于不做无用的组合，只做那些有用的、数量极少的组合。创造意味着洞察力、选择……
就像实验事实能引导我们得到物理定律一样，通过与其他事实的类比能引导我们得到数学定律，这样的事实才是值得研究的数学事实。它们向我们揭示其他事实之间不容置疑的亲密关系，虽然我们很久以前就了解它们，但我们错误地认为，这些事实之间没有关系。
在这篇文章的另一处，他写道：“在开始的时候，最让人印象深刻的是突然出现的启示，这是长期无意识的前期工作的结果。对我来说，在数学创造中，这种无意识工作的重要性是无可争辩的。”(16)
约瑟夫·道本说：“格奥尔格·康托尔大体上发明了超限集合论，这时他发现，某些点集可以推广开来用以解决与三角级数相关的非常复杂的问题，这些点集与所有自然数集合的性质之间有着确定的关系。”(17)
对于为什么某个数学家成了一个小说家，戴维·希尔伯特有一个绝佳的解释：“这很简单的。对于数学，他缺乏足够的想象力；但对于写小说，他有。”(18)
杰出的美国物理学家珀西·W·布里奇曼（Percy W. Bridgman）在1927年说：“数学是人类的发明，这是最起码的真实，即便未经训练的观察，都会很快明白这一点。”(19)
爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）和詹姆斯·纽曼（James Newman）在1940年说：
只是在最近，非欧几何和四维几何的出现，才第一次有了好机会给数学一个有意义的评价。这并不是说微积分、概率论、关于无穷的算术、拓扑学等领域的进步作用小。它们中每一个进步都拓展了数学，深化了它的意义，同时也加深了我们对自然世界的理解。但它们中没有哪一个有助于我们对数学的反省，有助于对数学各部分之间的关系，以及它们与非欧几何整体之间关系的理解。
作为创造出非欧几何这个异端的勇敢批判精神的结果，我们克服了“数学真理的存在独立于我们的智慧之外”这个观念。这样一种观念曾经存在过，对我们来说，甚至都感到奇怪(20)。
匈牙利出生的数学哲学家伊姆雷·拉卡托斯（Imre Lakatos）在对于绝对可靠论者（infallibilist，他对绝对主义者的称呼）的反对理由中，从非欧几何的角度出发，进一步做了详细说明。在他广受赞誉的名著《证明与反驳》（Proofs and Refutations，1976）中，他解释道：
正是欧几里得方法的绝对可靠论者的哲学背景孕育了数学中权威的传统方式，阻碍了猜想的发表和讨论，使数学批评的兴起成为不可能。文学批评能够存在，因为我们可以无需考虑一首诗是否完美就去欣赏它；但只有数学和科学结果产生了完美的真理，我们才会去欣赏它们。一个证据之所以能成为证据，只有它能证明某些东西；它要么能证明，要么不能。在1847年，一个有瑕疵的证明也可以是受人尊敬的，这是一个革命性的观念。不幸的是，这个观念在今天看来，仍然具有革命性。
在19世纪40年代，证明和反驳的方法被发现，这不是一个偶然，当时牛顿光学已经被人抛弃（通过菲涅耳（Fresnel）在19世纪10—20年代的研究成果），非欧几何也被发现（1829年，罗巴切夫斯基；1832年，波尔约），绝对可靠论者的妄想粉碎了(21)。
对易误论者的指责中，有一条是“每个事物的运行”和/或每个人的观念都和其他的一样好。另一个是易误论者相信社会力量塑造数学，所以数学受时代风潮的影响，而不是被自身的逻辑进程所推动。
英国苏塞克斯大学数学教育专家及一份数学教育期刊的编辑保罗·恩斯特认为，这些主张和结论构成了一幅讽刺画，有水平的易误论者没有谁会接受它们。他写道：“易误论并不意味着部分或全部的数学可能是错的（尽管哥德尔的不完备定理说明我们不能消除数学会产生矛盾的可能性）……第二个针对易误论的批评是：如果数学不是绝对需要的，那么数学应该是任意或反复无常的。”
他接着说：
正如现实主义者经常讽刺相对主义在科学中的社会建构主义观点一样(22)，易误论者的观点的作用也没有得到足够的承认。因为尽管易误论者相信数学具有在某些时候容易犯错和随着历史的变化而改变的特点，但他们也主张，数学知识在很大程度上是必需的、稳定的、独立的。一旦人类创造出某种能够在实际生活中运用这些规则的东西，比如象棋、数论或者Mandelbrot集，从隐藏着的一群规则里显示出来的含义和形式可能会继续让我们吃惊。但不会改变这样的事实：我们首先“发明”了这个游戏。它只是表明这是一个内涵丰富的发明。正如18世纪伟大的哲学家简巴蒂斯塔·维柯（Giambattista Vico）所说：我们能确定知道的真理就是我们创造了我们自己。毫无疑问，数学是这种创造中最伟大的(23)。
正如我们会想象得到的，也有一些人采取中立的立场，他们相信数学既是发现，又是发明。这些处在“两个阵营”之间的人中有亨利·庞加莱和查理斯·埃尔米特，后者是庞加莱的老师。例如，庞加莱的文章《数学的创造》（Mathematical Creation）似乎支持易误论的观点，但他还写了一篇名为《数学的发现》（Mathematical Discovery）(24)的文章。埃尔米特的观点很奇特。或许要归因于他的宗教信仰，康托尔的工作是创造而不仅仅是发现，赫尔米特对此很恼火。而神也认为发生这样的事也没有什么不妥。换句话说，正如在集合论上所做的工作一样，康托尔正竭力渗进应该由神来支配的领域，在这些领域，神似乎也会及时地亲自向人们揭示真相。
1902年，伯特兰·罗素写道：“不仅数学独立于它自己和我们的思想，而且在另一种意义上，我们和整个存在物的宇宙独立于数学。”但正好在同一篇文章（《数学研究》（The Study of Mathematics））的下一页，他还写道：“理性不能支配事实的世界，但事实也不能限制理性的特权，即对美与真的求索。在这里，正如在其他地方一样，我们在从世界里发现的碎片上树立我们自己的理想；最后，很难说结果是创造还是发现。”(25)因此我们不得不把罗素归入未定的阵营。
另外，即使是巴罗这个公开承认自己是柏拉图主义者的人也意识到，对克莱因提出的问题的解答既不简单也不是显而易见的。例如，他问道：“另一个世界在哪里？我们怎样才能与之建立联系？我们的理智怎样才有可能与柏拉图的‘王国’有联系，从而我们的头脑状态被这种经验所改变？很多信服柏拉图哲学的数学家都深深地受到他们自己和其他人直觉的影响。他们都有这样的经验：只是‘看到’某些数学定理是对的。这种经验看起来就像是数学真理通过一阵‘直觉’突然袭来的，这种直觉等于就是发现。”(26)
奇怪的是，直觉的因素是绝对主义思想的基石之一——这就是说，数学真理是通过数学家的直觉发现的，然后通过各种证明方法，它们得以正确地建立。
巴罗接着说：“即使在数学家中间，这种对数学结构无感觉的意识也是一种变化很大的能力。于是柏拉图主义者会认为，比起其他人来说，最好的数学家能更经常更清楚地接触柏拉图的理念世界。”(27)
英国牛津大学的数学教授罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）在他的书《皇帝新脑》（The Emperor's New Mind，1989）中说，他是“数学是发现的”观念的忠实信徒，但他加了一个转折。他说，也许问题不是那么简单。他提出：
数学中有些东西用“发现”这个词来形容，确实比“发明”好得多……好比这样一些例子：从它们的结构中得出的东西远比开始时放进去的多（例如Mandelbrot结构）。我们可以认为，在这些例子中，数学家偶然发现了“上帝的杰作”（照康托尔的方式）。但是也有一些其他的例子，其中的数学结构没有那么引人注目的独特性，比如，在某个结果的证明中，在什么时候，为了得到某个很明确的答案，数学家发现需要引入某种人为的、一点都不独特的结构。在这些例子中，从那些结构中得到的可能不比开始时放进去的多，这样，“发明”这个词看起来就比“发现”这个词更合适了。确实，有一些东西就是“人类的杰作”。在这个观点上，一般来说，人们会认为，对比“纯粹的”发明，真正的数学发现是更伟大的成就和激情(28)。
绝对主义者和易误论者之间的争论不仅限于在高调的数学哲学领域，它们在各个领域展开，或许最激烈的还是在数学教育领域。
虽然一系列的研究似乎都表明，绝对主义仍然是主流观点，但易误论者至少已经将他们的立场渗透进了数学课程，特别是英国和美国。正如我在前文所说的，一个很大的改变是，在20世纪60年代，集合论的符号和公理已经融入了中学的数学教学。
加州大学伯克利分校的数学教授伍鸿熙（H. Wu）写道：
到1986年最近的改革想法出台的时候——这一年，NCTM（全国数学教师委员会，National Council of Teachers of Mathematics）召开了第一次会议，制定了NCTM标准，传统课程中“证明”的观念已经变得不存在了，或者说已经退化成无意义的形式。对于那些在20世纪40年代和50年代上学的人来说，这种做法会让他们感觉奇怪，因为我们中的不少人曾经被欧几里得几何——这是求证问题的精华部分——吸引过，从而成为数学家。但现在，欧几里得几何也许是学校数学教学中最被贬低的部分。发生了什么？经历了20世纪60年代的“新数学运动”（New Mathematics）和70年代的“回归基础运动”（Back-to-Basics Movement）之后，学校的数学课程显得过于简单，太缺少难度了(29)。
这样在美国，特别是在英国，掀起了很高的呼声，认为：在过去的20年，学生的数学能力在不断减弱。这与数学界发生的重要变革是同步的。这并不能证实教学法的改变是值得指责的，但在很多至今仍持绝对主义观点的数学家中间，仍怀有很深的怀疑。
对这种针对易误论思想的挑战，不会没有反击。比如保罗·恩斯特说：“他们的抱怨（即是说绝对主义者的抱怨）过时了。自从1851年的世界博览会（the Great Exhibition）开始，学校的数学教育就饱受批评。人们指责布尔战争的失败是差劲的数学教育导致的。本世纪，工业的相对衰退也被指责为是学校数学和科学教育的结果。”
恩斯特说，真正的问题是“太多的中学高级水平课程（A level）的数学和大学数学教育过时了，也让人厌烦”。看起来，问题不在于改变得太多，而是改变得不够。
人们指望学生们学习课本知识和解题技巧，回到应付考试的老路上去，而不是让他们体验研究和应用真正数学的快乐。学生们被剥夺了体验“真正数学”的机会，而我们只是给他们提供掺了水的替代品。这些呼吁都没有起到任何作用。
相反，问题是，学生们被要求做很多无意义和重复的练习……这种让人遗憾的情形不是因为数学教育变得太“温和”了，而是因为它再也不能激起学生的热情和兴趣了。为什么像分形论（Fractals）和混沌理论（Chaos Theory）这样激动人心的新观念都没有纳入学校教育中？
恩斯特接着说：
不容人置疑的绝对主义者观点跟女学生讨厌数学有极大关系。
如果数学有了危机，我会说这种危机就存在于某些大学数学教授的态度中，他们到处找问题，就是不找自身的原因。无论是回归基础运动还是以温和教育为中心的革新论，都不会解决数学教育面临的问题。像我这样的数学教育工作者和研究者都承认，我们都需要做得更好，想出更多办法(30)。
事实上，不是每个人都同意数学教育衰落了。在一部分人当中，他们对于某些问题有根本的分歧：学生应该在数学中学什么；同时，他们应该学些什么其他的东西，他们是否能学会；在校期间，他们需要掌握哪些技能；在后来他们需要这些知识和技能时，他们能记起多少。
加州大学伯克利分校的教育学教授阿兰·H·萧恩菲尔德（Alan H. Schoenfeld）认为，这场运动才刚刚开始，我们现在只有一些初步的数据。他写道：“不过这些数据表明，改革的最初几步看起来正朝正确的方向上走。”他基本上同意恩斯特的说法，“在好几个领域，不仅包括课程，还包括发展教学团体及改进评估方法方面，我们都需要做多得多的工作。”(31)
激烈的争论还在继续，它让我们回想起最初的问题。因为在数学教学和数学哲学及认识论之间有着紧密的联系。因此，鲁本·赫希在《数学进展》（Advances in Mathematics）中写道：“数学是什么的观念影响着我们应该如何表达数学观念……那么这不是‘最好的数学教学方法是什么’的问题，而是‘数学到底是关于什么的’的问题。”(32)
英国开放大学（the Open University in the United Kingdom）的伯吉特·佩平（Birgit Pepin）研究过英国、法国和德国的数学教育。她认为：“很多在教室里对人类思想和实践有影响的因素既看不见，也不好确认。这样说更好：这些力量是看不见的，有时‘觉察不到’，它们通常是无声的原理、哲学和信念，对教育机构产生潜移默化的影响。”(33)
科学的发展也提供了一个例证。雷内·托姆指出，很多年来，科学教育都从科学哲学的发展中得到灵感。他还说：“（数学中的）教育研究者们正越来越意识到他们在方法和探求中的认识论基础……”他总结道：“事实上，无论我们是否愿意，所有的数学教学，即使很不一致，都有赖于数学哲学的指导。”(34)
1992年，加拿大安大略省女王大学（Queen's University）的杰弗里·鲁内（Geoffrey Roule）报告了一场有趣的课堂实验。请一群实习教师写意见书，让他们在以下方面表明立场：数学课题、学生、教师以及数学学习与社会的关系。大部分人选择了相当于绝对主义者的立场，主张选择课题应该适应学生的需要，能够使用他们学过和用过的概念解决实际问题。只有一小部分人更贴近易误论者的观点，更注重“自我发现”。然而一般来说，鲁内清楚地表明“学生心中的数学（哲学）形象显然会产生相应的教学观点”。接下来的这段话清楚表明了鲁内的易误论者教学观点：“另外，这种占主导的实用教学观点使得教学实践不大可能吸引学生的想象力，让学生走在一条提出问题并解决问题的路上。”(35)
最后，保罗·恩斯特说：“数学教育哲学不是关于发展课程的学问，而是一个理论基础，可以凭此发展课程。”(36)
于是，我们回到了最初的问题：数学是发现的还是发明的？或者换句话说：是绝对主义者对还是易误论者对？我们会发现，如果这个问题有一个可靠的答案的话，这个答案会在很久之后才能找到。这个结果既会影响数学教学界，也将依赖于它的发展。毕竟今天的学生终究会成为未来的课程规划者。
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(1) 恩斯特，2004年（“连接数学哲学与数学实践”）。
(2) 索恩，1990年。也可参见托马斯·S·库恩（Thomas S. Kuhn），《科学革命的结构》（The Structure of Scientific Revolutions）第二版（芝加哥：芝加哥大学出版社，1970年）。（原版于1962年出版。）
(3) 索恩，1990年。也可参见托马斯·S·库恩（Thomas S. Kuhn），《科学革命的结构》（The Structure of Scientific Revolutions）第二版（芝加哥：芝加哥大学出版社，1970年）。（原版于1962年出版。）
(4) 克莱因，1980年，第323页。
(5) 巴罗，1992年，第257页。
(6) 克莱因文集，1980年，第322页。
(7) 同上。
(8) 哈代，1967年，第123页。（原版于1941年出版。）
(9) 克莱因文集，1980年，第323页。
(10) 克莱因，1980年，第323页。
(11) 巴罗，1992年，第258页。
(12) 巴罗，1992年，第258页。
(13) 同上书，第263页。
(14) 同上书，第260页。
(15) 同上书，第177页。
(16) 庞加莱，纽曼文集，1956年，第2043、2045页。
(17) 私人交流，2003年9月15日。
(18) 雷德，1970年，第175页。
(19) 布里奇曼，《现代物理的逻辑》（The Logic of Modern Physics）（纽约：麦克米兰出版公司，1927年），第60页。
(20) 爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼，《数学与想象》（Mathematics and the Imagination）（纽约：西蒙和舒斯特出版公司，1980年），第359页。（原版于1940年出版。）
(21) I·拉卡托斯，《证明与反驳：数学发现的逻辑》（纽约：剑桥大学出版社，1976年），第139页。
(22) 对于建构主义的一些更普遍的争议，参见罗兰兹（Rowlands）和卡森（Carson），2001年。
(23) 恩斯特，1999年，第 2、3、4页。
(24) 拉波特（Rapport）和赖特（Wright）文集，1963年，第 128—137页。源自庞加莱文集，1946年。（原版于1913年出版。）
(25) 罗素，1957年，第 65、66页。
(26) 巴纳，1992年，第 272—273页。
(27) 同上书，第273页。
(28) 霍尔，1989年，第 96—97页。
(29) 伍鸿熙，1996年，第1532页。
(30) 恩斯特，1995年，第T15页。
(31) 萧恩菲尔德，2002年，第14页。
(32) 赫希，1979年，第32页。
(33) 佩平，1999年，第128页。
(34) 托姆，1990年。
(35) 鲁内，1992年。
(36) 恩斯特，1994年，第5页。
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