典型环节及其传递函数

动态系统由若干环节按一定形式组成，各环节的物理本质可能是电气、机械、液压、气动等等。但任何系统都由有限的几种典型环节组成，它的传递函数可以用s的有理分式函数表示，即

表达成零极点形式，则为

一个实根因式（s＋a）可常数项归一化为

一对共轭复根因式（s＋σ＋jω）（s＋σ－jω）可常数项归一化为

假设一个系统的传递函数的分子具有j1个实零点、j2对共轭复零点，分母具有j3个实极点、j4对共轭复极点、狏个零根，便有

表达式中含6种因子，即6种典型构成环节。与分子相对应的环节分别为放大环节K、一阶

微分环节τs＋1、二阶微分环节τ2s2＋2ζτs＋1。与分母相对应的环节分别为积分环节、惯性环节、振荡环节此外，还有理想微分环节s和延滞环节e－τs。任何动态系统都可以看作是由这些典型环节的串联组合。

1）放大环节

又称比例环节，输出xc（t）量以一定的比例复现输入量xr（t），无失真和时间滞后，其运动微分方程式和传递函数分别为

式中：K为环节放大系数。

实践中纯放大环节极少见，忽略一些因素的前提下可以将某些部件看成放大环节，图2-35是一些放大环节的工程实例。

图2-35 放大环节的工程实例

（a）机械； （b）电气； （c）液压

2）惯性环节

惯性环节中含有储能元件，以致对于输入信号的突变，输出不能立即复现，输出量的变化落后于输入量。其运动微分方程式和传递函数分别为

式中：T为时间常数；K为环节放大系数。

图2-36是一些惯性环节的工程实例。惯性环节主要由时间常数T和传递系数K来表示。由于输出量与输入量可能是不同的物理量，故传递系数K有量纲且等于输出量与输入量稳态值之比。

图2-36 惯性环节的工程实例

（a）机械； （b）电气； （c）液压

3）积分环节

积分环节的输出量变化速度和输入量成正比，其微分方程式和传递函数分别为

积分环节输出量xc（t）与输入量xr（t）之间呈积分关系

当输入xr（t）为单位阶跃函数时，得

xc（t）＝Kt

xc（t）随着时间直线增长，K越大增长越快。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。理想积分环节中只要有信号存在，不管多大，输出总是增长，直至无限（由于实际元件的饱和、能量和工作条件等限制，不可能达到无限），这一特点通常被用来改善系统的稳态性能。图2-37是一些积分环节描述的元件的工程实例。

图2-37 积分环节的工程实例

（a）机械； （b）电气； （c）液压

4）微分环节

理想微分环节的运动方程和传递函数分别为

理想微分环节的实例如测速发电机，但实际上，微分环节常带有惯性，要完全满足理想条件是不可能的。因此微分环节大都是近似的，称实际微分环节。其传递函数

当时间常数T→0，且KT保持有限值时，实际微分环节变成理想微分环节。T越小，纯微分作用越强。但当环节T很小时，要求K同步增加以确保KT为有限值。

微分环节主要用来改善系统动态性能、减小振荡、增加系统稳定性。图2-38是微分环节的工程实例。

5）振荡环节

振荡环节的输出和输入之间的关系由微分方程

描述。对应的传递函数为

图2-38 微分环节的工程实例

（a）机械； （b）电气； （c）液压

式中：T为环节的时间常数；ζ为阻尼比。

振荡环节由传递系数K、时间常数T和阻尼比ζ三个参数表示，振荡环节的特性主要取决于ζ和T。只有当阻尼比0＜ζ＜1时，即特征方程T2s2＋2ζTs＋1＝0具有一对复根时，环节才产生振荡，称为振荡环节。如果ζ≥1，即特征方程具有实根时，则不产生振荡，可以看成两个惯性环节串联。

图2-39中是典型的机械振荡系统和电气振荡电路。振荡环节包含有两种形式的储能元件，并且所储存的能量能够相互转换，如位能与动能之间、电能与磁能之间的转换等，使得输出产生振荡。

图2-39 振荡环节实例

（a）机械； （b）电气

6）二阶微分环节

二阶微分环节的运动微分方程和传递函数分别为

可以看出输出量不仅决定于输入量本身，还决定于它的一次和二次导数。二阶微分环节同样可以用传递系数K、时间常数τ和阻尼比ζ三个参数表示，其中τ和ζ决定二阶微分环节的特性。同样地只有方程具有复根时才称其为二阶微分环节。如果是实根则认为由两个一阶微分环节串联组成。在系统中引进的二阶微分环节主要用于改善系统的动态品质。

7）延滞环节

如图2-40所示的输入输出时域波形，当输入xr（t）为一阶跃信号，输出xc（t）经过时间τ以后才复现阶跃信号，且幅值不衰减，在0＜t＜τ时间内输出为零。这种环节称为延滞环节，τ叫作延滞时间。图2-41是进水管流量的延滞特性例子，延滞环节与惯性环节不同，其动特性不像惯性环节那样慢慢上升，而是在输入作用后一段时间内没有输出，此后输出完全复现输入。

图2-40 延滞环节特性

图2-41 进水管延迟特性

延滞环节的输出可表示为

xc（t）＝xr（t－τ）

传递函数为

由于延滞环节的传递函数是一超越函数，一般应用时大多进行数学上的近似处理，即

或

上述各典型环节都列举了机械、电气、液压等方面的例子，不同物理模型有相同的数学模型，表明它们具有相同的内在运动规律。具有相同数学模型形式的系统称为相似系统，对应的物理量称为相似量，表2-9给出了机、电相似系统中相似量的对应关系。

相似理论具有工程应用价值。复杂的非电系统如能化成相似的电系统，则更容易通过实验进行研究，元件的更换、参数的改变及测量都相对方便，且可应用电路理论对系统进行分析和处理。

表2-9 机电相似系统中的相似参量或变量及对应符号