二阶系统欠阻尼系统的瞬态响应指标

二阶欠阻尼系统的阶跃响应为衰减的振荡，可按上述定义求取用性能参数ζ、ωn表示的瞬态响应指标。

1）上升时间tr

根据定义及式（32）有

由，所以有

ωdtr＋β＝π，2π，3π，…

由于tr指第一次到达的时间，因此

2）峰值时间tp

式（32）对时间t微分，并令其等于零，即

得

所以

ωdtp＝0，π，2π，…

即

sinωdtp＝0

因为峰值时间是对应第一次峰值的时间，故有

因衰减振荡周期，可见峰值时间tp等于频率为ωd的衰减振荡周期的一半。

3）最大超调量Mp

最大超调量Mp发生在峰值时间t＝tp时，故取t＝tp＝π／ωd，c（∞）＝1得

最大超调量仅与阻尼比ζ有关，如果已测得二阶欠阻尼系统的最大超调量，则可以求得对应的阻尼比

4）调整时间ts

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如式（32），即

图3-17 二阶系统的单位阶跃响应

c（t）的包络曲线为，如图3-17所示，c（t）始终包含在这对包络曲线之内。包络曲线的衰减系数为ζωn，衰减时间常数为1／ζωn。

调整时间ts是指响应曲线进入并保持在（1±5％）c（∞）或（1±2％）c（∞）范围内所需的时间。这可近似地认为包络曲线进入并保持在这一范围内所需的时间，有

解得

若误差允许范围Δ＝±5％，则有

系统为欠阻尼（0＜ζ＜1），故ln小而可忽略，所以

同理若误差允许范围Δ＝±2％，则有

由图3-11知，二阶欠阻尼系统的极点在实轴的投影为－ζωn，即离虚轴距离相等的系统，其调整时间相同。

根据上述瞬态响应指标计算公式，可知最大超调量Mp只与阻尼比ζ有关，它直接反映系统阻尼情况；上升时间tr、峰值时间tp和调整时间ts均与阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn有关。因为阻尼比ζ通常根据允许的最大超调量Mp确定，变化范围较小，所以反映系统快速性的几个瞬态响应指标主要取决于无阻尼自然频率ωn。也就是说，在不改变最大超调量的情况下（即不改变ζ值），可通过提高无阻尼自然频率ωn来缩短瞬态响应时间。

分析可以得出，ωn越大，系统响应越快。为了限制超调量Mp，减小调整时间，阻尼比ζ不应该太小。如果ζ＝0．4～0．8，最大超调量在2．5％～25％之间。

［例3-10］ 图3-18（a）是一个机械振动系统，当有300N的力（阶跃输入）作用于系统时，质量M作如图3-18（b）所示的运动。试根据这个响应曲线，确定质量M、阻尼系数B和弹簧刚度K的数值。

图3-18 机械振动系统

（a）机械振动系统； （b）阶跃响应曲线

［解］ 系统建模可得系统传递函数

在阶跃力F（s）＝300／s作用下，输出量

输出量x（t）的稳态值有

可得

K＝300N／cm

由图3-18（b）的响应曲线知Mp＝9．5％，可得ζ＝0．6。结合峰值时间

得

ωn＝1．96rad／s

又，可得

因2ζωn＝，即

B＝2ζωnM＝2×0．6×1．96×78．09＝183．7N／cm

［例3-11］ 如图3-19（a）所示单位反馈系统，求取K和p使得系统阶跃响应超调量不超过5％，Δ＝±2％的调整时间小于4s。

图3-19 单位反馈系统

［解］ 根据最大超调量

得

由Δ＝±2％的

得

ζωn≥1

同时满足这两个时域约束条件的极点配置的可行区域即图3-19（b）中的阴影部分。取闭环极点p1，2＝－1±1j，对应有ζ＝、ωn＝。

系统闭环传递函数

有