高阶系统的时域响应

时间：2023-02-14 理论教育版权反馈

【摘要】：如果主导极点是共轭复数极点，则该高阶系统可用这对主导极点组成的二阶系统来近似，并用此二阶系统的瞬态响应指标来估计系统的动态性能。由上述分析知可以将此三阶系统简化为以一对共轭复极点为极点的二阶系统，即可用分析二阶系统的方法来近似分析原来的三阶系统。

如果系统全部闭环极点和闭环零点互不相同，且极点中含有q个实数极点pj，r对共轭复数极点σk±jωk，n＝q＋2r，则系统传递函数为

则当单位阶跃输入R（s）＝1／s时，系统输出

拉氏反变换得系统单位阶跃响应

式中：aj、bk为对应极点上的留数。

式（37）的第一项为稳态分量，第二、三项为瞬态分量，分别由一阶系统和二阶系统的瞬态分量组成。第二项中每一个实数极点对应一个非周期分量。第三项中每一对共轭复数极点对应一个阻尼振荡分量。由此可见，极点的性质确定了相应瞬态分量的类型。图3-22给出了位于不同s平面位置的特征根所对应的脉冲响应曲线形状。

图3-22 不同位置特征根对应的脉冲响应曲线

如果所有闭环极点所有特征根的实部均为负，即特征根均位于s平面左半部，则随时间t→∞，第二、三项均趋近于零。各瞬态分量衰减速度决定于衰减系数pj和ζkωk，即系统闭环极点的实部。闭环极点离虚轴越远，相应分量衰减越快。反之，闭环极点离虚轴越近，相应分量衰减越慢，影响也越大。因此如果响应稳定的则阶跃响应有界。

从式（37）可知各瞬态分量不仅与闭环极点在s平面上的位置有关，而且还与闭环零点的位置有关。零点会影响各个极点上的留数大小，从而确定各瞬态分量衰减的初始幅值大小。

（1）如果一个闭环零点靠近某一个闭环极点，这个极点上的留数将比较小，对应于这个极点的暂态分量影响也比较小，所以一对靠得很近的极点和零点可相互抵消。

（2）如果某极点的位置离虚轴很远，这个极点上的留数也将会很小，因而远极点所对应的瞬态分量很小，且持续时间短。

（3）如果某极点附近没有闭环零点，且与虚轴距离很近，则对应的瞬态分量不仅幅值大，而且衰减慢，对系统瞬态响应影响最大。

（4）快速衰减的分量只在瞬态响应初始阶段有影响。如果在式（37）中，忽略某些留数很小或离虚轴很远的极点所对应的瞬态分量，则一个高阶系统可以用一个低阶系统来近似。

通过以上分析得出，瞬态响应曲线类型取决于闭环极点，而瞬态响应曲线的具体形状还取决于闭环零点。各瞬态响应分量衰减快慢取决于对应的闭环极点距离s平面虚轴的远近，其中最靠近虚轴的闭环极点所对应的瞬态分量衰减得最慢，在所有各分量中起主要作用。

高阶系统中所有其他极点的实部比距离虚轴最近的闭环极点的实部大5倍以上，并且在该极点附近不存在闭环零点，则这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的瞬态响应起主导作用，并称其为闭环主导极点。主导极点的实部比其他极点的实部小5倍以上，意味主导极点对应的瞬态分量衰减到进入稳态（即Δ＝±2％或Δ＝±5％）所需要的调整时间比非主导极点所对应的瞬态分量衰减到进入稳态所需要的调整时间长5倍以上。

如果主导极点是共轭复数极点，则该高阶系统可用这对主导极点组成的二阶系统来近似，并用此二阶系统的瞬态响应指标来估计系统的动态性能。当主导极点是实极点，则该高阶系统可用由这个主导极点对应的一阶系统来近似，并用此一阶系统的瞬态响应指标来估计系统的动态性能。

［例3-13］已知三阶系统的闭环传递函数求其精确的单位阶跃响应及高阶降阶后的单位阶跃响应。