控制输入信号作用下的系统稳态误差

1）稳态误差系数

系统在控制信号作用下的稳态误差可用公式

求得。但工程上常采用稳态误差系数来求取控制信号作用下的稳态误差。

稳态误差系数定义基于输入信号形式，即不同控制输入信号作用对系统稳态误差的影响。

单位阶跃输入（R（s）＝1／s）时系统的稳态误差为

式中：稳态位置误差系数Kp＝

单位斜坡输入（R（s）＝1／s2）时系统的稳态误差

式中：稳态速度误差系数Kv＝

单位抛物线输入（R（s）＝1／s3）时系统的稳态误差

式中：稳态加速度误差系数Ka＝

由上述定义知稳态误差系数越大，则对应的稳态误差越小。

2）不同系统结构的稳态误差

若将系统开环传递函数写成如下形式

式中：K为开环增益；n为系统阶数；狏为G（s）H（s）所含积分环节的个数。

按系统开环传递函数中积分环节的个数可以将系统分成0型、1型、2型等系统类型。

（1）0型系统的稳态误差。

若式（4-11）中令狏＝0则系统为0型系统，按定义可得0型系统的稳态误差系数

可得0型系统在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线输入下，系统的稳态误差分别为

可见0型系统在单位阶跃信号输入下的稳态误差为常数，且可以通过提高开环增益K来减小。0型系统在单位斜坡、单位抛物线信号输入下，稳态误差为无穷大，因此0型系统不能用来跟踪速度和加速度信号。0型系统在阶跃信号、斜坡信号和抛物线信号输入时，系统均存在稳态误差，故称为有差系统。

0型系统在单位阶跃信号输入时的稳态误差又称位置误差，如图4-13所示。

图4-13 0型系统的阶跃响应

（2）1型系统的稳态误差。

若式（4-11）中令狏＝1则系统为1型系统，按定义可得1型系统的稳态误差系数

Kp＝∞　Kv＝K 　Ka＝0

和1型系统在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线信号输入下的稳态误差

可见1型系统在单位阶跃信号输入下，没有稳态误差；在单位斜坡信号输入下，稳态误差为常数（系统开环增益的倒数）；在单位抛物线信号输入下的稳态误差为无穷大，因此系统不能用于跟踪加速度信号。1型系统在阶跃信号作用下系统稳态误差为零，在斜坡信号和抛物线信号作用下系统存在稳态误差，因此也称为一阶无差系统。

1型系统单位斜坡信号输入下的误差也称为速度误差，这里的误差并不是指速度上的误差，而是指由于斜坡输入而造成的位置上的误差，如图4-14所示。

图4-14 1型系统的斜坡响应

（3）2型系统的稳态误差。

同理式（4-11）中令狏＝2则系统为2型系统，按定义可得

2型系统的稳态误差系数

Kp＝∞　Kv＝∞ 　Ka＝K

和2型系统在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线输入下的稳态误差

可见2型系统在单位阶跃、单位斜坡输入下，稳态误差均为零；在单位抛物线输入下，系统稳态误差为常数，且为系统开环增益的倒数。2型系统在阶跃信号和斜坡信号作用下稳态误差为零，而在抛物线信号作用下系统存在稳态误差，因此也称为二阶无差系统。

2型系统在单位抛物线输入下的误差也称为加速度误差，指的是由于抛物线输入造成的位置上的误差，如图4-15所示。

图4-15 2型单位的抛物线响应

3）减小系统稳态误差的方法

表4-3概括了0型、1型、2型系统的各个稳态误差系数和各种输入作用下的稳态误差。由表4-3可见，稳态误差系数和稳态误差只有三种值：0、常数、∞。表中位于对角线上的稳态误差系数和稳态误差为有限常数。对角线以上的稳态误差系数为0，对角线以下的稳态误差系数为∞，而稳态误差正好相反。由表4-3还可以看出，有限值的稳态误差系数和稳态误差均可用系统开环增益K来表示，并且稳态误差基本上为对应稳态误差系数的倒数。

表4-3 稳态误差系数与稳态误差

由表4-3知，提高系统开环增益K、增加开环传递函数中积分环节个数可以减小和消除在控制信号作用下的稳态误差。由于这两个方法都会对系统的稳定性带来不利影响，因此应综合考虑。

稳态误差系数和稳态误差都反映了系统的精度，均可以作为系统分析和设计时的稳态性能指标。位置误差、速度误差、加速度误差的含义均指在输出位置上的误差。例如有限值稳态速度误差意味着在瞬态过程结束后，输入和输出以同样的速度变化，但存在有限值的位置误差。

如果系统输入为其他形式信号，可将信号按泰勒级数展开，其前三项即为表4-3中的典型输入信号，分别将这三种典型输入信号作用于系统，再应用叠加原理求得系统稳态误差。

［例4-12］ 已知某1型单位反馈系统的开环增益K＝600s－1，系统最大跟踪速度ωmax＝24°／s。求系统在最大跟踪速度下的稳态误差。

［解］ 单位速度输入下的稳态误差

ess＝1／Kv

对1型系统，Kv＝K。输入速度为24°／s非单位速度输入，所以系统的稳态误差为

ess＝ωmax／Kv＝24／600＝0．04°

［例4-13］ 某阀控油缸伺服工作台为1型系统，要求最大移动速度狏max＝10cm／s，定位精度0．05cm，试求系统开环增益。

［解］根据系统最大移动速度下的稳态误差，可得单位速度输入下的稳态误差为

ess＝0．05／10＝0．005s

所以系统的开环增益

K＝Kv＝1／ess＝1／0．005＝200s－1