根轨迹特性

式（7-2）是关于s的复数方程，可将其分解为幅值条件和幅角条件。

幅角条件为

式（7-3）表明幅角条件只与开环零点、极点有关。

幅值条件为

式（7-4）表明幅值条件不但与开环零点、极点有关，还与开环根轨迹增益有关。

幅角条件是充要条件，若s平面上的某一点s是根轨迹上的点，则式（7-3）就成立。反之，若找到一点s使式（7-3）成立，则该点必为根轨迹上的点。

幅值条件是必要条件，即若s平面上的某点s是根轨迹上的点，则式（7-4）成立，并能求得对应的K′值。反之，s平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。

例如单位反馈系统的开环传递函数G（s）＝，开环极点p1＝0。负实轴上任意一点s1均有－∠（s1－p1）＝－180°，满足幅角条件，因此负实轴是根轨迹。而负实轴上的任意点均不能满足幅角条件，因此负实轴外的均不是根轨迹。

又如图7-1所示系统，其幅值条件为

设在s平面上取一点s＝－2，此时取K＝2，则式（7-4）成立，但s＝－2并不是根轨迹上的一点。由前面分析可知，当K＝2时，s1，2＝－才是根轨迹上的点。

在实际应用中，通常用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点的K′值。随着相关软件的发展，已不再手工绘制根轨迹，但在手工绘制根轨迹中所采用的一些根轨迹的特性还是有利于进行基于根轨迹的系统分析并进行系统校正。

1）根轨迹的起点和终点

由幅值条件可得

如K′＝0，则s必须趋近于某个开环极点pi，即根轨迹起始于开环极点。

如K′＝∞，则s必须趋近于某个开环零点zi，即根轨迹终止于开环零点。

2）根轨迹分支数

n阶系统的根轨迹有n个起始点，因此系统根轨迹有n个分支。

对于实际物理系统，开环极点一般多于开环零点，即n＞m，这时，根轨迹分支有m条终止于开环零点（有限值零点），另有（n－m）条根轨迹分支终止于（n－m）个无限远零点。

3）根轨迹的连续性和对称性

由于闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是K的连续函数；又由于特征方程的根为实根或共轭复数根，所以根轨迹连续并对称于实轴。

4）实轴上的根轨迹

系统在实轴上任意取试验点s1，此时

其中：

（1）每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360°；

（2）s1左边所有位于实轴上的极点或零点所提供的幅角均为0°；

（3）s1右边所有位于实轴上的极点或零点所提供的幅角均为180°。

为满足幅角条件，s1右边的实数开环零点、极点个数之和应为奇数。因此实轴上某一区段右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴是根轨迹。

如图7-6所示的一闭环系统的开环零极点分布，实轴区段［p1，z1］、［p2，p3］中的任意点右边位于实轴上的零极点总数为奇数，因此［p1，z1］、［p2，p3］是根轨迹。

图7-6 实轴上的根轨迹

5）根轨迹的渐近线

当系统n＞m时，有（n－m）条根轨迹分支终止于无限零点，这些根轨迹沿着渐近线趋于无限远处。由于根轨迹的对称性，这些渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。

由方程系数与根的关系知

则

相除可得

K′→∞时，s→∞，此时可只考虑前两项并可写成模和相角的形式：

两边开（n－m）次方得

用牛顿二项式定理展开上式，由于s趋于∞，可忽略分母中s二次幂及以上各项，得

或

式（7-5）在s平面上是一组（n－m）条与实轴交点为σa、倾角为a的射线。由其中可得

渐近线与实轴的倾角

渐近线与实轴交点的坐标值

图7-7是几种常见根轨迹的渐近线。当n－m＝1时，根轨迹有一条渐近线，k＝0，a＝±180°，即渐近线与负实轴重合。当n－m＝4时，根轨迹有四条渐近线。令k＝0，1，得a＝±45°和a＝±135°。

图7-7 几种常见根轨迹的渐近线

6）根轨迹的分离点

根轨迹在s平面某一点相遇后又立即分开，这一点称为分离点（或会合点）。由此定义知分离点是K′为某一数值时的重根点。常见的分离点出现在实轴、共轭复数对中线上。例如，图7-1所示的二阶系统根轨迹，b点处，系统出现重根s1，2＝－，b点即为根轨迹分离点。有三种方法求解分离点坐标值。

（1）分式方程求解分离点坐标值σb。

图7-2中，开环传递函数为

系统闭环特征方程为

如根轨迹在s平面上相遇并有重根s1，由代数重根条件得

上两式可写成

此两式相除得

则有

或

即得

由上式解出s1，分离点为σb，则分离点方程为

［例7-03］ 已知某一系统的开环零极点分布如图7-8所示。试画出其根轨迹。

［解］ 由图知存在三个极点，根轨迹有三条分支，分别起始于图上的开环极点0、－2、－3，终止于图上的开环有限零点－1和两个无限零点。根轨迹对称于实轴，实轴上0到－1和－2到－3两个区域段为根轨迹。

n－m＝2，根轨迹有两条渐近线，渐近线与实轴的倾角

渐近线与实轴的交点坐标

作得渐近线如图7-8中虚线所示。

在实轴［－3，－2］有根轨迹分离点，并有

求解可得σb1＝－2．47和σb2，3＝－0．77±0．79j，代入幅角条件知只有σb1＝－2．47满足，即只有一个分离点σb＝－2．47。由此绘出的系统根轨迹如图7-8中的粗实线所示。

（2）极值法求解分离点坐标值σb。

图7-9为实轴上根轨迹的分离点示意图。由分离点定义在σb点处闭环特征方程有重根。假定s点沿实轴自p2点移向p1。增益K′从零开始逐渐增大，到达σb点时为最大，然后K′值逐渐减小，到p1点时K′为零。这表明，根轨迹分离点处所对应的增益K′具有极值。由式（7-2）可推得

满足上式并使式（7-2）K′值为正实数的s值，即为分离点的坐标。

图7-8 系统根轨迹

图7-9 实轴上根轨迹分离点

［例7-04］ 绘制系统根轨迹，已知系统的开环传递函数为G（s）H（s）＝

［解］ 系统开环极点为p1＝0、p2＝－4、p3，4＝－2±j4。根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支，分别起始于极点0，－4和－2±j4，终止于无限远零点。实轴上［－4，0］为根轨迹。根轨迹有四条渐近线，渐近线与实轴的倾角为

渐近线与实轴交点的坐标为

作得渐近线如图7-10中虚线所示。

系统的特征方程为

所以

K′＝－s（s＋4）（s2＋4s＋20）＝－（s4＋8s3＋36s2＋80s）

则

解代数方程得s＝－2，s＝－2±j2．45。此三个解代入幅角条件均满足。因此实轴上的根轨迹分离点为σb1＝－2，复平面上两个共轭分离点为σb2，3＝－2±j2．45。作根轨迹如图7-10所示。

图7-10 系统根轨迹

（3）重根法求解分离点坐标值σb。

设系统根轨迹的分离点σb，则有

D（s）＝（s－σb）rD1（s），r＞1

对上式求导可得

因r＞1，将s＝σb代入上式有

设可将系统闭环特征多项式写成

D（s）＝A（s）＋K′B（s）＝0

对其求导，并将s＝σb代入有

因为故上式成为

因此当K′可以写成多项式分式时，可以对B（s）求根，其中使得K′为正实数的根即为分离点σb。

表7-1中三个系统采用重根法求取分离点，其中第一个系统所求取得的根中有两个无法使K′为正实数故舍去。第二个系统中得到一个2重根的σb，表明此σb处r＝3，三条根轨迹重合。三个系统不同的只是一个开环极点由－4变化成为－9和－12，但根轨迹形状相差很大。

7）根轨迹的起始角和终止角

如图7-11所示，从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角叫作起始角；而进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角叫作终止角。

图7-11 根轨迹的起始角和终止角

以图7-11（a）所示开环零、极点分布为例，在根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1，有幅角方程

∠（s1－z1）－∠（s1－p1）－∠（s1－p2）－∠（s1－p3）＝±（2k＋1）π

s1无限靠近p1时，各开环零、极点至s1的矢量变成至p1的矢量，按定义此时∠（s1－p1）即为起始角

∠＝±（2k＋1）π＋∠（p1－z1）－∠（p1－p2）－∠（p1－p3）

推广可得根轨迹起始角的一般计算式为

其中k的取值应使起始角取值在［0°，360°］之间。

同理，根轨迹终止角一般计算式可推得为

［例7-05］ 绘制系统根轨迹，已知系统的开环传递函数为

［解］ 系统根轨迹有四条分支，分别起始于开环极点p1＝0、p2＝－2．5和p3，4＝－0．5±j1．5，终止点分别为开环零点z1＝－1．5，z2，3＝－2±j和无穷远点－∞。实轴上（－∞，－2．5］和［－1．5，0］是根轨迹。

如图7-12（a）所示，可计算p3的起始角

∠p3＝±（2k＋1）π＋∠（p3－z1）＋∠（p3－z2）＋

∠（p3－z3）－∠（p3－p1）－∠（p3－p2）－∠（p3－p4）

＝±（2k＋1）π＋56．3°＋18．4°＋59°－108．4°－36．9°－90°

取k＝0，得∠p3＝78．4°。

p3和p4为共轭复数，根轨迹对称，故∠p4＝－78．4°。

如图7-12（b）所示，z2的终止角

∠z2＝±（2k＋1）π＋∠（z2－p1）＋∠（z2－p2）＋

∠（z2－p3）＋∠（z2－p4）－∠（z2－z1）－∠（z2－z3）

＝±（2k＋1）π＋153°＋199°＋121°＋63．5°－117°－90°

取k＝1，得∠＝149．6°，则∠＝－149．6°。

系统根轨迹如图7-12（c）所示。

图7-12 系统根轨迹

（a）∠的求取； （b）∠的求取； （c）根轨迹

8）根轨迹与虚轴的交点

根轨迹中靠近虚轴和原点部分与系统动态特性相对应，因此需要确定根轨迹与虚轴交点。

根轨迹与虚轴相交时闭环特征方程有纯虚根，系统处于稳定边界。可应用劳斯赫尔维茨判据，先求出系统处于稳定边界的临界K′值，再由K′值求出相应的ω值，即为根轨迹与虚轴的交点。

也可以直接将s＝jω代入闭环特征方程

1＋G（jω）H（jω）＝0

由这个复数方程可得

Re［1＋G（jω）H（jω）］＝0　 Im［1＋G（jω）H（jω）］＝0

由此两个代数方程可得根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的临界K′值。

［例7-06］ 一系统的开环传递函数为G（s）H（s）＝，求根轨迹与虚轴的交点。

［解］ 该系统的闭环特征方程为

s（s＋1）（s＋2）＋K′＝s3＋3s2＋2s＋K′＝0

（1）由稳定边界方法求解时可列劳斯阵列

令（6－K′）／3＝0，可得系统稳定的临界K′＝6。由阵列中s2行元素构成辅助方程

3s2＋6＝0

解得s＝±j，即为根轨迹与虚轴的交点。

（2）将s＝jω直接代入闭环特征方程求解时，有

（jω）3＋3（jω）2＋2（jω）＋K′＝（K′－3ω2）＋j（2ω－ω3）＝0。

实部和虚部的实数方程分别为

解方程得

ω＝± K′＝6

即根轨迹与虚轴的交点为±j。

9）闭环特征方程根之和与根之积

由式（7-2）知，系统闭环特征方程可以表示成以下形式：

式中：zi，pi分别为开环零极点；si为闭环极点。则闭环极点与特征方程的系数有如下关系：

由式（7-11）可得，随着K′增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会有另外一些根轨迹分支向右移动，以维持总和不变。

［例7-07］ 绘制系统根轨迹，已知系统的开环传递函数为G（s）H（s）＝

［解］ 令根轨迹增益K′＝3K。根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支，分别起始于开环极点0，－3，－1±j，终止于零点－2和另外三个无限远零点。实轴上区段［－2，0］和（－∞，－3］为根轨迹。

三条轨迹渐近线（n－m＝3），与实轴的倾角为

取k＝0，1，得渐近线与实轴倾角为＋60°、－60°和＋180°。

渐近线与实轴交点坐标为

系统特征方程

s4＋5s3＋8s2＋（6＋K′）s＋2K′＝0

列劳斯阵列

令劳斯阵列中s1行第一列元素为零，即6＋K′＝0，解得K′＝7．02，K＝2．34。

由s2项系统构成辅助方程

用K′值代入上式，解得根轨迹与虚轴的交点s＝±j1．614。

两条根轨迹分支起始于共轭复数极点－1±j，其起始角为

＝±（2k＋1）180°＋45°－（135°＋90°＋26．6°）＝26．6°

从闭环特征方程可知，各闭环极点之和为－5。故当实轴上根轨迹分支向左趋向于无限零点时，两个从复数极点出发的根轨迹分支趋向于右边无限零点。

K′＝7．02时，根轨迹与虚轴两个交点s＝±j1．614，此时在实轴上两支根轨迹上相应点s1和s2可由式（7-11）和式（7-12）求得：

得s1＝－1．58和s2＝－3．42，如图7-13中黑点所示。

根据上述信息，可绘出系统根轨迹如图7-13所示。

图7-13 系统根轨迹