火箭的运动

火箭飞行的原理实质上就是动量定理和动量守恒定律。在火箭体燃烧室内，燃料燃烧生成的高温高压气体不断由火箭腔向后喷出，获得向后的动量，因此按动量守恒定律（不计阻力和重力时），火箭获得向前的动量。燃料不断燃烧，连续向后喷出气体，使火箭不断地受到向前的反冲力，这个反冲力即推动火箭箭体加速飞行的动力。由于燃料不断燃烧，火箭体质量不断减少，所以火箭体是一个变质量物体。

一、火箭运动研究背景

早在宋代，人们把装有火药的筒绑在箭杆上，或在箭杆内装上火药，点燃引火线后射出去，箭在飞行中借助火药燃烧向后喷火所产生的反作用力使箭飞得更远，这种向后喷火、利用反作用力助推的箭，可以称为原始的固体火箭。

19世纪80年代，瑞典工程师拉瓦尔发明了拉瓦尔喷管，使火箭发动机的设计日臻完善。19世纪末20世纪初，液体火箭技术开始兴起。1903年，俄国的К．Е．齐奥尔科夫斯基提出了制造大型液体火箭的设想和设计原理。1926年3月16日，美国的火箭专家、物理学家R．H．戈达德试飞了第一枚无控液体火箭。1944年，德国首次将可控的、用液体火箭发动机推进的V 2导弹用于战争。1931年5月，德国科学家赫尔曼·奥伯特领导的宇宙航行协会试验成功了欧洲的第一枚液体火箭。第二次世界大战以后，苏联和美国等相继研制出包括洲际弹道导弹在内的各种火箭武器。

中国于20世纪50年代开始研制新型火箭。1970年4月24日，用“长征”1号三级运载火箭成功地发射了第一颗人造地球卫星。如今，在火箭发源地的中国，现代火箭技术领域已跨入世界先进行列，并已稳步地进入国际发射服务市场。

在发展现代火箭技术方面，中国的钱学森、美国的冯·布劳恩和苏联的S．P．科罗廖夫等都作出了杰出的贡献。

二、火箭运动的数学描述

设t时刻，质量为m1的火箭，以速度v向上运动，在t+dt时刻，喷出气体dm2，喷气相对火箭的速度（称喷气速度）为u（向下），火箭系统所受外力为F，根据动量定理有

Fdt=p（t+dt）-p（t）=（m1-dm2）（v+dv）+dm2（v+dv+u）-m1v（8-1）

假设火箭运动为一维运动，并以竖直向上为运动速度正方向，式（8-1）简化为

Fdt=m1dv-udm2（8-2）

式（8-2）中省略了二阶小量dm2dv。将式（8-2）右侧的第二项移项并将等式两边除以dt，可得

又因为dm2=-dm1（dm1为箭体减少的质量），所以箭体运动方程为

只计重力时，有

设t=0时，v=v0，m1=m10，任一时刻t时为v和m1，式（8-5）两边取积分可得

式（8-6）两边积分后整理得

式（8-7）称为火箭运动方程，其中m10表示起始时刻火箭推进剂质量与火箭箭体质量之和。

三、火箭运动方程的意义

动量定理和动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，可以说任何一个物理学到一定程度的学生都必须熟练掌握，而火箭却听起来那么高科技，很难想象后者的基础就是前者。由此可见，物理学是研究一切物体运动的基础，只有坚实的基础才能发展高科技。另外，由火箭运动方程可推测，要提高火箭的最终飞行速度可以采取两项措施：

（1）增大u值，即提高燃料喷射速度；

（2）增大火箭的质量比。

这两项措施在实际运用中有三种方法：

（1）采用高能量的推进剂，即采用高比推力的推进剂，但比推力的提高受到科学技术水平的限制，如今常用的高比推力的化学能推进剂为液氧和液氢。

（2）采用高强度的结构材料，尽量减轻火箭的结构质量，这种办法也受当前科学技术水平的限制。

（3）增加火箭的推进剂质量，但单纯增加推进剂质量也不行。当推进剂质量增加时贮箱的容积也需要增加，结构质量随之增加，所以的比值不一定增加。实际情况是当推进剂适量增多时该比值增长幅度较大，但当推进剂质量越来越大时，该比值的增长幅度将越来越小，最终会趋于一个常值。也就是在比推力不变的情况下，无论推进剂的质量怎样增加，火箭的末速度会停留在某个数值上而不再增大。这一结果可以比较直观地说明，即当推进剂增加时，除了贮箱容积增大之外，贮箱所受到的载荷也在增加，因而贮箱的箱壁越来越厚，贮箱也越来越重。火箭飞行一段时间之后，推进剂被消耗，贮箱越来越空，推进剂释放出来的能量不仅要加速有效载荷，还要加速这部分空贮箱，贮箱越重，用于加速空贮箱的推进剂比例就越大，直到速度不再增加。所以，在设计火箭时，为了获得很大的速度，一般采用多级火箭。简单地说，多级火箭就是把几个单级火箭连接在一起形成的，在火箭飞行过程中，第一级火箭先点火，当第一级火箭的原料用完后，使其自行脱落，这时第二级火箭开始工作，以此类推，这样可以使火箭获得很大的飞行速度。

如果忽略重力，且设各级火箭的质量比为Ni，则有

v1-v0=u1ln N1

v2-v1=u2ln N2

……

vn-vn-1=unln Nn

因而

vn=u1ln N1+u2ln N2+…+unln Nn+v0

当u1=u2=…=u N=u时，有

vn=u（ln N1+ln N2+…+ln Nn）

=uln（N1N2…Nn）+v0

但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭，如图8-1所示。如美国发射的“阿波罗”登月飞船的“土星五号”火箭为三级火箭，第一级：u1=2．9km／s， N1=16；第二级：u2=4km／s，N2=14；第三级：u3=4km／s，N3=12；火箭起飞质量为2．8×106kg，高度为85m，起飞推力为3．4×107N。

图8-1

我国的长城三号火箭为三级火箭，火箭起飞质量为2．02×105kg，高度为43．35m，起飞推力为2．74×107N，从1986年起开始为国际提供航天发射服务。

应当注意，火箭在某个确定的起飞质量下并非级数越多越好，因为每一级火箭除了贮箱外至少还必须有动力系统、控制系统、伺服机构以及连接各级火箭的连接结构等。每增加一级，这些组成部分就增加一份。级数太多不仅费用增加，可靠性降低，火箭性能也会因结构质量增加而变坏。因为在起飞质量不变的前提下，增大结构质量必然要减少推进剂，从能量守恒原理可知其运载能力必然下降。总之，为了提高火箭的运载能力，采用多级火箭是个好办法，但不是级数越多越好，它与起飞质量之间有着某种制约关系。

四、课后习题

8-1 质量为6000kg的火箭竖直发射，假设喷气速度为1000m／s，问每秒内必须喷出多少气体，才能满足下列条件：

（1）能克服火箭重量所需要的推力；

（2）能使火箭最初向上的加速度为19．6m／s2。

8-2 发射卫星的最后阶段，飞行体仅剩连在一起的火箭壳和卫星舱，其飞行速度为7600m／s。已知火箭壳的质量为290．0kg，卫星舱的质量为150．0kg。当连接两者的夹子打开后，其中的压缩弹簧使两者以910．0m／s的相对速度分离。假定分离速度与飞行速度成一直线，求火箭壳与卫星舱的速率各为多少？