振动的叠加

最容易通过数学分析求解的振动是简谐振动，即物体在与偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。在现实中，很多系统的振动不是严格的简谐振动，但是任何复杂的振动都可以看作许多不同频率不同振幅的简谐振动的叠加。本讲将讲述振动叠加的原则和方法。

一、振动叠加研究背景

17世纪的研究者奠定了处理振动问题的物理基础并提供了数学工具。到了18世纪，振动力学已从物理学中独立出来，最主要的成就为线性振动理论的形成，它是与数学中的常微分方程和偏微分方程同步发展的。这一时期对振动力学作出了贡献的研究者几乎都是数学家，离散系统振动理论在18世纪中叶基本成熟。1747年欧拉（Euler）在研究空气中声传播时也建立了等刚度弹簧联结等质量质点的模型，他不仅列出了运动微分方程并求出精确解，而且发现系统的振动是各简谐振动振型的叠加，特定振型的出现取决于初始条件。

弦线振动理论在18世纪建立。1746年D'Alembert在研究均匀弦线振动时，同时考虑弦线位移随时间和弦上位置的变化导出描述弦线振动的波动方程并求出行波解。1748年Euler沿用D'Alembert的方法处理了非光滑初始条件。1753年Daniel Bernoulli用无穷多个振动模态的叠加得到弦线振动的驻波解。

在研究振动的过程中也遇到一些问题。在18世纪，振动的研究多半由数学家完成，而振动叠加的研究就更加像一个数学课题多于像一个物理课题，因此它需要更好的数学工具和证明。Daniel Bernoulli用无穷多个振动模态的叠加得到弦线振动的驻波解，但是在过程中其数字处理并不严格。1759年Lagrange从驻波解出发推导出行波解，从而在物理上充分理解了均匀弦线的振动规律。直到1811年Fourier提出函数的三角级数展开，一种更为有效的数学工具才问世。

二、振动叠加的数学描述及物理解析

1．同方向同频率振动的叠加

设一个质点在直线上同时参与了两个独立的同频率的简谐振动，这两个独立振动的振动方程分别表示为

x1=A1cos（ωt+φ1）（20-1）

x2=A2cos（ωt+φ2）（20-2）

它的合运动为x=x1+x2。

在振幅相同，即A1=A2=A时，由三角函数和差化积公式可得

容易看出式（20-3）表达的合振动还是一个简谐振动，但振幅变为2Acos，初相位变为。

在振幅不等时，用旋转矢量来分析。如图20-1所示，由于两个振动的频率相同，则它们在运动中A1和A2之间夹角不随时间变化，相当于合振幅矢量A以相同的角速度转动，且大小不变。从而我们得出，在振幅不同时，其合振动仍然是简谐振动。由余弦定理可以得出合振幅大小为

图20-1

由图20-1中关系可得合振动的初相位为

2．两个同方向不同频率振动的叠加

若两个同方向不同频率的简谐振动叠加，为简化数学上的推导过程，取两振动的振幅、初相位相同。此时两个振动分别表示为

x1=Acos（ω1t+φ）（20-6）

x2=Acos（ω2t+φ）（20-7）

由和差化积公式有

若有|ω2-ω1|远远小于ω1或ω2，将产生“拍”的现象，这时的合振幅将随时间缓慢地发生周期性变化，如图20-2所示。其变化周期为

振幅变化的频率称为拍频，大小为

图20-2

3．相互垂直振动的叠加

若一个质点参与了两个方向相互垂直的简谐振动，它的合运动一般而言为平面上的曲线运动。如果这两个垂直方向的振动频率相同，则质点在x，y方向的振动方程可写为

x=A1cos（ωt+φ1）（20-11）

y=A2cos（ωt+φ2）（20-12）

消除其中的时间因子之后，可以得到有关x，y的方程f（x，y）=0，即

式（20-13）就是质点运动的轨迹方程。从式（20-13）可以看出，质点的运动轨迹由两个垂直方向振动的初相差决定。如果初相差为π的整数倍，则质点的运动轨迹为一条直线，称为线振动；如果初相差为π／2的奇数倍，则质点的运动轨迹为一椭圆（或者圆），称为椭圆振动（A1=A2时为圆振动）。除了消去时间因子，还可以用振幅矢量法分别作x，y方向的旋转矢量图，通过投影得出一个个轨迹点，连接起来之后同样可以得到质点的轨迹方程，这一图形称为李萨如图形。值得注意的是，这一运动不一定具有周期性，但两个简谐振动的频率比是整数时，合运动仍为周期运动，其运动是有规则的图形。图20-3是几种典型频率比、典型相位差情况下质点运动的轨迹图，即部分李萨如图。

由上面讨论可以看出，对于同方向的振动叠加，由于总位移等于各分位移的矢量和，所以给出有限多个同方向的简谐振动，都可以将它们相加来得到总位移，即x=xi，其中xi=Aicos（ωit+φi）。对于两个方向不同的振动叠加，要么消去时间因子，要么找对坐标轴，用旋转矢量法进行投影找出坐标后连接各点，两种方法都可得到质点的运动轨迹。前一种方法所得结果是精确解，第二种方法做起来容易，但结果粗糙。但是第一种方法具有较高的要求，参数t一般是不易消去的，所以第二种方法更具有应用上的广泛性。

图20-3

两种方法都可以推广到高维情况。若有n个不同方向的振动，找出其中一组基x1，x2，…，xi（i≤n），若能够消去时间因子得到关于这组基的方程f（x1， x2，…xi）=0，则这个方程就是质点在n维空间的运动轨迹。同时，我们可以将对应的振动在这组基上用旋转矢量法投影得出坐标，所有点的集合就是质点的运动轨迹。

三、振动叠加的其他表示形式及优缺点

若质点同时参与了n个同方向同频率的简谐振动，其合运动仍为简谐运动。若它的振幅相等，相位差依次有一恒定值δ。则可以有复数形式的计算，设分振动为

xj=Acos［ωt+（j-1）δ］（j=0，1，2，…，n）

其有复数形式

xj=Ae-i（ωt+（j-1）δ）（j=0，1，2，…，n）

合运动为

所以，合成振动的三角函数表达式为

从这个结论容易看出，n个同方向同频率的简谐振动的叠加仍为简谐振动。复数形式来表示简谐振动的优点体现在振动个数很多的时候可以轻易地将三角函数求和转换为等比数列求和，大大简化了问题，最后的结论简洁明了。缺点在于这种形式处理数据时，对分振动的要求很高，不具有普遍适用性。

四、振动叠加理论的意义及影响

振动叠加的理论在信号的处理当中十分重要。通常得到的信号都是许多简谐振动叠加起来的，但是我们所需要的只是其中一部分，这时就需要把其余的信号过滤掉，这里所运用的就是振动叠加和分解的知识。一般地，运用傅里叶变换将时域上的振动转换为频域上的信号，这样连续的振动就转换为离散的一条条线段，便于将需要的信号从噪声中分离出来。

我们首次使用振动叠加是在超声波波长的测量这一物理实验中。在这个实验中，用反射面制造两个平行的平面，其中一个作为声源，另一个为反射面。这样在声源处可以接收到两个振动，分别作为x，y方向的振动。将这两个振动叠加就可在示波器上显示出李萨如图。进一步移动反射面，当示波器上第二次出现相同的李萨如图时，两者之间距离的差就是超声波的波长。

五、课后习题

20-1 已知两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为x1=5cos 与x2=6cos ，振动位移单位为m，求：

（1）合振动的振幅及初相位；

（2）设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为x3=7cos（10t+φ3），问初相位为何值时，x1+x3的振幅最大、最小？

20-2 质点参与下列互相垂直的简谐振动：

请说明质点的真实运动轨迹。