速率分布律

时间：2023-02-14 理论教育版权反馈

【摘要】：再利用分子平均动能，可确定α=，代入式可得麦克斯韦速度分布函数为速率为标量，所以速率分布律是只考虑速度大小的分布。麦克斯韦的速率分布律将物理学与数理统计紧密地结合起来，体现了自然的统一之美。麦克斯韦速率分布律也具有一种宏观的美，克劳修斯侧重研究的对象是个别分子的机械运动，而麦克斯韦发现的是气体总体速率分布的情况。

气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。

一、建立背景

牛顿的力学理论体系建立后，人们普遍认为宇宙的一切都是按照物体间的作用力和力学方程运行的。因此可以根据一个物体在某一时刻的受力和运动状态，准确地确定这个体系以往和未来的运动状态，不存在任何偶然和奇迹。当时物理学家并没有发现热学和力学之间的关联，在机械决定论观点的统治下，科学家总是力图以机械论和力学的观点来解释热学现象。克劳修斯在《论我们称之为热的运动》中，阐述了关于气体压强公式的推导。他在导出理想气体状态方程的基础上，运用统计思想和冲量定理得出了压强与分子平均动能成正比；进一步将压强表达式与理想气体状态方程中压强的表达式比较得出温度的统计力学定义。在具体计算过程中克劳修斯应用了概率统计，他是把统计思想引入物理学的第一人。尽管他坚持物理世界受力学控制，从而影响了进一步运用概率统计的方法研究热学，但他起到了开辟道路的作用，也为麦克斯韦发现气体速度分布律带来启发。

麦克斯韦对概率理论有着浓厚的兴趣。在看到克劳修斯的论文之前，麦克斯韦就已经注意到大量物体相互碰撞时的运动问题，但因所涉及的问题过于复杂，当时还没有办法解决。研读克劳修斯的论文之后，麦克斯韦受到启发，将研究转向了分子的运动。麦克斯韦对克劳修斯“所有分子速度相等”的假设表示怀疑。他认为所有分子的速度应该是在0～∞范围内以一定概率出现的，在一定条件下呈现一种稳定的速度分布。麦克斯韦将其理论写入《气体动力理论的解释》中，这篇论文的发表标志着麦克斯韦速度分布律的建立。

二、麦克斯韦速度、速率分布律的数学表述及物理解析

1．麦克斯韦速度分布律

首先假设容器内气体处于平衡态，气体分子总数为N。将气体速度v分解为vx，vy，vz，并在分速度方向建立直角坐标系如图24-1所示。

图24-1

处于平衡态的气体速度分布是各向同性的，速度矢量的端点在体积元dw=dvxdvydvz内的分子数d N与总分子数N和速度间隔体积元成正比，即

d N∝Ndvxdvydvz（24-1）

式（24-1）应该引入一比例系数，但这个比例系数不是一常数，而应该是速度大小的函数。因为空间各向同性，为了除掉方向的影响，用F（v2）（其中v2=++）表示这个比例系数，这样

式（24-2）即是我们定义的速度分布函数，其物理意义是单位速度间隔dw=dvxdvydvz内的分子数占总分子数的比例。

由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布与其他分量无关，故可令

式（24-3）两边同时取对数后分别对vx，vy，vz求偏导，且v2=。整理后有

显然，以上三式等号右侧应等于同一个与vx，vy，vz无关的系数，即

对上式积分，得

将式（24-4）、式（24-5）和式（24-6）代入式（24-3）得

式中，A=A1A2A3。

由于具有无限大速率的分子出现的概率极小，故可令λ=-α2，由归一化条件得

将代入式（24-8 ）可得A的表达式A=。再利用分子平均动能，可确定α=，代入式（24-7）可得麦克斯韦速度分布函数为

2．麦克斯韦速率分布律

速率为标量，所以速率分布律是只考虑速度大小的分布。以γ，θ，φ为坐标轴建立球坐标系，这样分子速度大小在v→v+dv范围内的分子，速度方向任意，即它们速度矢量的端点都落在体积为4πv2dv的球壳内，如图24-2所示。

用体积元4πv2dv代替式（24-1）中的体积dvxdvydvz，则气体分子速率在v→v+dv区间的分布为

图24-2

f（v）dv=F（v2）4πv2dv

将麦克斯韦速度分布函数式（24-9）代入上式得

式（24-10）就是麦克斯韦速率分布函数，它表征每个速率代表的权重。

3．三种速率

1）最概然速率

如图24-3所示，最概然速率vp定义为系统中任何分子最有可能具有的速率，它也对应于速率分布函数f（v）取最大值时的速率。我们利用数学中求极值的办法，计算，并设它为零，然后对v求解可得vp，即

图24-3

将式（24-10）代入式（24-11）求导可得

式中，k是玻耳兹曼常数，m是单个分子质量，所以式（24-12）中间等式是用微观量表示的最概然速率；R是普适气体恒量，M=m NA是物质的摩尔质量，这样上式中的后一个等式是用宏观量表示的最概然速率。

2）平均速率

平均速率是速率分布的数学期望值：

3）方均根速率

方均根速率vrms是速率平方的平均值的平方根：

从麦克斯韦速率分布函数图24-3可以得出气体分子速度分布呈现“两头少，中间多”，即速率具有极大值和极小值的分子数目较少，平均速率附近的分子数目较多的结论。麦克斯韦的速率分布律将物理学与数理统计紧密地结合起来，体现了自然的统一之美。“两头少中间多”的分布规律也揭示了世界普遍的分布规律，其不仅意味着可以用统计的方法来描述物理现象，而且使力学定律的普适性受到了冲击。麦克斯韦速率分布律也具有一种宏观的美，克劳修斯侧重研究的对象是个别分子的机械运动，而麦克斯韦发现的是气体总体速率分布的情况。

麦克斯韦指出在研究复杂的对象时，一般有两种方法，一种是以力学定律为基础的动力学方法，另一种是类似于人口普查的统计方法。研究气体分子运动应该采取统计的方法。麦克斯韦的研究推动了物理思想与方法的进步，也为用统计思想来解释热力学第二定律打下了基础。

三、应用举例

例设理想气体的温度为T，分子数密度为n，分子质量为m，分子平均平动动能为。试用理想气体分子运动模型和统计假设推导平衡态下理想气体的压强公式p=。

解：考虑一定质量的处于平衡态下的某种理想气体，假设其分子按速度分布律f（v）分布。在选定的速度v～v+dv区间内，任选一个速度为v的分子来分析该分子对压强的贡献。另外，为了计算压强，我们在容器壁内表面上任选一微小面元d S，并设d S面元法向为x轴，这样，这个分子一次碰撞器壁其动量变化为2mvx，而dt时间内速度为v的分子撞到d S面上的个数为nf（vx）dvx·vxdtd S，其中n为分子数密度，即单位体积内的分子数（假设分子在容器内空间均匀分布的情况下，n为常数）。

这些分子给器壁的总冲量为

速度vx在0～∞内的分子对器壁的总冲量为

应用压强的定义有

又因

所以

式中是单个分子的动能。