厄瓦尔德图解

布拉格方程是通过电磁波干涉理论严格推导出的，其物理含义比较明确。厄瓦尔德图解则是倒易空间中的一种几何处理方法，它表达的实际也是布拉格方程。

8.3.1 厄瓦尔德图解

利用厄瓦尔德图解法，可以比较方便地确定出X射线衍射晶面及衍射方向，其中涉及反射球与极限球的概念。

1）反射球与厄瓦尔德图解

图8-15 厄瓦尔德图解

将布拉格方程改写成1／dhkl=2（1／λ）sinθhkl的形式，则可用图8-15二维简图来表达，图中以1／λ为半径作圆，以圆直径为斜边作内接三角形。令X射线沿直径AO方向入射并到达圆周O′点。若斜边AO′与直角边AB的夹角为θ，线段O′B长度为1／dhkl，则△AO′B满足布拉格方程。由此说明，自O′点发出的矢量O′B只要其端点触及圆周即可发生衍射，该矢量的长度即为｜O′B｜=1／dhkl，实际是倒易矢量ghkl的长度，同时自圆心发出的矢量OB则代表（hkl）晶面的反射方向。可将上述描述拓宽至三维空间，假设存在一个直径为1／λ的球面，令X射线沿球的直径方向入射，则球面上所有点均满足布拉格条件，这个球就被命名为反射球。由于此表示方法由厄瓦尔德提出，故称为厄瓦尔德球，该作图方法被称为厄瓦尔德图解。

利用倒易空间中的衍射条件来分析，则可以使问题更为简便。衍射条件为（S-S0）／λ=ghkl，其中入射单位矢量S0和衍射单位矢量S的长度均为1，倒易矢量ghkl的长度为1／dhkl。图8-15中入射矢量为OO′=S0／λ，反射矢量为OB=S／λ，矢量OB′长度为1／dhkl即ghkl，从这三个矢之间的关系看，它们满足衍射条件是必然的。因此，厄瓦尔德反射球及其作图法又一次得到证明。

基于倒易空间概念，对厄瓦尔德图解可做如下描述。想象在倒易空间中存在一半径为1／λ反射球，球面与倒易原点O′相切。如果X射线沿反射球直径入射并经过O′点，则球面上的所有倒易点均满足衍射条件（对应的正点阵晶面均发生衍射），这些倒易矢长度之倒数1／ghkl即为衍射晶面间距dhkl，反射球心O指向这些倒易点的方向则是衍射方向。

由于反射球半径为1／λ，X射线的波长λ值越小，则反射球半径及球面面积越大，可能出现在球面上的倒易点数就越多，因此发生衍射的晶面越多。另外，反射球半径1／λ越大，则球面上的最大倒易矢量就越大，参加衍射的最小晶面间距越小，说明采用短波长X射线获得的多级晶面衍射的机会就越多。

2）极限球

假定倒易空间中反射球围绕倒易原点O′做空间旋转，凡处于以2／λ为半径的球内倒易点都可能与反射球面相交，对应的正点阵晶面均有可能发生衍射，球外倒易点则绝对不发生衍射。这个以O′为中心，以2／λ为半径的球，称为极限球，它限制了在一定波长条件下可能发生衍射的晶面范围，即满足ghkl≤2／λ的晶面才能发生衍射，显然这与布拉格方程一致。λ值越小，极限球则越大，极限球内的倒易点阵就越多，可能发生衍射的晶面也越多。反射球、极限球以及晶体倒易点阵之间的关系如图8-16所示。其中，空圈代表可能发生衍射的晶面倒易点。

图8-16 极 限 球

极限球虽然反映出可能发生衍射的晶面倒易点位置，是否会发生衍射则与入射方向有关。在定义极限球时，由于假设反射球围绕O′做空间旋转，与反射球相应的入射线方向必然是随之改变。在实际X射线衍射分析中，入射线方向大都是固定不变的，为了确定该情况的衍射晶面和衍射方向，只能在反射球面上进行厄瓦尔德图解，此时极限球并没有任何使用价值。

8.3.2 厄瓦尔德图解示例

厄瓦尔德作图法是较为重要的工具，可简单明了地解释X射线在晶体中的各种衍射现象，还可以分析有关的X射线衍射方法。

对于单色X射线，波长λ是恒定的，即倒易空间中的反射球半径1／λ恒定。对于固定不动的单晶试样，其倒易点的空间分布也是固定的。此时只有落在反射球面上的倒易点才能够满足衍射条件。如果入射线与晶面（hkl）之夹角θ也不能改变时，晶面间距dhkl则被固定，其倒易矢长度和方向均已确定。在这种情况下，该倒易矢量刚好交上反射球上的可能性是非常小的。

解决上述问题的方法有三种。其一是改变波长λ即改变反射球半径1／λ，这就是单晶劳埃法；其二是转动试样即转动倒易点阵，这就是周转晶体法；其三是采用混乱取向的多晶材料，这就是多晶体衍射法。采取这些方法的目的，都是为了增加倒易点与反射球面的相交机会。

1）单晶劳埃法

单晶劳埃法，就是采用连续X射线照射不动的单晶体。连续X射线的波长有一个范围，从λ0连续变化到λm，对应的反射球半径则从1／λ0连续变化到1／λm，这些反射球的球面在倒易原点O′相切。凡是落到这两个球面之间区域的倒易点均满足衍射条件，它们将与某一波长的反射球面相交而获得衍射。因此，该方法会使更多的晶面发生衍射。

连续X射线衍射的厄瓦尔德图解，仍然取倒易矢长度之倒数为晶面间距，反射球心指向倒易阵点的方向为衍射方向，但是不同波长对应于不同的反射球心位置，如图8-17所示。

图8-17 单晶劳埃法的厄瓦尔德图解

2）周转晶体法

周转晶体法，采用单色X射线照射转动的单晶体，通常转轴为某一已知的主晶轴，借助圆筒形底片来记录衍射花样，所得的衍射花样为层线。在实验过程中，晶体绕过某一晶轴旋转，相当于其倒易点阵围绕倒易原点O′并与反射球相切的轴线转动，各个倒易阵点将瞬时通过反射球面的某一位置，处在与旋转轴垂直的同一平面上的倒易阵点，将与反射球面相交于同一水平的圆周上，如图8-18所示。衍射矢量S／λ从球心出发，必定终止于这个圆上，也就是说衍射光束必定位于同一圆锥面上，从而在底片上形成一系列的衍射层线。由周转晶体方式可以看出，在入射方向OO′上，产生衍射的最小倒易矢长度为倒易阵点的基矢，最大倒易矢长度则为反射球的直径，因此凡满足ghkl≤2／λ条件的均可能发生衍射。

图8-18 周转晶体法的厄瓦尔德图解

3）多晶体衍射法

该法采用单色X射线照射多晶试样。多晶体由无数个任意取向的小单晶即晶粒组成，就其位向而言，相当于单晶体围绕所有可能的轴线而旋转，所以其某一晶面（hkl）的倒易阵点在4π立体空间中是均匀分布的，倒易矢长度相同的倒易阵点（相当于同间距晶面族）将落在同一个以倒易原点为中心的球面上，构成一个半径为ghkl=1／dhkl的球面，称之为倒易球面，显然此倒易球面对应于一个{hkl}晶面族。

多晶体中不同间距的晶面，对应于不同半径的同心倒易球面，这些倒易球面与反射球面相交后，将得到一系列的同心圆，衍射线由反射球心指向该圆上的各点，从而形成半顶角为2θ的衍射圆锥。实验过程中即使多晶试样不动，各个倒易球面（相当于不同间距的晶面族）上的结点，也有充分的机会与反射球面相交。

如果垂直于入射线方向放置一张底片，用于接收X射线的衍射信息，可得到一系列衍射环花样，也称为德拜环，每个衍射环对应于一组晶面间距d值。如果利用衍射仪的计数器，计数器沿反射圆周移动，扫描并接收不同方位的衍射线计数强度，就可得到由一系列衍射峰所构成的衍射谱线，每个衍射峰对应于一组晶面间距d值。多晶体的反射球面、倒易球面、衍射环以及衍射谱线的特点，如图8-19所示。

图8-19 多晶衍射的厄瓦尔德图解