可靠度与可靠度函数

可靠度是狭义可靠性的一种度量，其定义为：产品在规定条件下、规定时间内完成规定功能的概率。既然它是一种概率，就只具有统计意义。它不能准确地预计一个产品工作多少小时后失效，但可以预计一批产品的平均工作时间。下面这个假想试验可以用来弄清这种统计意义究竟是怎么回事。

取N0个具有相同性质的产品，让它们不停地工作直到失效。记录下每个产品的失效前工作时间。把工作时间按△t为一段分成t1，t2，…，tn（t1＜t2＜…＜tn）n份。若某一产品的失效时间为tf，则当ti-1＜tf≤ti时，就将这个产品放到第i个小区间中。

这样，第i个小区间里就有△Ni个失效产品，标志着在这一段时间内有△Ni个产品失效。图2-1是表示产品失效频数的直方图。取某一时刻tm来观察，那么在tm时刻之前所有失效的产品数Nfm为

图2-1 表示产品失效频数的直方图

由于全部产品的总数是N0个，则在tm时间内产品失效的频率Fm为

当所取的时间段越来越多，每段时间的间隔越来越小，即n→∞，△t→0时，时间t内的失效产品数就趋近于Nf（t），失效频率趋近于失效概率F（t），且式（2-2）可以演化为

令

则

从概率论的角度看，f（t）是概率密度函数，F（t）是概率分布函数。在可靠性理论中， F（t）和f（t）具有更具体的含义：

f（t）是失效密度函数，反映的是t时刻产品失效的可能性。

F（t）是累积失效分布函数，反映的是在试验时间t内有多少产品失效。它具有下式所示的特征：即若无限期试验下去，所有产品都将失效。因而通常把F（t）称为不可靠度函数。

失效与正常是一对矛盾，在t时间内，一部分产品失效了，另一部分产品还在继续工作。若与t时间内的失效产品数Nf（t）相对应，设在t时刻后残存的未失效而继续工作的产品数为Ns（t），则显然存在如下关系：

Ns（t）+Nf（t）=N0（2-7）

式（2-7）变化以后即可得

式（2-8）左边的第一项可解释为残存概率，第二项为失效概率。对照可靠度的定义可以知道，残存概率就是可靠度。若将残存概率，即可靠度用R（t）来表示，则有

R（t）+F（t）=1（2-9）

将式（2-5）代入式（2-9），可得

对式（2-10）进行求导变换可得

f（t）=-d R（t）/dt（2-11）

汇集起来，F（t）、f（t）和R（t）之间的关系如图2-2所示。

图2-2 F（t）、f（t）和R（t）的关系

f（t）曲线和t轴所围的总面积为1，若以t1为考察时刻，则在t＜t1部分f（t）下面积即是F（t1），t＞t1部分f（t）下面积即是R（t）。

例2.1 某产品的失效密度函数为

式中λ=0.001，写出该产品的可靠度函数，并分别求出该产品在工作50h、100h和1000h的可靠度。

解：已知该产品的失效密度函数f（t），则根据式（2- 10），产品的可靠度函数可表示为

由于λ=0.001，则产品的可靠义函数为R（t）=e-0.001t。

该产品在50h的工作时间内的可靠度为

R（50）=e-0.001×50=0.951

该产品在100h的工作时间内的可靠度为

R（100）=e-0.001×100=0.905

该产品在1000h的工作时间内的可靠度为

R（1000）=e-0.001×1000=0.368