泛可靠性工程中常用的概率分布

在产品可靠性研究中会遇到许多随机变量。各种随机变量有着各自不同的概率分布，而产品寿命的概率分布是可靠性研究中最基本的，也是最重要的概率分布。此外，还有产品性能指标的概率分布、维修时间的概率分布以及加在产品之上的应力的概率分布。欲了解和研究产品的可靠性，就必须掌握这些概率分布。

1）指数分布

通常，产品在超过了早期失效阶段进入到偶然失效区后，故障率随时间的变化若不大，其故障率可以视为恒定的，即

λ（t）≡λ（2-44）

根据式（2-10）和式（2-17），产品的可靠性服从指数分布，且有

R（t）=e-λt（2-45）

f（t）=λe-λt（2-46）

F（t）=1-e-λt（2-47）

指数分布在电子系统可靠性领域中是一种应用非常广泛的分布，也是在可靠性工程中用得最多的一种分布。指数分布之所以用得这么广，是因为它具有一种非常便于数学处理的特性——无记忆性。

假设产品t1时刻处于正常状态，在经历时间t后产品失效。那么在t1时刻产品是良好的条件下，t1+t时产品失效的条件概率可用下式表示：

根据式（2-5）及式（2-9），有

将式（2-45）代入上式，得

将上式及式（2-45）代入式（2-48），则为

则

R[（t1+t）|t1]=1-F[（t1+t）|t1]=e-λt=R（t）（2-49）

这表明，在t1时刻产品处于正常状态的前提下，经t时间后产品仍然良好的概率与从0时刻起到t时刻产品仍然良好的概率是一样的，即产品的可靠性仅由工作时间t的长短来决定，而与起始时刻无关。

当产品的可靠性服从指数分布时，产品的平均寿命、特征寿命、中位寿命和可靠性寿命分别为

如果某种单元受到一种应力环境的影响，如果这种环境应力是按泊松分布方式经常发生的某种类型的“冲击”，并且这种“冲击”一发生，该单元就失效。当这种“冲击”不发生时，该单元就正常，如果这个泊松分布的参数为λ，则该单元的失效分布就是服从参数为λ的指数分布。

指数分布在一定条件下可以用来描述大型复杂系统的故障间隔时间的分布。这些条件是：

（1）系统由大量电子元器件构成（由不同类型的单元构成），各元器件（单元）相互独立，互不影响。

（2）任何一个元器件（单元）的失效都可能引起整个系统的失效。

（3）元器件（单元）失效后可立即更换或修复，更换或修复的时间可以忽略。

那么，当系统经过了较长的工作时间后（超过早期失效期），其故障间隔时间近似地服从指数分布。如船上导航系统、雷达系统、指控系统等，其故障间隔时间都近似地认为服从指数分布的。

2）正态分布

正态分布是统计学理论及实际应用中重要的分布，也是在机械产品和结构工程中研究应力分布和强度分布时常用的一种分布形式。同时还常用于模拟因腐蚀、磨损和疲劳而引起的故障分布。其失效密度函数为

其失效分布函数为

正态分布有这么一个性质，即标准差σ和均值μ与所在的横坐标位置无关。为了计算方便，可以把μ移到O点，并将横坐标改成以σ为单位，也即令u=（t-μ）/σ，则可将一般正态分布的密度函数转换成标准正态分布的密度函数：

分布函数也可化为

用概率理论不难证明：

φ（-X）=1-φ（X）（2-58）

图2-8是正态分布密度函数，它形象地表示了式（2-58）的含义。

图2-8 正态分布密度函数

正态分布密度函数明确了正态分布的含义，寿命服从正态分布的产品的可靠性参数就不难得到。它们分别为

当μ≪σ时，有

此时λ（t）是t的递增函数。

m=μ（2-62）

3）威布尔分布

在可靠性工程中，威布尔分布常用于描述金属材料的疲劳寿命和电子管的故障分布等。图2-9为威布尔分布的概率密度函数。

图2-9 威布尔分布的概率密度函数

威布尔分布的分布函数和概率密度分布函数分别为

式中：m决定分布曲线的形状（见图2-9），因而称形状参数；r0决定曲线的起点，因而称位置参数；而η决定曲线的高低，因而称尺度参数。特殊地，当m=1时，威布尔分布就变成了指数分布。

威布尔分布的可靠度函数为

威布尔分布的失效率函数为

由式（2-68）可以看出，当m＞1时，λ（t）为单调递增函数，失效率属IFR型。当m=1时，λ（t）为常数1/η，失效率属CFR型（恒定型失效率）。当m＜1时，λ（t）为单调递减函数，失效率属DFR型（递减型失效率）。这样，威布尔分布对浴盆曲线上的三种失效区域都适用。因而，威布尔分布的应用面很广。

威布尔分布的平均寿命、可靠寿命、中位寿命和更换寿命分别为

4）伽马分布

伽马分布是指数分布的扩展，其概率密度函数为

式中Γ（α）称为伽马函数，并可用下式定义：

图2-10 伽马分布

图2-10为伽马分布。从图中可以看出α决定f（t）图像的形状，因而称形状参数。λ称尺度参数。不难看出，当α=1时，伽马分布就成了指数分布。

伽马分布时的不可靠度函数和可靠度函数分别为

伽马分布的失效率为

伽马分布的平均寿命为

由式（2-76）可以看出，当0＜α＜1时，λ（t）为递减函数，且当t→∞时，λ（t）→λ。当α=1时，λ（t）=λ；当α＞1减时，λ（t）为递增函数，且当t→∞时，λ（t）→λ。

5）二项分布

当一种试验只有两种可能的结果，且这种结果不受时间限制时，这种试验就称为成败型试验。如发射一枚导弹只可能有成功和失败两种结果。虽然导弹本身有其系统可靠性的计算方法，其成功概率与贮存期有关系，但它随贮存时间变化是较慢的，而且在发射导弹时，其有效与否往往用成败型模型来评价。这样就要用到二项分布。

如果把两种可能出现的事件分别表示为A和A′，且它们发生的概率分别假设为

P（A）=p（0≤p≤1）（2-78）

P（A′）=1-p=q（2-79）

现独立地进行n次试验，则事件A发生的次数x是一个随机变量，它服从二项分布：

A发生次数x的期望值为

在系统可靠性工程中，二项分布不仅用于计算成败型系统的成功概率，也适用于计算相同单元并行工作冗余（热贮备）系统的成功概率。

在实际工程中，还有许多别的分布类型，在此不一一叙述。

表2-3是几种在可靠性工程中常用的分布及其特征参数，读者在应用时可方便地查找各种分布的特征参数。

表2-3 各种分布形式及其特征参数