故障树定量分析

故障树定量分析的基本内容是计算顶事件的发生概率。这个顶事件的发生概率可以通过故障树的结构函数来取得。

故障树结构函数只能取0、1二值，故其数学期望为：

=P{ψ（X）=1}

E[ψ（X）]=P{ψ（X）=1}×1+P{ψ（X）=0}×0（6-13）

由式（6-13）可知，故障树结构函数的数学期望即是故障树顶事件的发生概率，也可以称为系统不可靠度。

6.6.1 顶事件发生概率计算的容斥定理法

当故障树的所有最小割集为已知时，故障树的结构函数为

令Qs（t）为顶事件在t时刻发生的概率，则有

当每个最小割集Mj（X），j=1，2，…，k之间相互独立时，上式可以转化为

令Qj（t）为第j个最小割集在t时刻发生的概率，并假设割集间相互独立以及割集内底事件相互独立，则有

式中，mj表示第j个最小割集中的单元数。

可以看出，当割集间相互独立以及割集内底事件相互独立，此时问题很容易解决，但在大多数情况下，由于在多个最小集内可能会发生同样的底事件，则故障树的最小割集之间并不是相互独立的，因此有

当所有的qi（t）都非小时，则有

当最小割集结构之间不相互独立时，解决这类问题的一个简单办法就是运用容斥定理。容斥定理在式（418）中进行了叙述，这里不再重复。下面用一个例子来说明容斥定理的使用方法。

例6.3 一个不可修复系统的故障树如图6-36所示，各底事件相对应的各部件的不可靠度分别为：Q1=Q2=Q3=Q4=Q5=0.1。求系统的不可靠度。

解：由例6.2可知，该系统有四个最小割集：

{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{x4，x5}

由式（6-14）知，系统的不可靠度可以表示为

根据容斥定理，有

则：

QS=Q1Q2+Q1Q3+Q2Q3+Q4Q5-Q1Q2Q3-Q1Q2Q3-Q1Q2Q4Q5-

Q1Q2Q3-Q1Q3Q4Q5-Q2Q3Q4Q5+Q1Q2Q3+Q1Q2Q3Q4Q5+

Q1Q2Q3Q4Q5+Q1Q2Q3Q4Q5-Q1Q2Q3Q4Q5

=Q1Q2+Q1Q3+Q2Q3+Q4Q5-2Q1Q2Q3-Q1Q3Q4Q5-Q2Q3Q4Q5-

Q1Q2Q4Q5+2Q1Q2Q3Q4Q5

=4×0.12-2×0.13-3×0.14+2×0.15

=0.03772

由上例可见，若用容斥定理进行计算，仅四个最小割集就带来了15项积之和。当最小割集数目增加时，所计算的和的个数还将增大。

若一棵故障树有n个最小割集，当使用容斥定理时将出现2n-1项。如果n=10，则总项数将达到210-1=1023项；若n=40，则总项数为240-1＞1×1012。这样计算项数随最小割集数而急剧增加，而且每一项都是连乘积，即使用超高速计算机也难以求解，这种现象称“组合爆炸”现象。而在实际工程中，最小割集在20以上并不少见，若依旧使用容斥定理进行计算，其计算量之大往往令人难以忍受，必须寻求一种新的解决方法。

6.6.2 不交最小割集算法

在求系统可靠度时，若最小路集太多，可以用不交最小路集算法。在求系统不可靠度时，若最小割集太多，可以用不交最小割集算法。

若故障树有k个最小割集：M1（X），M2（X），…，Mk（X），则其结构函数的不交最小割集表达式为

若觉得上式太繁，还可用第4章中介绍的不交型积之和定理加以化简。将展开式中的每个元素用其所代表的单元的不可靠度代入，每个反元素用其所代表的单元的可靠度代入，即可得到顶事件的发生概率，也就是系统的不可靠度。

例6.4 用不交最小割集算法计算上例。

解：先将故障树结构函数化为不交最小割集表达式：

ψ（X）=x1x2∪x1x3∪x2x3∪x4x5

=x1x2+（x1x2′）x1x3+（x1x2）′（x1x3′）x2x3+（x1x2）′（x1x3）′（x2x3′）x4x5

=x1x2+（x′1+x1x′2）x1x3+（x′1+x1x′2）（x′1+x1x′3）x2x3+

（x′1+x1x′2）（x′1+x1x′3）（x′2+x2x′3）x4x5

=x1x2+x1x′2x3+x′1x2x3+x′1x′2x4x5+x1x′2x′3x4x5+x′1x2x′3x4x5

再将各元素用其所代表的单元的不可靠度代替，各反元素用其所代表的单元的可靠度代替，得到系统不可靠度为

QS=Q1Q2+Q1（1-Q2）Q3+（1-Q1）Q2Q3+（1-Q1）（1-Q2）（1-Q3）Q4Q5+

Q1（1-Q2）（1-Q3）Q4Q5+（1-Q1）Q2（1-Q3）Q4Q5

=0.12+2×0.12×0.9+0.12×0.92+2×0.13×0.93

=0.03772

6.6.3 顶事件发生概率的近似算法

不管用容斥定理算法还是用不交最小割集算法，都是要以一定计算量以及一定计算时间为基础的。但在实际工程中，有时并不需要十分精确的计算结果，而需要在短时间内对所设计产品的可靠度有个大略的估算。需要有一些近似的计算方法。有时由于条件所限，如计算机太少或时间有限，不能进行大规模的计算，此时也可以用一些近似计算方法，用很少的计算量得到符合精度要求的结果。

1）容斥定理部分项作近似

选用容斥定理的前几项来作为容斥定理的近似解时，取的项数越多，结果越精确，当然计算量也就越大。下面通过例6.5来说明容斥定理部分项的近似方法。

例6.5 用容斥定理的首项和前两项分别对例6.3作近似计算，并与精确结果进行比较。

解：

（1）用首项近似：

例6.3的精确解为0.03772，则用首项近似的误差为

（2）用前两项近似：

S1=0.04

S2=Q（M1M2）+Q（M1M3）+Q（M1M4）+Q（M2M3）+Q（M2M4）+Q（M3M4）

=Q（x1x2x1x3）+Q（x1x2x2x3）+Q（x1x2x4x5）+Q（x1x3x2x3）+Q（x1x3x4x5）+

Q（x2x3x4x5）

=Q（x1x2x3）+Q（x1x2x3）+Q（x1x2x4x5）+Q（x1x2x3）+Q（x1x3x4x5）+Q（x2x3x4x5）

=3×Q1Q2Q3+Q1Q2Q4Q5+Q1Q3Q4Q5+Q2Q3Q4Q5

=3×0.13+3×0.14

=0.0033

QS≈S1-S2

=0.04-0.0033

=0.0367

例6.3的精确解为0.03772，则用前两项近似的误差为

显然，用前两项近似的结果比用首项近似的结果精确。

2）独立近似

当每个割集的发生概率都很小（如小于0.1）时，可以假设每个割集的发生与否是相互独立的事件。设各割集不发生的概率为1-Q（Mi）（i=1，2，…，k），则所有割集都不发生的概率，即系统的可靠度为

系统的不可靠度为

例6.6 用独立近似法计算例6.3，并与精确结果相比较。

解：根据式（6-21），有

例6.3的精确解为0.03772，则用独立近似法的误差为