连续型随机变量的抽样方法

连续型随机变量的随机抽样有两种情况：一是当随机变量的概率分布函数的反函数可以用显式表示时，可以采用直接抽样方法；二是当随机变量的概率分布函数的反函数不能用显式表达时，可以用舍取抽样方法。

7.4.1 直接抽样方法

所谓直接抽样方法是建立在下述定理基础上的。

定理：设随机变量ξ具有单调递增连续分布函数F（x），则z=F（ξ）是[0，1]上均匀分布的随机变量。

证：因F（x）是概率分布函数，则F（x）在[0，1]上取值。又F（x）是单调递增连续函数，所以，当ξ在[-∞，x]内取值时，随机变量Z则在[0，F（x）]上取得值。因而，当Z在[0， 1]上取得一个值z时，至少有一个x满足

z=F（x）=p{ξ≤x} （7-41）

由上式取反函数得

x=F-1（z）（7-42）

用F1（z）表示随机变量Z的分布函数，根据定义有

F1（z）=P{Z≤z} （7-43）

则

F1（z）=P{F（ξ）≤z}=P{ξ≤F-1（z）} （7-44）

将式（7-42）代入上式，有

F1（z）=P{ξ≤x} （7-45）

又Z在[0，1]上取值，则

上式即是在[0，1]上服从均匀分布的随机变量的分布函数。定理由此得证。

由上述定理得知，若z为[0，1]上均匀分布的随机变量，F（x）为某一随机变量ξ的分布函数，且单调递增连续，则

ξ=F1（z）（7-47）

是以F（x）为分布函数的随机变量。这样，就可以用均匀分布随机抽样产生ξ的抽样。

例7.2 产生[a，b]上均匀分布的随机变量ξ的随机抽样值。

解：ξ的分布函数F（x）为

则有

解得

ξ=F-1（z）=（b-a）z+a

将z的随机抽样值η代入上式，即可求出分布函数为F（x）的随机变量ξ的随机抽样值XF（ξ）：

XF（ξ）=F-1（η）=（b-a）η+a

7.4.2 舍取抽样法

当有的分布函数的反函数不存在显式或是不容易求出时，可以采用舍取法进行抽样。这种方法的实质是从许多随机数序列中选取一部分，使之成为具有给定分布的随机抽样值。那么，哪一些可舍，哪一些该取呢？

设随机变量在有限区间[a，b]上取值，其分布密度函数在[a，b]上有限，即

f（x）≤f0 （7-48）

又f（x）定义于[a，b]区间，故有

这种情况如图7-3所示，在[a，b]范围内，曲线f（x）以下的面积R为1。显然，要抽取的随机变量可以理解为是分布在横轴上的，问题也可以直观地理解为横轴上哪一点的函数值越大，哪一点被抽到的概率也就越大。这就意味着在如图7-3所示的面积R中（阴影中）进行均匀随机投点，就可以获得ξ的随机抽样值。在投点过程中，落入R中的则取，落到R外的则舍，这是唯一的原则。

图7-3 舍取抽样

设投点值用S（x′，f′）表示，为了进行随机均匀投点，可取两随机数列：{η1}，{η2}。则

x′=（b-a）η1+a（7-49）

若

f′=f0η2（7-50）

f′＜f（x′）（7-51）

或

f0η2＜f[（b-a）η1+a]（7-52）

成立，则说明点S（x′，f′）是落在R中的，x′即为所求的ξ的随机抽样值XF（ξ）：

XF（ξ）=x′=（b-a）η1+a（7-53）

否则说明点S（x′，f′）在面积R之外，应予以舍去。另取一组η1、η2，并看其是否满足式（7- 51）或式（7-52），继续作假设试验。由此可以得到服从分布密度函数为f（x）的随机变量ξ的随机抽样序列。表7-6是常见分布随机变量的抽样公式。

表7-6 常见随机变量的抽样公式

以上是在假定ξ是在有限区间[a，b]内取值的情况下进行的。如果ξ不是在有限区间内取值，那么，总可以选择某一个有限区间[a1，b1]，且

式中ε是任意小的正数。

然后，再利用上述方法在[a1，b1]内进行抽样，即可得到所需的随机抽样序列。

由上述方法可以看到，在舍取抽样的诸多投点中，有许多投点是舍去的。因而，在舍取抽样中存在着一个效率问题。对舍取抽样的效率B可以用下式来加以定义：

B=n/N（7-54）

式中：N为进行随机投点的总次数；n为S点落入R之中的次数。

由于随机投点是在以b-a为长，f0为高的矩形（见图7-3）中均匀进行的，因而，当N足够大时，有显然，B也表示每一次随机投点落入面积R之中的概率。不同的随机变量具有不同的密度分布函数f（x），a、b和f0也可能取不同的值。用舍取法进行随机抽样时可以用B值来衡量其各自的抽样效率。

例7.3 设随机变量ξ具有分布密度函数：

求其舍取抽样B。

解：

由式（7-55）有