事件的独立性

我们在现实生活中常常会很自然地产生一些貌似正确的想法.比如，已经连续生了三个女儿的夫妇，认为再生一个小孩是儿子的可能性比较大；买彩票时，有些人会认为以前出现过的号码下次再出现的概率会比其他号码更小一些.

有个笑话：有个人经常坐飞机旅行，他觉得有人带炸弹上飞机的可能性不大，而同时有两个旅客带炸弹上飞机是更加不可能的事，于是他上飞机时就总在公文包中带一枚卸了火药的炸弹.

事实上，以前生男还是生女并不会影响下一次生儿子的概率；下次彩票中奖号码与以前出现过的号码无关；旅客自己是否带炸弹并不会影响其他旅客携带炸弹的概率，等等.这是因为这里所涉及的事件是相互独立的.

事件的独立性是概率论中最重要的概念之一.那么什么是事件的独立性呢？

所谓两个事件A与B相互独立，直观上说就是它们互不影响，即事件A发生与否不会影响事件B发生的概率，同时事件B发生与否也不会影响事件A发生的概率，用数学公式来表示，就是

但上面两个式子要求P（B） ＞ 0或P（A）＞0，考虑到更一般的情形，给出如下定义.

定义1.5.1设A，B是两事件，如果成立等式

则称事件A与B相互独立.

当P（A） ＞ 0， P（B） ＞ 0时，由（1.5.1）可推出P（B | A） = P（B）， P（A | B） =P（A），但在该定义中对P（A）和P（B）并没有限制.

由定义可立即推知，概率为零的事件与任何事件相互独立.

需要强调的一点是，事件的独立性与事件的互不相容是两个完全不同的概念.事实上，如果两个具有正概率的事件是互不相容的，那么它们一定是不独立的，反之，如果两个具有正概率的事件是相互独立的，那么这两个事件不可能互不相容.

事实上，A与B，A与B， 与B，与这四对事件中，任何一对独立都可推出其余三对独立.证明留给读者.

下面给出三个事件相互独立的定义.

定义1.5.2对任意三个事件A，B，C，如果如下四个等式

成立，则称事件A，B，C相互独立.

（1.5.2）中的前三个等式说明事件A，B，C是两两相互独立的.下面例子说明，两两独立的事件组未必是相互独立的事件组.

例1.5.1一个均匀的正四面体，其第一面染有红色，第二面染有白色，第三面染有黑色，第四面分三块，分别染有红、白、黑三种颜色，以A，B，C分别表示投一次四面体出现红、白、黑三种颜色，讨论A，B，C三个事件的独立性.

解 由题意，显然有

例1.5.3某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，并坚持十年（每年52周）之久，问你至少中过一次奖的概率是多少？

这个概率很小，表明十年中你从未中过一次奖是很正常的事.

例1.5.4如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出.如果两个这样的开关并联，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的.

即至少需要用3只开关并联.