独立性与不相关性

随机变量X与Y的相关系数ρXY是一个无量纲的量，反映了随机变量X与Y之间的一种联系.到底是怎么样的联系呢？为此，我们介绍下列定理.

定理4.4.1设二维随机变量（X，Y）的相关系数为ρXY，则有

由定理4.4.1可知，随机变量X与Y的相关系数描述了X与Y间线性关系的强弱程度，因而更确切地应该称ρXY为X与Y的线性相关系数.当|ρXY|=1时，表明X与Y存在线性关系，称ρXY=1时为正相关，ρXY=1-时为负相关，如图4-4-3所示.当|ρXY |＜1时，X与Y的线性相关程度随着|ρXY|的减小而减弱，如图4-4-4所示.当ρXY=0，即cov（X，Y） =0时，可以认为X与Y没有线性关系.

定义4.4.3若两个随机变量的相关系数为0，则称这两个随机变量不相关.

由协方差性质5显示，当随机变量X，Y相互独立，则有cov（X，Y） = 0，即ρXY =0，从而X，Y不相关.

图4-4-3　

图4-4-4　

定理4.4.2若随机变量X，Y相互独立，则X与Y不相关.

此定理的逆定理不存在.因为X，Y不相关，只是说明X，Y间没有线性关系，但它们有可能存在别的函数关系，所以也不可能相互独立.下面请看例4.4.5.

例4.4.5设X服从［-π，π］上的均匀分布，Y=cos X，Z=sin X，求cov（Y，Z）.

解X的概率密度为

因此，由随机变量函数的数学期望公式，有

例4.4.6若X ，Y的密度函数为

试证：X与Y不相关，但不独立.

图4-4-5　

即X与Y不相关.

事实上可求得X和Y的边缘密度函数分别是

由例4.4.3可以证明对服从二维正态分布的随机变量，它们独立与它们不相关是等价的.这是二维正态分布的一个非常特殊的性质.