一一对应记数法与位置计数系统

数来源于数，数是数的结果. 每一个数都是与事物的个数为依据. 数万年以前，原始人开始在地上、岩上、树上或骨骸上画痕计数，把一事一痕对应，这是数学上最早的突破. 从后世发掘的文物知道，5500年前的埃及与巴比伦，虽然两地相距很远，但两地的数字系统很相似，他们都是在树木上或者泥土上刻痕记印，来记录事物的多少和流逝的日子. 埃及的祭司在一种芦苇制成的草纸上写字，而巴比伦人则是在泥土上写字(称为泥板书).古埃及的记数法是分级符号制，它是一种以十进制为基础的系统，基数是10: 用一道竖线(|)表示1，一条弯线(∩)表示10，一条简单的螺线表示100，一朵莲花表示1000，弯曲的手指表示10000，一条鳕鱼表示100000，跪着的人像表示1000000，例如21453记作.巴比伦采用楔形文字记数:用代表1，角楔代表10，而记数系统是一种60进制记数法.

例如分别记为1，3、1，12、1，33等，按十进制即为1，3=1×60+3=63，1，12=1×60+12=72，1，33=1 ×60+33=93.这里60是记数的基数.而记为1，25， 30，按十进制上面符号是1，25，30=1×602+25×60+30=5130.而且凡是正整数都可以表示为60的幂与位置数乘积之和.

中国的文字产生于新石器时代，在记数术方面，从屈指记数、结绳记数到刻骨记数以及书写文字记数，经过了漫长的年代. 到这个时代的末期(公元前2000年以前)，我国先民已经掌握了一套完整的数字，而且这些数字都是十进位的，字形是表形与表意相结合的. 当时，甲骨文盛行，从殷墟出土的甲骨有15万件之多，甲骨文字有4500个左右(直到现在只认出900多个)，甲骨文中已出现系统的十进位的记数法:

到了夏代，出现了甲子排序，商代干支记录十分完整. 在甲骨文中60个“甲子”齐全，一个不缺地依次排列. 一个完善的十进位记数系统，再加上60甲子，就能有把握地处理和记录任何基数与序数. 春秋时期，中国普及了一种专门用于计算的工具——算筹. 这是一种用竹或其他材料制成的小棒: 径三分，长六寸许[1]. 这时，人们已十分熟练地运用算筹来进行计算了. 中国是世界上最早的十进制数表示法的国家. 算筹摆数字由右向左进位，其摆法有两种形式:

例如3682可记成《孙子算经》总结为:“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.”即个位用纵式，十位用横式，百位是纵式，千位是横式，千位与十位形式一样，万位与百位形式相当.

用进位制和位值制计数，是一种很方便的方法，是数学最重要的进步. 大约在公元前600年，印度人就采用了十进位制，包括零的使用，并有一套自己的符号:

这套方法后来传到阿拉伯地区，阿拉伯人在采用的过程中进行了改进，而命名为阿拉伯数码:

然后又传到欧洲，到了意大利，就成为:

这一组记号的独特之处是给1～9的每个数都有单独的记号，公元7世纪许，零的符号“0”最终确定，整数由右向左的定位方法达到完善，用有限个数字来驾驭无穷多个自然数以至于得心应手. 而印度人并不把自己的创造放在眼里，他们对数学上的价值是不敏感的. 由于这套数码是印度人发明的，又以阿拉伯命名了，故现在普遍称为印度-阿拉伯数字系统.

人类认识数的历程是十分艰难的. 直到20世纪，人类学家发现还有些原始民族仍用手指计数，或者用手势配合声音计数. 例如，在巴布亚新几内亚，数字“九十九”被说成是“四人死，两手亡，一脚终，又四”.

由物或事的多少，转移到“结绳”或“刻痕”，这是一种抽象，再到数字符号，就更抽象了，表明人类思维在进步. 人作为“有普遍性”的社会存在物，同自然界保持着千丝万缕的联系，通过劳动实践上升为观念和意志的印记，就是文化的积累.“一一对应”观念，在现代数学中是一个很重要的概念，德国数学家康托尔(G.F.L.Cantor，1845—1918)1874年把它应用于无限集合的计数，从而创立了“超限数”的理论，被誉为20世纪最伟大的数学创造，也是数学无穷革命的里程碑. 至于位值计数系统，也在现代数学中有很大的发展，目前在数字通讯和计算机科学中广泛使用二进制就是例证.