“赌博起家”的理论

概率论产生于17世纪中叶，19世纪才有长足进步，20世纪发展迅速，成为成果辉煌的数学学科之一，然而其肇始，是对赌博的研究. 1653年，帕斯卡与骑士梅累等人结交，梅累嗜好赌博，他向帕斯卡提出了一个掷骰子的问题: 两个局中人各出赌注32金币，约定甲先掷出三次六点或乙先掷出三次四点，就算赢了对方. 甲已掷出两次六点，乙已掷出三次四点，赌博因故中断，问甲乙应如何分64 金币的赌本? 为此法国数学家帕斯卡(B.Pascal，1623-1660)和费尔马曾多次书信讨论这个问题.

上述问题可提炼出下面较一般的问题: 在一场机遇性比赛中，两个局中人A和B的技艺相当，局中A再得两分可获胜，B再得3分可获胜，求赌注分法. 约定程序是，进行若干次试验，每次获胜者得1分，直到某局中人达到事先规定的标准为止，全场比赛揭晓. 以下是费尔马与帕斯卡的解法.

费马解法 因为再有四次较量就可决定这场比赛的结果，若让a表示使A获胜的一次试验，b表示使B获胜的一次试验，考虑两个字母a与b每次取4个所有种(24=16)可能的排列.

aaaa aaab abba bbab

baaa bbaa abab babb

abaa baba aabb abbb

aaba baab bbba bbbb

a出现两次及其以上的情况对A有利，这样的排列有11种;b出现三次及其以上的排列对B有利，这样的排列有5种. 因此赌注应按11:5之比来分配. 如果再考虑一般情形: 若A再得m分获胜，B再得n分获胜，则可写出两个字母a和b每次取m+n-1个所有可能的2m+n-1种排列，然后找出a出现m次或更多次排列数α，以及b出现n次或更多次的排列数β，于是赌注应按α:β之比来分配.

帕斯卡解法 利用“算术三角形”如图1.10所示，从第二行起各行的任何一个元素都是前一行中位于该元素正上方及左上方的所有元素之和，例如，第4行中35=15+10+6+3+1.

图1.10

容易看出，一条对角线上的数正好是一个二项展式中各项相继的系数. 其实，我国宋朝数学家贾宪于公元1050年前后，就在他的《黄帝九章算法细草》一书中(已失传)，最先出现“开方作法本源”图，200年后，杨辉在其《详解九章算法》书中保存了这份宝贵的遗产，现称这张图为杨辉三角，帕斯卡的三角形比贾宪“本原”图要晚500多年.

容易验证，沿第五条对角线上的数是(a+b)4展式中相继的系数.二项式系数有以下恒等式:

就是从n个元素中每次取k个的组合数.

沿第五条对角线的元素各满足

由于是四次试验得到4个a的方式数是四次试验得到3个a的方式，等等. 所以，上述赌博实例的解答是

对于一般情形，如果A需要m分获胜，B需要n分获胜，则取帕斯卡算术三角形的第m+n条对角线，然后求出该对角线头m个元素之和α以及后n个元素之和β，赌注应按α β之比来分配. 费尔马与帕斯卡解法有异，结果相同.

1657年荷兰著名的天文学家、物理学家兼数学家惠更斯(C.Huygens，1629—1695)，从解决上述问题入手，用排列组合的方法，研究了一些复杂的赌博问题，写成了《论机会游戏的计算》一书，这是最早的概率论著作. 18世纪末到19世纪初才形成了比较完整的概率理论. 法国数学家拉普拉斯(PS.Laplace，1749—1827)在系统总结前人工作的基础上，1812年出版了《概率的分析理论》，首次明确了概率的古典定义，并在概率论中引入了有力的分析工具(如差分方程、母函数等)，内容丰富，有几何概率，伯努利大数定律、最小二乘法及拉普拉斯变换等，新奇而有趣，将概率论推向一个新的发展阶段. 在这门学科中开辟新篇幅的还有高斯、П.Л.切贝雪夫(леъыugеъ，1821—1904)、泊松，等等，俄国数学家李雅普诺夫(A.M.ЛяnyноБ，1857—1918)，最先系统地应用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理，第一次科学地阐明许多随机变量近似地服从正态分布，使得特征函数法成为概率论的基本方法之一. 20世纪初，概率论以公理法面貌出现，独立随机变量和的极限定理，马尔科夫连锁，一般随机过程的理论，随机函数及具有在任何变换群下不变的分布的随机矢量场等课题，成为现代概率论特别重要的方向. 概率论标志着数学研究从确定性事件领域深入到不确定事件领域.