约在公元前1000年，巴比伦的天文学已有很大发展，积累了相当多的观察数据，他们把太阳在天空中的视动路线当作“黄道”，命名了十二星座的名称(如狮子座、天秤座、巨蟹座，等等). 按照常见的行星(日、月、金、木、水、火、土)，把每周分为七天，每一星神主管一天(太阳、星期日; 月神，星期一; 火星，星期二; 水星，星期三; 木星，星期四; 金星，星期五; 土星，星期六)，这种习俗，流传至今，为世界通用. 到了公元前600年左右，天文的计算已使巴比伦人得到了60进制的17位大数. 希腊的天文学是在巴比伦的信息基础上发展起来的. 天文学家希帕库斯(Hipparchus，公元前190—前125)将球面三角法用于天文计算，又用平面三角法作出0°～90°的正弦函数表，使天文学从经验的描述发展成为理论的可以进行预测性的科学，而渐开三角法一科之端倪，被誉为三角学的开山鼻祖. 门纳劳斯(Menelaus，约公元98年)，使希腊的三角学研究达到了顶峰. 他的《球面学》是一部使三角学脱离天文学成为独立学科的专著. 天文学家兼数学家托勒玫(Ptolemy Claudius，约公元85—165)，以数学为骨架将天体运行的表象作理论解释，为建立数量化的天文学耕耘终身.他呕心沥血于三角学基础的建立，确定了三角学的基本形式，并持续达千年之久，托勒玫写过一本天文学巨著，名为《数学体系》. 该书以其材料完备、结构紧凑、论证优美而独步一时，堪与《几何原本》相提并论. 托勒玫证明了“圆内接四边形中，两条对角线之积等于两又对边之积之和”——即托勒玫定理. 并以之为原理，制作了一张0°～90°依次相隔0.25°的正弦值的表. 直到16世纪，三角学才真正成为一门独立的数学学科.
中国古代天文观察已很发达，制定历史法是其重要内容之一.从西汉(公元前206—公元25)开始，就有“上元积年”的计算. 这是因为一部历法，需要规定一个起算点(我国古历算家称这个起算点为历元，或上元)——上元，并把从上元到所求年累计的年数叫做上元积年. 确定了上元积年，就可根据各项天文周期(回归年、朔望月、交点月)来推朔置闰，计算气节，……，整个历法乃得安排.
古代天文学家假设，在远古时代有一个冬至节气恰恰在甲子日的零时，并且平朔也与冬至节气同一时刻，有这么一天的年度叫上元，从上元到本年经过的年数叫上元积年. 在既知本年的冬至时刻、十一月的平朔时刻的条件下，求出上元积年是一个一次同余式问题. 设a为一回归年的日数，R1为本年冬至距甲子日零时的时间，b为朔望月的日数，R2为冬至距十一月平朔的时间，那么上元积年x满足下列一次同余式组:
a X≡R1(mod60)≡R2(mod6)
公元4世纪出现的《孙子算经》，以举例的形式载了一道“物不知数”题，反映出当时的学者们已经掌握了解一次同余式组的剩余定理，到13世纪，大数学家秦九韶提出了关于解一次同余式组的“大衍求一术”，的确是伟大的创造. 由此可见，我国古代关于一次同余式的研究，实源于汉代历算家关于上元积年的计算.
德国天文学家、数学家开普勒(J.Kepler，1571—1630)，在他的老师第谷(Tycho，1546—1601)所积累的天文资料的基础上，用数学方法总结出行星运动三大定律.
利用微分方程容易证明开普勒的三大定律. 这三个定律是天文学和数学的里程碑，既开创了现代天体力学，也是微分方程应用的有力证据.
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