由少数几个基本概念、公理或公设逻辑地演绎出一系列的推论，而这些推论又表现为概念、定理、定律、公式或其他判断形式，这种逻辑方法称为公理化方法，由公理化方法所得到的演绎体系称为公理化体系，科学史上最早用公理化方法建立理论体系的是欧氏几何. 它不仅奠定了几何学的基础，是数学史上一次飞跃，而且提供了一种公理化的方法，对科学理论的发展产生了深远的影响. 爱因斯坦(A.Einstein，1879—1955)称它是“一个逻辑体系的奇迹”，“推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必需的信心. ”[1]因此，《几何原本》就成为科学理论建立的楷模，欧几里得既是几何学理论的奠基人，也是公理化方法的创始人. 一个公理化体系，应该是一个协调的有机整体，它要满足下面几条原则:
(1)无矛盾性 公理化体系中不能演绎出矛盾的命题，要求逻辑系统要首尾串贯，不能矛盾. 这是科学性的要求;
(2)完备性 所选择的公理应足够的多，从中能导出数学分支的全部命题，若减少某一条公理，有些命题就推导不出来，这是保证知识体系完整性的要求;
(3)独立性 所有公理应彼此独立，其中任意一条不能从其他公理中推出来，这是公理体系简单性的要求.
判断一个公理体系是否完美，就看其是否具备上述三条原则. 然而，这是一个十分困难的问题.
欧几里得公理体系产生后，从未导致矛盾的命题，人们确信它是关于空间的绝对真理，对欧氏公理体系的怀疑一直集中在第五公设(是否独立)上. 罗氏几何产生于第五公设的研究，虽然在罗氏公理体系之下一直也未导出矛盾，但仍存疑惑，后来法国数学家庞加莱在欧氏半平面上构造了一个罗氏几何的模型，就把罗氏几何公理体系的相容性归结为欧氏公理体系的相容性. 出于对罗氏公理体系相容性的怀疑，又导致了对欧氏公理体系相容性产生了怀疑. 后来有人在罗氏空间的极限球面上构造出欧氏几何模型，于是欧氏公理体系的相容性又归纳为罗氏公理体系的相容性了，这表明这两个体系是相对相容的，相对相容的证明不能作出两者都是相容的结论. 但由于解析几何的诞生，相当于在实数系统中构造了一个欧氏几何模型. 这样，欧氏公理体系的相容性就归为实数系统的相容性，而实数又可定义为有理数的分割. 于是又归结为自然数系统的相容性. 自然数系或算术系统的相容性最后又可归结为集合论的相容性，而算术系统的相容性问题是著名的希尔伯特所提的23个问题中的第二个问题，这个问题虽然取得了一些进展，但1931年，奥地利数学家哥德尔(K.Gödel， 1906—1978)的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理相容性之不可能. 集合论的相容性问题至今也是个谜，假定算术系统相容性得证，欧氏几何的相容性也就得以证明了.
如何判定一个公理体系是否独立，有如下一般原理:
设A为公理系统Σ中某一命题，记┐A为A的否命题. 要证A在∑中独立，只须证公理体系Σ'=(Σ-A) +┐A的相容性就够了. 以欧氏公理体系和罗氏公理体系为例: 设Σ为欧氏公理体系，A为第五公设，┐A为罗氏平行公理，则Σ'=(Σ-A) +┐A就是罗氏公理体系. 如果罗氏系统Σ'的相容性已被证明，而第五设A对欧氏体系不独立，即A可由Σ-A导出，那么A亦可由Σ'=(Σ-A) +┐A导出，又Σ'中已含┐A，这样，Σ'就不相容了，故第五设独立.
关于公理体系的完备性问题，希尔伯特是利用模型论中的重要概念——范畴性来讨论的. 一个公理体系是范畴的，指的是这个公理体系的所有模型都是同构的，确定一个公理体系的完备性的办法是: 如果Σ是范畴的，则Σ是完备的.
利用这一原理可以证明: 欧几里得-希尔伯特公理体系是完备的.
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