形式公理化方法

公理化方法经历了三个阶段: 首先是欧几里得时代前后，是公理化产生初立阶段.《几何原本》的诞生，标志着数学领域公理化方法的诞生. 欧几里得对点、线、面等原始概念作了定义，在定义中用了一些未加定义的概念(如长度、宽度等)，按现代观点，在逻辑上是不允许的，充其量一种直观的解释，欧氏几何所论的，是一些特定的对象(如直线形、圆等)，具有明显的直观背景. 因此，欧氏几何的公理化体系可称为“实体公理化”. 第二是公理方法的完善阶段. 这一阶段花了2100多年时间，包括对欧氏公理体系的各种思考: 补充、修正、代替. 其中对“第五公设”的怀疑、引证，各种尝试都归于失败. 19世纪，俄国青年数学家罗巴切斯基吸取前人的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系[1]，创立了非欧几何. 30年后，黎曼从另一新“平行公理”出发建立又一新型几何体系——黎曼几何. 于是，数学各分支的公理化又得到发展，为表明非欧几何发展的阶段性，把非欧几何公理化体系称为“半形式公理化”.

由于《几何原本》的公理体系存在若干缺陷: 公理不完备，没有顺序、运动、连续等公理，设有引用不定义的原始概念，某些定义并非真正的定义. 许多证明也不严谨(靠直观手段)，1899年，德国数学家希尔伯特从最简单、最接近欧几里得原有工作，建立了严密的欧氏几何公理体系，完善了几何学公理方法，形成了全新的形式公理化方法. 他的《几何基础》很受读者欢迎，到1930年已再版7次.

希尔伯特在《几何基础》中先取定三个基本对象: 点、直线和平面和，基本关系(包括结合关系、顺序关系、合同关系)，然后把所有公理分为五组共20条按顺序列出.

第一组 结合公理(又称关联公理)8条:

(1)过不同两点有一条直线;

(2)过不同两点至多有一条直线;

(3)直线上至少有两点，且至少有三点不在同一直线上;

(4)过不在同一直线上三点，必有一个平面，在每一个平面上至少有三点;

(5)过不在同一直线上三点，至多有一个平面;

(6)若一直线的两点在一平面上，则该直线的每一点都在此平面上;

(7)若两个平面有一个公共点，则它们至少还有另一个公共点;

(8)至少有四点不在同一平面上.

第二组 顺序公理4条:

(1)若点B位于点A与C之间，则A、B、C是直线上的不同点且B们于C与A之间;

(2)对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间;

(3)直线上的任意三点中，至少有一点位于其他两点之间;

(4)设A、B、C不在同一直线上，又设直线l位于A、B、C三点所在平面上，但不过A、B、C中任一点，若l穿过AB线段中的一个点，则l必穿过线段AB或BC中的一条上的一个点［此公理又称巴士(pasch)公理］.

第三组 合同公理5条:

(1)设A、B是直线l上的两点，A'为同一或另一直线l'上的一点，则在A'给定的一侧，必可在l或l'上找到点B'，使得线段A'B'合同于线段AB，记作AB≡A'B';

(2)若A'B'和A″B″都与AB合同，则A'B'与A″B″也合同，即若A'B'≡AB，A″B″≡AB，则A'B'≡A″B″;

(3)设AB与BC为直线l上无公共内点的两条线段，又线段A'B'与B'C'为直线l'上无公共内点的线段，如果AB≡A'B'，BC≡B'C'，则AC≡A'C';

(4)已知∠AOB为平面π上过O点与两条射线OA、OB所成的角，又若O'A'是平面π'上过O'的一条射线，则过O'点在O'A'的一侧恰有一条射线O'B'，使得∠A'O'B'与∠AOB合同. 每一个再与自已合同;

(5)(三角形合同公理) 对于△ABC和△A'B'C'，若AB≡A'B'，AC≡A'C'，∠BAC≡B'A'C'，则，△ABC≡△A'B'C'.

第4组 平行公理1条:

设l为一直线，A为不在l上的一个点，则在l与A所在的平面π上过点A只有一条直线与l不相交.

第5组 连续公理2条:

(1)设AB与CD是任意两条线段，则在AB上存在一组点A1，A2，…，An，使得AA1，A1A2，…，An-1An都合同于CD，且使B位于A与An之间(又称阿基米德公理);

(2)凡满足结合公理(1)和(2)、顺序公理(2)、合同公理(1) ～(5)及连续公理(1)的直线上的点构成的点集，不可能再扩大.

至此，我们将《几何基础》中的公理系统介绍完了，而把每组公理下直接推出的定理定义省略了. 在几何公理系统前虽然有三个基本元素(点、直线、平面)且认定有5种基本关系，但没有指明和描述三个基本对象及基本关系的具体含义，它们与我们直觉观念下点、直线、平面不发生任何关系. 我们关心的是，只要公理系统正确合理，用严密的逻辑推理证明的结论就是正确的，至于现实空间是否适合这个公理系统，将由实验(实践)去解决，与公理系统本身无关，表明公理化方法已进入了形式化阶段.

希尔伯特所建立的几何公理系统，实现了从“实体公理化”到形式公理化的飞跃.《几何基础》问世以后，形式公理化方法得到进一步的发展，概率论、数理逻辑和其他各个数学分支的公理化形式系统相继得到建立. 此后，希尔伯特投入到了“证明论”的研究，又把公理化方法推向一个新阶段——纯形式化阶段.

[1] 去掉第五公设保留欧氏几何其余公理，再另建一个与第五公设相反的命题(即过平面上直线外一点至少可以引两条直线与该直线不相交).