猜想是一个人人熟知的名词，也是一种常见的思维活动. 它是人们对未知事物的猜测和推想. 作为人们认识科学的一种基本方法，猜想就是一种假说. 它是根据一定的科学事实和科学理论，对研究中的问题所提出的假定性看法和说明，是建立科学理论体系所必不可少的重要环节. 因此，科学猜想不是毫无根据的瞎猜乱想. 猜的方式虽然很自由，但却受到客观的限制. 科学猜想(假说)必须遵循以下原则:
(1)解释性原则: 一方面，猜想不应与已有的事实冲突，并能解释与它有关的事物和现象. 另一方面，还应避免与引为根据的已有理论相矛盾.
(2)对应性原则: 猜想是感性认识向理性认识、主观认识向客观真理过渡的必要环节.
(3)简单性: 可独立检验性和证伪的非易性要求.
数学猜想是科学猜想的一种情形. 猜想在自然科学的发展中起着重要的作用，在数学理论的形成中当然也起着重要的作用.牛顿说过: “没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”美国当代数学教育家G·波利亚也指出: “要成为一个好的数学家……你必须首先是一个好的猜想家.”
数学猜想，是指人们依据某些已知的数学事实和知识，对未知量及其关系作出一个似真的推断. 它同数学问题、数学悖论一样，是数学的一种潜形态. 数学猜想实际上是一种数学假说. 而假说的一般特征是具有一定的科学性和猜想性与或然性的. 显然，数学猜想也应具有这些特征的. 不仅如此，它还具有:
(1)结论的待定性: 一个猜想，若被证实，即被证明是正确的，就成为一条数学定理. 如此，则猜想的结论是明确具体的;若被证伪，则这一猜想被推翻，答案也是明确的. 然而，数学猜想的真伪是难以一下被确定的. 哥德巴赫猜想，这一数学皇冠上的明珠，其正确性至今尚未证明，因此，仍属猜想; 费尔马大定理的正确性则是在其提出350多年后才被证明. 而四色猜想的正确性是借助于计算机才得以证实. 如果没有计算机，不知要等到何年何月，才能把“四色猜想”转换为“四色定理”.
(2)思想的创新性: 某一数学猜想的提出，势必是以前没有的. 既然以前没有，现在提了出来，自然是创新，即数学猜想具有创新性，这是数学猜想的灵魂. 它表现在以下几方面:
第一，提出新见解. 例如，康托尔由对傅利叶级数的唯一性问题的研究导致对抽象集合论的研究，运用一一对应法则对集合元素的个数进行比较，发现全体有理数与全体自然一样多，后来他猜想: 全体实数跟自然数也一样多. 但是，他发现猜错了. 因为他证明了实数的基数c，大于自然数的基数a，即a＜c;
第二，预见新的事实，瑞士著名数学家伯努利(D. Bernoulli， 1700—1782)对
长期求不出来. 欧拉对此作了大胆预测提出了
这一猜想后来从理论上证明是正确的.
第三，提示新的规律. 尺规作图问题是世界性难题. 德国数学家高斯(C.F.Gauss，1779—1855)作出正十七边形之后，提出猜想:所有边数等于费尔马数F(n) =22n+1(n≥0的整数)中素数正多边形可以用尺规作图方法作图. 这一猜想明确揭示了一些特殊正多边形可用尺规作出的规律，而且证明了这一猜想是正确的.
“四色问题”最早是由德国数学默比乌斯1840年提出的. 一百多年来，许多数学家认真研究了它，结果成就甚微. 数学家希伍德(P.J.Heawood，1861—1955)为之历奋斗了60年，成功地证明了“五色猜想”，未能判别“四色猜想”的真伪. 直到20世纪70年代，某些数学家觉得必须换一种数学方法论证，于是有人开始转向用电子计算机求证，1976年，美国伊利诺斯大学的青年数学家阿佩(K.Appel)与黑肯(W.Haken)等人，按照他们设计的程序，用1200个计算机小时，作了200亿个逻辑判断，使这个问题终于得到解决，突破理论证明的传说方法，开创了数学机械化证明的新时代.
总之，我们可以把数学猜想当作“未解决问题”，也就是没有经过严格逻辑论证的命题，它的正确性尚不能确定，但从一系列事实来看，似乎是真实的. G·波利亚在《数学与猜想》中专门论述了这一问题. 并把这类问题称为由“合情推理”所得到的暂时性的结果. G·波利亚认为，一个人必须学习合情推理，这是他创造性工作赖以实现的前提.
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