光子晶体光纤理论分析

与普通光纤相比，光子晶体光纤的结构更加灵活且传导机制更加复杂。由于光子晶体有类似电子晶体的结构，人们通常采用分析电子晶体的方法结构电磁理论来分析光子晶体的特性，并取得了和试验一致的结果。特别是采用全矢量的数值分析方法可以对光子晶体光纤进行有效分析。利用全矢量数值方法进行光子晶体光纤传导模式分析通常包括以下步骤。首先从电磁场的矢量波动方程的特征值入手，根据Maxwell方程的描述，电场和磁场的特征值方程为:

其中ω和c分别为光的频率和真空中光速，ε( )r 为介电常数的空间分布，r为空间坐标，电场E(r)和磁场H(r)分布为波方程的特征函数，ω2/c2为特征值;通过把上述特征方程中的特征函数在时域或频域中展开，使问题转化为对代数特征值方程组的求解。数值分析主要的方法包括以下几种。

1.全矢量有效折射率法

有效折射率法是一种解析方法，它是将光子晶体光纤等效为一阶跃型折射率光纤进行模拟研究。尽管最初所用的简单的标量近似方程，在计算包层的有效折射率以及求解等效的阶跃型折射率光纤的特征方程时，带来较大的误差，但目前所使用的全矢量有效折射率方法已经可以达到很高的精度［72］。

有效折射率法关键在于确定纤芯和包层的有效折射率。折射率传导光子晶体光纤的纤芯通常为实心的石英，因此纤芯的有效折射率就是石英本身的折射率。空气孔的包层结构的有效折射率为，在不考虑纤芯缺陷时完整的包层结构所能传播的最低阶传导模式的有效折射率。在包层具有规则周期结构的情况下，包层有效折射率的计算只需取出一个包含结构最小周期的单元，并施以周期边界条件，计算其中的最低阶传导模式即可。

2.平面波展开方法

平面波展开法是光子晶体理论中物理概念最清晰的一种方法，可以用于处理一维、二维、三维复杂的周期性结构问题。它可以计算光子晶体的能带结构包括光子带隙的位置和宽度等。该方法是从Maxwell方程得到电磁场的全矢量方程后，将模场分解为平面波分量的叠加，同时将折射率展开为傅里叶级数，然后再将以上分解带回电磁场的全矢量方程求解。平面波展开法没有引入假设条件，为频带结构的计算提供了一个稳定可靠的算法，编程直观简单，可以借助现有算法库中的傅里叶变换、矩阵对角化等标准程序。但是当采用平面波展开法计算缺陷模式时，因为采用超元胞近似中隐含使用了周期边界条件，所以不能计算由于有限包层结构带来的损耗，且收敛速度也较慢［73］。

3.局部函数法

与平面波展开法相比，局部函数法的主要区别在于所选取的基函数不同，在局域函数法中，将正交的Hermit-Gaussian基函数作为基函数，展开横向磁场表示为:

其中为正交的Hermit-Gaussian函数，定义是［37］:

将式(1.10)带入磁场的全矢量波动方程，可以转化为特征值问题进行求解。这种方法的优点是可以用于计算有限结构，但是如果要提高计算精度需增加计算时间［74］。

4.传输矩阵法

传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将Maxwell方程组转化成传输矩阵形式，同样变成本征值求解问题进行求解。传输矩阵表示一层(面)格点的场强与紧邻的另一层(面)格点场强的关系，假设构成的空间中在同一个格点层(面)上有相同的态和频率，这样可以利用Maxwell方程组将场从一个位置扩展到整个晶体空间。这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效，而且传输矩阵小，矩阵元少，运算量小。但是用该方法求解电磁场的分布较为麻烦，效率不高。

5.有限差分时域法

有限差分时域法是电磁场数值计算的经典方法之一。在这里将一个单位原胞划分为许多网状小格，列出网上每个节点的有限差分过程，利用布里渊区边界的周斯条件，将Maxwell方程组转化成矩阵形式的特征方程，这个矩阵是准对角化的，其中只有少量的一些非零矩阵元，计算最小。但是由于有限差分时域法没有考虑到晶格的具体形状，在遇到特殊晶格形状的光子晶体结构时，精确求解较困难［75］。

6.有限元法

有限元法可以对于包层空气孔分布不规则的非均匀光子晶体光纤进行计算。这种方法是通过场函数分片多项式逼近的模式而实现离散化的过程。有限元方法依赖于有限维子空间，这种方法的基函数系是具有微小支集的函数系，这样的函数系与大范围分析相结合，反映了场内任何两个局部区域场变化的相互关系。

这种方法利用在每一个单元内假设的近似函数分片地表示全求解域上待求未知场函数，而且运用泛函的变分方法或迦辽金方法，把磁场的波动方程转化为下面的代数特性值方程:

其中，特征矢量h和特征值分别为横截面的全矢量的磁场分布和模式的有效折射率的平方，A和B为稀疏矩阵。通过求解这个代数特征值方程，可以计算光子晶体光纤的传输模式和场分布。

有限元法得到广泛应用是因为它有自身的优越性，它可以用任意形状的网格(三角形单元，矩形单元等)分割区域，还可以根据常函数的需要，自如地布置节点，对区域的形状有较大的适应性。主要缺点是计算量大，开发相应的软件比较复杂［76，77］。

7.光束传播法

光束传播法的基本原理是传播方向上基于慢变包络近似，将所求的电磁场分解为沿z方向快变和慢变分量，将其带入到光的全矢量波动方程中，忽略慢变分量的二阶导数项，可以获得所求场沿z方向的一阶微分方程。利用有限单元法或有限差分法对所求场在光纤横截面上离散，并根据Crank-Nicholson算法把沿z方向的微分方程离散为差分方程，可以推导出该光场在光纤中传播时在不同位置上的场分布［78］。

8.散射矩阵法

散射矩阵法假设光子晶体由各向同性的介质组成，其中充满了各种没有重叠的光学散射中心。通过对所有散射中心的散射场运用傅里叶—贝塞尔展开来求解亥姆霍兹方程，可以计算出在光子晶体中传输的场分布。应用这种方法可以求解场分布，但是需要较长的运算时间，在某些实际计算中很难实现。

实际理论分析中，还有很多其他的方法，这些方法各有优缺点，在应用时要根据实际情况合理地选用。